SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1LONG ANMôn thi: Toán (Bảng A)Ngày thi: 3092014ĐỀ CHÍNH THỨCThời gian: 180 phút (không kể phát đề) Câu 1 (5,0 điểm ) a) Giải phương trình sau trên tập số thực: . b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: Câu 2 (5,0 điểm)a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B đều khác O) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.b) Cho tam giác không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt cắt (O) tại D, E và F. Biết , chứng minh rằng .Câu 3 (4,0 điểm) Cho dãy số (un) được xác định như sau: a) Chứng minh rằng (un) là dãy số tăng và không bị chặn trên.b) Đặt . Tìm .Câu 4 (3,0 điểm ) Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn . Chứng minh rằng: .Câu 5 (3,0 điểm)Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: ......HẾT......Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:…………………..Chữ ký giám thị 1:…………………………………Chữ ký giám thị 2:……………SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1LONG ANMôn thi: Toán (Bảng B)Ngày thi: 3092014ĐỀ CHÍNH THỨCThời gian: 180 phút (không kể phát đề) Câu 1 (6,0 điểm) a) Giải phương trình sau trên tập số thực: b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: Câu 2 (5,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình , đường tròn (C) có phương trình và điểm . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ P đến đường thẳng AB lớn nhất. b) Cho tam giác không vuông ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng: .Câu 3 (3,0 điểm )Cho dãy số (un) được xác định như sau: a) Chứng minh rằng (un) là dãy số tăng và không bị chặn trên.b) Đặt . Tìm limxn .Câu 4 ( 3,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng: Câu 5 (3,0 điểm)Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số: có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất. ......HẾT......Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:…………………..Chữ ký giám thị 1:…………………………………Chữ ký giám thị 2:…………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1LONG ANMôn thi: Toán (Bảng A)Ngày thi: 3092014ĐỀ CHÍNH THỨCThời gian: 180 phút (không kể phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THICâu Tóm tắt lời giảiĐiểm 1aGiải phương trình trên tập số thực: (1)2,5Điều kiện: 0,5 không là nghiệm của phương trình. 0,5Đặt Phương trình trở thành: 0,5 0,5Khi đó ta có: . Vậy 0,51b Giải hệ phương trình: 2,5Điều kiện: Phương trình (3) 0,5 0,5 (vì (1;1) không thỏa phương trình(2))0,5Thay vào phương trình (2), ta được : 0,5 Vậy 0,52aTrong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B đều khác O) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.2,5Ta có: Phương trình đường thẳng d: 0,5Suy ra: , và 0,5 0,5Xét hàm số , với . , (n)Bảng biến thiên: AB nhỏ nhất bằng khi 0,5Vậy phương trình đường thẳng d: 0,52bCho tam giác không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt cắt (O) tại D, E và F. Biết , chứng minh rằng .2,5Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC; M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. đồng dạng suy ra 0,5 đồng dạng suy ra 0,5Do nên suy ra: 0,5 0,5 (đpcm)0,53a Cho dãy số (un) được xác định: Chứng minh rằng (un) là dãy số tăng và không bị chặn trên .2,0Ta có: 0.25Ta chứng minh: bằng phương pháp quy nạp toán học. (đúng).0.25
S GIO DC V O TO LONG AN CHNH THC K THI CHN HC SINH GII LP 12 VềNG Mụn thi: Toỏn (Bng A) Ngy thi: 30/9/2014 Thi gian: 180 phỳt (khụng k phỏt ) Cõu (5,0 im ) a) Gii phng trỡnh sau trờn s thc: x x 2x x y x 3x b) Gii h phng trỡnh sau trờn s thc: 3 x x y 2y y y x 2xy Cõu (5,0 im) a) Trong mt phng ta Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M 8;1 v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B (A, B u khỏc O) cho di on AB nh nht b) Cho tam giỏc khụng cõn ABC ni tip ng trũn (O) Cỏc trung tuyn k t A, B, C ln lt ct (O) ti D, E v F Bit DE DF , chng minh rng AB2 AC2 2BC2 Cõu (4,0 im) u1 Cho dóy s (un) c xỏc nh nh sau: u 2n 2014u n , n u n 2015 a) Chng minh rng (un) l dóy s tng v khụng b chn trờn u1 u un , n Tỡm lim x n b) t x n u u3 u n Cõu (3,0 im ) Cho bn s thc dng a, b, c, d tha ab bc cd da Chng minh rng: a3 b3 c3 d3 a b2 b2 c2 c2 d d a Cõu (3,0 im) x y3 3y2 3x Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim thc: x x 2y y m HT Thớ sinh khụng c s dng ti liu Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh:S bỏo danh: Ch ký giỏm th 1:Ch ký giỏm th 2: S GIO DC V O TO LONG AN K THI CHN HC SINH GII LP 12 VềNG Mụn thi: Toỏn (Bng B) CHNH THC Ngy thi: 30/9/2014 Thi gian: 180 phỳt (khụng k phỏt ) Cõu (6,0 im) a) Gii phng trỡnh sau trờn s thc: 2x 3x x 2x x x y y2 b) Gii h phng trỡnh sau trờn s thc: 6y2 5y x Cõu (5,0 im) a) Trong mt phng ta Oxy, cho ng thng (d) cú phng trỡnh x y , ng 2 trũn (C) cú phng trỡnh x y v im P 1;1 Tỡm ta im M thuc ng thng (d) cho t M k n (C) hai tip tuyn MA, MB (A, B l tip im) ng thi khong cỏch t P n ng thng AB ln nht b) Cho tam giỏc khụng vuụng ABC ni tip ng trũn (O) Cỏc tip tuyn ca (O) NB AB2 ti B, C ct ti M ng thng AM ct BC ti N Chng minh rng: NC AC2 Cõu (3,0 im ) u1 Cho dóy s (un) c xỏc nh nh sau: u n u n u n , n a) Chng minh rng (un) l dóy s tng v khụng b chn trờn u1 u un , n Tỡm limxn b) t x n u u3 u n Cõu ( 3,0 im) Cho ba s thc dng a, b, c tha abc Chng minh rng: 1 3 3 3 a b b c c a Cõu (3,0 im) Tỡm m th (Cm) ca hm s: y x m x 2m2 m cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr ú lp thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip nh nht HT Thớ sinh khụng c s dng ti liu Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh:S bỏo danh: Ch ký giỏm th 1:Ch ký giỏm th 2: S GIO DC V O TO LONG AN K THI CHN HC SINH GII LP 12 VềNG Mụn thi: Toỏn (Bng A) Ngy thi: 30/9/2014 Thi gian: 180 phỳt (khụng k phỏt ) CHNH THC HNG DN CHM THI Cõu Túm tt li gii 1a Gii phng trỡnh trờn s thc: x + x +9 = 2x x +1 (1) iu kin: x x x 2x x x x x x x khụng l nghim ca phng trỡnh im 2,5 0,5 0,5 x2 x x x x 1: pt(1) t t = x x Phng trỡnh tr thnh: t= 0,5 t +5 = 2t +1 0,5 20 20 + Vy S 9 y x 3x (2) Gii h phng trỡnh: 3 x x y 2y y y x 2xy (3) Khi ú ta cú: x +1 = 3x x = 1b iu kin: x Phng trỡnh (3) x y y2 2y x2 y x y x 2 y 2y x 0,5 y x2 Thay vo phng trỡnh (2), ta c : 0,5 0,5 x x x x x x x 0,5 (n) Vy x,y 2;1; x,y 3;4 2a 2,5 0,5 y x x y x 1(vỡ (1;1) khụng tha phng trỡnh(2)) (v? x 1) y 0,5 Trong mt phng ta Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua 2,5 M 8;1 v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B (A, B u khỏc O) cho di on AB nh nht Ta cú: A a;0 ,B 0;b a,b Phng trỡnh ng thng d: Md x y a b a b Suy ra: a , b v b 0,5 a a 0,5 a AB a b a a x Xột hm s f (x) x , vi x x 16x f '(x) 2x f '(x) x 10 (n) , x Bng bin thiờn: 2 0,5 2 x f'(x) - 10 - 0,5 + + f(x) 125 2b AB nh nht bng a 10,b Vy phng trỡnh ng thng d: x 2y 10 Cho tam giỏc khụng cõn ABC ni tip ng trũn (O) Cỏc trung tuyn k t A, B, C ln lt ct (O) ti D, E v F Bit DE DF , chng minh rng AB2 AC2 2BC2 Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC; M, N ln lt A l trung im ca AB v AC E DE BA F N M DEG ng dng BAG suy DG BG G O C B D 0,5 2,5 0,5 DFG ng dng CAG suy Do DE DF nờn suy ra: 0,5 DF CA DG CG 0,5 BN2 AB BG BA CA AB BG 2 BG CG AC CG AC CG CM2 2 0,5 AB2 BC2 AC2 AB2 BC2 AC2 AB AC2 AC2 BC2 AB2 AC2 BC2 AB2 AB2 AC2 BC2 AB2 AC2 AB2 BC2 AC2 3a AB4 AC4 2BC2 AB2 AC2 AB2 AC2 2BC2 (pcm) u1 = Cho dóy s (un) c xỏc nh: u 2n + 2014u n , n * u n = 2015 Chng minh rng (un) l dóy s tng v khụng b chn trờn 0,5 2,0 Ta cú: u n > 0, n * n *,u n u n u u 2015 n n Ta chng minh: u n 1> 0, n * bng phng phỏp quy np toỏn hc n =1:u1 = u1 1> (ỳng) Gi s: uk 1> 0, k 1 u k2 2014u k 2015 Ta cú: u k 1 u 2015 u k 2015 2015 k Vy u n 0, n * u u 0, n * u l dóy tng 0.25 Gi s (un) b chn trờn Suy (un) cú gii hn hu hn t a limu n , a 0.25 a = l a + 2014a 2015 a =1 l Suy (un) khụng b chn trờn 0.5 n n Khi ú ta cú: a = 0.25 0.5 0.25 n 3b u1 u un , n * Tỡm limx n u2 u3 u n Ta cú: 2015un1 un 2014un 2015 un un un un t x n u n 1 u n u n 1 * Do ú: x n 2015 20151 , n u u u n n un 2015 2.0 0.5 0.5 0.5 M limun nờn limx n 2015 Cho bn s thc dng a,b,c,d tha ab+bc+cd+da = a3 b3 c3 d3 Chng minh rng: 2 + 2 + 2 + 2 a + b b +c c +d d +a a ab2 ab2 b Ta cú: 2 a 2 a a a b a b 2ab 3 b c c d d3 a Tng t: 2 b ; 2 c ; 2 d b c c d d a 3 3 a b c d a + b +c +d Suy ra: 2 + 2 + 2 + 2 a + b b +c c +d d +a 2 M a +b +c+d ab +bc+cd +da a +b +c+d a3 b3 c3 d3 Nờn 2 + 2 + 2 + 2 a + b b +c c +d d +a Du = xy a = b = c = d = x3 y3 3y2 3x (4) Tỡm m hpt sau cú nghim thc: x x 2y y2 m (5) 0.5 3.0 x iu kin: y Phng trỡnh (4) x3 3x y y 0,5 Xột hm s f (t) t 3t , vi t 1;1 f '(t) 3t 0, t 1;1 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 3.0 0.5 f(t) l hm s nghch bin trờn 1;1 (vỡ nú liờn tc trờn on ny) Suy ra: x y 0,5 Thay vo phng trỡnh (5) ta c: x x m t u x , u 0;1 Ta cú phng trỡnh: g(u) = u u m 0,5 0,5 ming(u) ;maxg(u) 0;1 0;1 0,5 Suy h phng trỡnh ó cho cú nghim m Thớ sinh lm bi theo cỏch khỏc thỡ giỏm kho chm im tng ng S GIO DC V O TO K THI CHN HC SINH GII LP 12 VềNG LONG AN Mụn thi: Toỏn (Bng B) Ngy thi: 30/9/2014 CHNH THC Thi gian: 180 phỳt (khụng k phỏt ) HNG DN CHM THI Cõu Túm tt li gii 1a Gii phng trỡnh sau trờn s thc: 2x 3x x 2x (1) Phng trỡnh (1) 2x x 2x 3x 0,5 t t 2x Ta cú phng trỡnh: t x t 3x (*) 0,5 x 3x x 2 t Phng trỡnh (*) t x 0,5 t 2x x 0,5 t x 2x x x x 4x 0,5 x x Vy S 2;2 x x x y y2 (2) Gii h pt sau trờn s thc: 6y2 5y x (3) 0,5 pt x x 2y 0,5 1b im 3,0 2y 3,0 f x f 2y vi f t t t 4, t t t2 f t 0, t t2 Suy f(t) ng bin trờn 0,5 Do ú: f x f 2y x 2y y 0,5 x x vo phng trỡnh (3) ta c: 3x2 +5x +2 = x3 +1 x +1 + x +1 = x +1 + x +1 0,5 t u = x +1, v = x +1 Phng trỡnh tr thnh: u3 2u v3 2v u v u uv v2 0,25 Th y 0,5 x = u = v x +1 = x +1 x = 1 Vy h phng trỡnh cú nghim: 0;0 , 1; 0,25 Trong mt phng ta Oxy, cho ng thng (d) cú phng trỡnh 2 x y ,ng trũn (C) cú phng trỡnh x y v im 2,5 2a P 1;1 Tỡm ta im M thuc ng thng (d) cho t M k n (C) hai tip tuyn MA, MB (A, B l tip im) ng thi khong cỏch t P n ng thng AB ln nht ng trũn (C) cú tõm I(1;2), bỏn kớnh R = 3, M d M a;a 0,25 Gi s A x o ; yo , ta cú: AI x o ; yo ,AM a x o ;a yo A C v AI.AM 2 x yo 2x o 4yo 2 x yo a x o a yo a a x o a yo a phng trỡnh ng thng AB: a x a y a ng thng AB i qua im K ; vi a 4 Gi H l hỡnh chiu ca P trờn ng thng AB 10 Ta cú: d P;AB PH PK Do ú d P;AB ln nht H K PK.u AB 2b a Vy M 3;4 Cho tam giỏc khụng vuụng ABC ni tip ng trũn (O) Cỏc tip tuyn ca (O) ti B, C ct ti M ng thng AM ct BC ti N CMR: NB AB2 = NC AC2 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 2,5 B 1,0 M N K H A O C Dng BH, CK vuụng gúc AM H,K AM NB BH dt ABM AB.sin ABM = = = NC CK dt ACM AC.sin ACM Ta cú: 2dt ABC BC.CA 2dt ABC Tng t: sin ACM = BC.AB sin ABM AB = sin ACM AC sin ABM = sin ACB = Suy ra: 3a 0,75 NB AB2 = NC AC2 u1 Cho dóy s (un) c xỏc nh: * u n u n u n , n Chng minh rng (un) l dóy s tng v khụng b chn trờn Ta cú: u > 0, n * 0,5 0,25 1,5 0,5 n n *,u n u n u n2 Suy (un) l dóy s tng Gi s (un) b chn trờn Suy (un) cú gii hn hu hn t a limu n , a 3b Khi ú ta cú : a a a a l Suy (un) khụng b chn trờn u1 u un , n * Tỡm limx n t x n u u3 u n un 1 Ta cú: u n u n u n u n u n u n 0,5 0,5 1,5 1,0 Do ú: x n 1 1 u1 u n+1 u n+1 1 Do limu n nờn lim x n lim u n Vy lim x n Cho ba s thc dng a, b, c tha abc = Chng minh rng: 1 + 3 + 3 3 a + b +1 b +c +1 c +a +1 Ta cú: a + b3 = a + b a ab + b2 ab a + b 1 c a + b3 +1 ab a + b +1 , abc=1 = a + b +1 ab a + b +1 a + b +c a b , 3 Tng t: 3 b +c +1 a + b +c c +a +1 a + b +c Suy 1 a b c a + b +c + 3 + 3 + + = =1 3 a + b +1 b +c +1 c +a +1 a + b +c a + b +c a + b +c a + b +c 1 3 3 Vy 3 a b b c c a Du = xy a b c Tỡm m th (Cm) ca hm s: y x m x 2m2 m cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr ú lp thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip nh nht Ta cú: y' 4x m x x y' 4x m x x m (Cm) cú ba im cc tr y' cú ba nghim phõn bit m m Ta ba im cc tr: A 0;2m m ,B m 1;m m ,C 2 m 1;m m 0,5 3,0 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 3,0 0,5 0,5 0,5 Do A thuc Oy v B, C i xng qua Oy nờn ABC cõn ti A Gi H l trung im ca BC Khi ú: H 0;m2 m 0,5 AB.AC.BC AH.BC S 4R m m AB R 2AH m 0,5 Ta cú : ỡù u - v u + uv + v + = ù( ) Suy ra: ùớ ùù u = 3v + (2) ùợ ( (1) ? (u ) ( (1) ) 0,5 v (Vỡ u + uv + v + > ) v ) u + uv + v + = ? u 0,5 0,5 Vi u = v , t (2) ta cú: u - 3u - = ộu = = v ờờ ờởu = - = v ỡù ỡù u = ùù x = ù Vi ta cú ùù v = ùù y = 12 ợ ùợ ỡù u = - ỡù x = Vi ùớ ta cú ùớ ùù v = - ùù y = ợ ợ 0,5 0,5 0,5 ỗ ữ Vy nghim ca h phng trỡnh l: (0; 3); ỗỗỗ ;12ữ ữ 0,5 ữ Cõu (5,0 im) ỡù u = a ù Cho s thc a v dóy s (un ) xỏc nh bi: (n ẻ N ) * ùù un + = un - - ùợ Chng minh (un ) luụn cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ú TH1: a = Chng minh bng quy np ta c un = Vy lim un = TH2: a = Chng minh bng quy np ta c un = Vy lim un = 0,5 0,5 TH3: < a < Ta cú: < u1 < Gi s < un < Suy ra: < un + = un - - < Vy theo quy np ta chng minh c un + - un = un - - - un = < un < 5, " n ? N * - 10 + 7un - un un - + + un = (un - 2)(5 - un ) un - + + un > 0, " n ? N * 1,0 1,0 Suy ra: (un ) l dóy tng Vỡ (un ) l dóy tng v b chn trờn nờn (un ) cú gii hn hu hn t lim un = a Ta cú: a = a - - Suy ra: lim un = a = 0,5 TH4: < a Ta cú: < u1 Gi s < un Suy ra: < un + = un - - 0,5 Vy theo quy np ta chng minh un + - un = un - - - un = c < un , " n ? N * - 10 + 7un - un un - + + un = (un - 2)(5 - un ) < 0, " n ? N * un - + + un 0,5 Suy ra: (un ) l dóy gim Vỡ (un ) l dóy gim v b chn di nờn (un ) cú gii hn hu hn t lim un = a Ta cú: a = a - - Suy ra: lim un = a = 0,5 Cõu (5,0 im) Cho tam giỏc ABC cú G l trng tõm Gi A1, B1,C ln lt l trung im ca BC ,CA, A B Kộo di AA1, BB1,CC ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ln lt ti A2, B 2,C Chng minh: GA2 GB GC + + ? GA GB GC Gi di cnh BC ,CA, A B ln lt l a, b, c di ng trung tuyn AA1, BB1,CC ln lt l m a , mb, m c Ta cú: A A1.A1A2 = A1B A1C = a2 ? A1A2 a2 4m a 1,0 Mt khỏc ta cú: GA2 GA1 + A1A2 AA 3a a + b2 + c = = + = + = GA GA GA 8m 2b2 + 2c - a a Tng t ta cú: GB a + b2 + c GC a + b2 + c = ; = GB 2c + 2a - b2 GC 2a + 2b2 - c 1,0 GA2 GB GC 1 ữ ữ + + = a + b2 + c ỗỗỗ + + ữ 2 2 2 2 GA GB GC 2b + 2c - a 2c + 2a - b 2a + 2b - c ữ ( ) t m = 2b2 + 2c - a ; n = 2c + 2a - b2 ; k = 2a + 2b2 - c GA2 GB GC 1 ữ + + = (m + n + k )ỗỗ + + ữ ữ ỗ GA GB GC m n kữ 1 ữ? Theo bt ng thc AM-GM: (m + n + k )ỗỗỗ + + ữ ữ m n kữ Vy ta cú iu phi chng minh 1,5 1,5 A B2 C2 B1 C1 G C A1 B A2 Cõu (5,0 im) Cú bao nhiờu cỏch xp 16 viờn bi gm cỏc bi en ging v cỏc bi trng ging cho : sau mi bi en thỡ cú ớt nht bi trng ? Gi n l s viờn bi en thỡ s bi trng ớt nht l 4n 16 Theo bi ta cú: n + 4n ? 16 Suy ra: n TH1: n = S bi en l 1, s bi trng l 15 Gi x1 l s bi trng xp trc bi en, gi x l s bi trng xp sau bi en ỡù x + x = 15 ùù ù Ta cú h: x (*) ùù ùù x ợ S nghim ca (*) l s cỏch xp tha yờu cu bi toỏn 11 11 p dng khỏi nim t hp lp ta cú s nghim ca (*) l C 11 = C 11 = 12 + 2- + 2- TH2: n = S bi en l 2, s bi trng l 14 Gi x1 l s bi trng xp trc bi en th nht, x l s bi trng xp gia bi en th nht v bi en th hai; x l s bi trng xp sau bi en th hai ỡù x + x + x = 14 ùù Ta cú h: ùớ x (**) ùù ùù x ; x ợ S nghim ca (**) l s cỏch xp tha yờu cu bi toỏn p dng khỏi nim t hp lp ta cú s nghim ca (**) l C 66+ 3- = C 86 = 28 TH3: n = S bi en l 3, s bi trng l 13 Gi x1 l s bi trng xp trc bi en th nht, x l s bi trng xp gia bi en th 1,0 1,0 1,0 1,0 nht v bi en th hai; x l s bi trng xp gia bi en th hai v bi en th ba; x l s bi trng xp sau bi en th ba ỡù x + x + x + x = 13 ùù ù Ta cú h: x1 (***) ùù ùù x ; x 3; x ợ p dng khỏi nim t hp lp ta cú s nghim ca (***) l C 11+ 4- = C 41 = Tng cng ta cú :12+28+4=44 cỏch xp tha yờu cu bi 1,0 .HT. S GIO DC V O TO K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 LONG AN VềNG NM 2016 Mụn thi: TON Ngy thi: 04/11/2016 (Bui thi th hai) Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) CHNH THC ( thi cú 01 trang, gm 03 cõu) Cõu (7,0 im) Tỡm tt c a thc P (x ) tha món: ( ) P (- x ).P (3x ) + P (2x ) = P (x ).P (5x ) vi mi x ẻ R Cõu (6,0 im) Cho s nguyờn dng n v d1 < d2 < d3 < d4 l c s nguyờn dng nh nht ca n Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho n = d12 + d22 + d32 + d42 Cõu (7,0 im) Xột cỏc s t nhiờn cú cỏc s trờn Tỡm n n ch s, ch s tn cựng l bit s phn t ca An l v hai ch s liờn tip bt kỡkhỏc t An 4304672 .HT. (Thớ sinh khụng c s dng ti liu - Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm) H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Giỏm th (ký, ghi rừ h v tờn) Giỏm th (ký, ghi rừ h v tờn) S GIO DC V O TO K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 l hp LONG AN VềNG NM 2016 Mụn thi: TON Ngy thi: 4/11/2016 (Bui thi th hai) Thi gian: 180 phỳt (khụng k CHNH THC thi gian phỏt ) HNG DN CHM Cỏch gii khỏc nu ỳng thỡ giỏm kho cho s im NI DUNG IM Cõu (7,0 im) Tỡm tt c a thc P (x ) tha món: ( ) P (- x ).P (3x ) + P (2x ) = P (x ).P (5x ) vi mi x ẻ R TH1 P (x ) l a thc hng T bi ta suy ra: P (x ) 1,0 TH2 P (x ) l a thc bc n , n 1,0 Ta cú: P (x ) = an x n + an - 1x n - + + a1x + a 0(an ? 0) n T bi,so sỏnh h s ng trc x 2n ta cú: (- 3) + 4n = 5n (*) Nu n l thỡ hin nhiờn khụng tỡm c n tha (*).Vy n chn 1,0 1,0 Vi n chn,(*) tr thnh + = Lý lun v chng minh c (*) cú nghim nht n = T bi ta cú P (0) = Suy a0 = n n n 1,0 1,0 Ta cú : P (x ) = a2x + a1x (a2 ? 0) T bi, so sỏnh h s ng trc x ta cú : 3a1a2 - 9a1a2 + 16a1a2 = 5a1a2 + 25a1a2 Suy ra: a1 = (vỡ a2 ) Th li ta thy P (x ) ; P (x ) = a2x (a2 ? 0) tha yờu cu bi 1,0 Cõu (6,0 im) Cho s nguyờn dng n v d1 < d2 < d3 < d4 l c s nguyờn dng nh nht ca n Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho n = d12 + d22 + d32 + d42 Ta cú: x (mod 4) x chn, x 1(mod 4) x l 0,5 Nu n l s l thỡ tt c cỏc s di u l v 1,0 ( n ? d12 ) ( ) d22 + d32 + d42 (mod 4) ? mod (iu ny mõu thun) Vy n l s chn ( Nu l c ca n thỡ d1 = v d2 = , n ? + d32 + d42 (mod 4) (iu ny 1,0 ) mõu thun) Vy ta cú n khụng chia ht cho Vỡ n l s chn v khụng chia ht cho nờn n c phõn tớch nh sau: 0,5 a1 a n = 2.p q (vi p, q l cỏc s nguyờn t) Suy ra: {d1, d2, d3, d4 } = {1, 2, p, q} hoc {d1, d2, d3, d4 } = {1, 2, p, 2p } 1,0 Trong trng hp {d1, d2, d3, d4 } = {1, 2, p, q} ta cú n (mod 4) (mõu thun) 1,0 ( Vy n = + p ) v n chia ht cho 5, nờn p = d3 = v n = 130 l s cn tỡm 1,0 Cõu (7,0 im) Xột cỏc s t nhiờn cú n ch s, ch s tn cựng l v hai ch s liờn tip bt kỡkhỏc t An l hp cỏc s trờn Tỡm n bit s phn t ca An l 4304672 Mt phn t thuc An + c to bng mt hai cỏch sau: 2,0 -Thờm vo trc mi s thuc An + mt ch s khỏc vi ch s u tiờn ca s ú v cú cỏch thờm nh vy -Thờm vo trc mi s thuc An hai ch s 10, 20, 30, ,90 v cú cỏch thờm nh vy t x n l s phn t ca An Suy ra: x n + = 8x n + + 9x n 2,0 Tớnh c: x1 = 1, x = 1,0 Theo cụng thc tỡm s hng tng quỏt ca dóy s truy hi tuyn tớnh cp ta cú 1,0 n 9n (- 1) xn = 10 10 Vỡ x n = 4304672 nờn n = 1,0 .HT. ... a12 + b12 + c12 chia ht cho 0,5 Vỡ a1, b1, c1 ch nhn giỏ tr l 0,1,4,7 nờn a12, b12, c12 ch nhn giỏ tr l 0,1,16,49 0,5 Vỡ a12 + b12 + c12 chia ht cho nờn ta cú cỏc trng hp sau: TH1 Mt cỏc s a12,... DC V O TO LONG AN K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 VềNG NM 2015 Mụn thi: TON Ngy thi: 06/11/2015(Bui thi th hai) Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) CHNH THC ( thi cú 01 trang, gm... giỏm th 2: S GD&T LONG AN K THI CHN HC SINH GII LP 12 VềNG Mụn thi: TON (bng A) CHNH THC Ngy thi: 09/10/2015 Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) HNG DN CHM THI Cõu Túm tt li gii a) Gii