Cho tứ diện ABCD có AB mpBCD, BCD vuông tại C CMR 4 mặt của tứ diện là những vuông... Có bao nhiêu số tự nhiên đợc viết trong hệ đếm thập phân gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn thi: Toán - Đề 1 Thời gian làm bài: 180 phút
CâuI (2 điểm):
1 Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu?
2 Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)?
CâuII (2 điểm):
1 Tính:
3 /
4 / 4
xdx tg
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = x2 ; y= 4x2 ; y = 4 CâuIII (2 điểm):
Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 2x1- x2= 3
2 Xác định m để tam thức bậc hai:
Câu IV (2 điểm):
1 giải hệ phơng trình: x + y + xy = 11
2 Giải và biện luận phơng trình: x2 mxxm
Câu V (2 điểm):
1 Giải phơng trình với m =
2 3
2
3
; 2
Câu VI (2 điểm):
1 CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
Câu VII (2 điểm):
1 Tìm:
1
2 3 lim
3
x x
x
2 Giả phơng trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
Câu XIII (2 điểm):
1 giải phơng trình: log2(3.2x - 1) = 2x + 1
2 Cho (H) có phơng trình: x2 - 3y2 = 1 và đờng thẳng : kx + 3y -1 = 0
a, Xác định k để tiếp xúc với (H)
b, Tìm tọa độ tiếp điểm
Câu IX (2 điểm):
1 Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phơng trình lần lợt là:
Với điều kiện A2 + B2 + C2 > 0 và AB + BC + CA = 0
CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc
2 Cho tứ diện ABCD có AB mp(BCD), BCD vuông tại C
CMR 4 mặt của tứ diện là những vuông
Câu X (2 điểm):
1 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác
CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
Trang 22 Có bao nhiêu số tự nhiên (đợc viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12
Năm học:
Hớng dẫn chấm thi Môn: Toán- Đề số I
(Bản hớng dẫn chấm gồm 7 trang)
Câu I:
1 y' = 3x2 + 2mx + 9
' = m2 - 27 > 0
2 Giả sử A(x1; y1) và B(-x1; -y1) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng
1
3
1 mx x
1
3
Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t:
0 4
2
Trang 3y = 4
y = x 2
y = 4x 2
y
x
1
Câu II:
1 Ta có:
x
x 2
3 /
4 / 2 2
cos
sin
x
x
3 /
4 /
4
2 2
cos
cos 1
(0,25đ)
x
dx dx
x
dx
3 /
4 /
3 /
4 / 2
3 /
4 /
cos
(0,25đ)
4 /
3 / 4 /
3 /
4 /
x tgx
tgx d x
=
12 3
2 2
3
4 /
3 / 4 /
3 / 4 /
tg x tgx x
Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo nh hình vẽ) là :
S=2
x x dx 12 x dx
2 1
0
2
4
= 2
2 1 2 2
1
3x dx dx x dx
2 1 3 2 1
1 0
3
3
1
4x x x
=
3
16
Câu III
1 Giả sử phơng trình có 2 nghiệm x1,x2 ta có :
3 2 3 2
3 3
2 1
2 1
2 1
m m x
x
x x
m m x
x
Từ (1) và (2) ta có : x1 =
3
3 2
m
m
và x2 =
3
3
m
m
(0,25đ) Thay vào (3) ta đợc
1 9 9
3 )3 ( 2 )3 )(
3 2(
3 3
2
3
3
3
3
2
m m
m m m m
m m
m
m
m
m
m
(0,25đ)
x1=
2
1
2 Tam thức đã cho dơng với x - 4
Trang 4Khi và chỉ khi
2 4 0 ) 4 ( 0 4
0 0 2
af x
2 / 7
1 3 2
/ 7 1 3 5
2 / 7 1 3 1 3
0 2 5 0 7 2
0 3 2 0 3 2
2 2
m
m m
m m
m
m m
m
m m m m m m
(0,5đ)
Câu IV:
1 Đặt
P xy
S y x
) 2 ( 28 2 3
) 1 ( 11
S P S
(0,25đ) (1) P = 11 - S thế vào (2) ta đợc: S2 + 5S - 50 = 0
giải đợc: S1 = 5; S2 = -10
* với S1 =5 P1 = 6 hệ (I)
6 5
xy y x
(0,25đ)
* với S2 = -10 P2 = 21 hệ (II)
21 10
xy y x
(0,25đ)
* giải hệ (I) ta đợc 2 nghiệm (2; 3) và (3; 2)
* giải hệ (II) ta đợc 2 nghiệm (-3; -7) và (-7; -3)
vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm:
2 Giải và biện luận phơng trình: x2 mxxm
Giải:
Phơng trình tơng đơng với:
) 2 ( 3 ) 1 ( )
(
(
0
2 2 2
m mx m x m
x
mx
x
m
x
(0,25đ) Xét hai trờng hợp:
* m 0: ta có: x=
3
m
theo điều kiện (1) ta phải có
3
m
3
2
* m=0: x đều thỏa mãn phơng trình (2) so sánh với điều kiện (1) ta nhận x0
(0,25đ) Vậy:
+ m<0 phơng trình vô nghiệm
+ m>0 phơng trình có nghiệm x=
3
m
Câu V:
Đặt: cosx = t; t 1
p/t 2t2 - (2m+1)t + m =0
= (2m-1)20 t1 =
2
1
a với m =
2
3
thì:
* nghiệm t2 = cosx =
2
3
(loại)
* vậy t1 = cosx =
2
1
= cos
3
2
3
; 2 (
x
S/2
2 1
x
Hệ
(0,25 đ)
–
Trang 5thì cosx < 0
Câu VI:
1 Trong ABC ta có A=-(B+C)
tgA=-tgC tgB
tgC tgB
.
1
(0,25đ)
2.ABC là nhọn nên tgA>0, tgB>0, tgC>0
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dơng ta có:
từ kết quả câu 1, ta có:
(tgA+tgB+tgC)2 27
Câu VII
1
1
2 3
lim
3
x x
) 2 3 )(
1 (
2 3
6
x x
=
) 2 3 )(
1 (
) 2 )(
1
(
lim 5 43 3 2 1
x x x x x
x
2 3
) 2 (
lim 3
1 2 3 4
5
x x x
x
x
2
3
(0,25đ)
2 giải phơng trình: 8.3x + 3.2x =24 + 6x
3
1 8
2
3
3
x
x
x
x
(0,25đ)
Câu VIII:
1 Giải phơng trình: log2(3.2x-1)= 2x+1
0 1 2 3 2
.
2
3
2
2
1
2
.
3
0
1
2
.
3
2
1
x x
x
x
2
1
3
1
0
1
3
2
3
1
2
2
1
2
t
t
t
t
t
x
2
1 2
1 2
x x
1
0
x
x
3 / 1 1
2 2
y x
đởng thẳng (): kx+3y-1 = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi:
A2a2- B2b2 = C2
3
1 1
(thỏa)
Trang 6B
C
D
gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm của () và (H) áp dụng công thức phân đôi tọa độ ta có:
1
1 3
3 2
0 0
y
x
(0,25đ)
1
2
0
0
y
x
tiếp điểm M0(2, -1)
goi M1(x1, y1) là tiếp điểm của (') và (H)
theo công thức phân đôi tọa độ ta có:
Từ (3) và (4) ta có:
2 1
1
1 3
3
1 1
1
y
x y
x
M1(-2, -1)
Vậy 2 tiếp điểm là
1) -(-2, M
1) -(2, M
1 0
(0,25đ)
Câu IX
1 Các véc tơ pháp tuyến của 3 mp' (P), (Q), (R) lần lợt là:
) , , (A B C
n P
) , , (B C A
n Q
(0,5đ)
) , , (C A B
n R
CA BC AB n n n n n
2 c/m: * AB mp(BCD)
BD
AB
BC
AB
hay ABC và ABD vuông tại B
gt cho BCD vuông tại C và AB(BCD) nên BC là
hình chiếu AC trên (BCD)
theo định lí 3 đờng vuông góc CDAC
hay ACD vuông tại C
Câu X
1 Cho a, b, c là 3 cạnh của cm: a2+ b2+ c2 <
2(ab+bc+ca)
Giải: Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của nên:
a,b,c dơng và:
) 3 ( ) 2 ( 1 (
2
2
bc ac
c
ab bc
b
ac ab
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a
(0,5đ) cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
Số các số gồm 5 chữ số lập nên từ các chữ số đó là hoán vị của 5 phần tử (0,5đ) Tức là:
Đáp số: 120 số
- -(0,5đ)
(0,5đ)
Trang 7Tài liệu:
* Sách giáo khoa môn toán THPT lớp 10, 11, 12
* Sách tham khảo nâng cao của Bộ giáo dục
* Sách ôn luyện thi tốt nghiệp BT THPT
* Toán nâng cao đại số 10 (NXB Bộ giáo dục)
