đề thi học sinh giỏi Huyn Môn Toán Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Phân tích thành nhân tử: x 4 - 6x 2 - 7x - 6 Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x 4 + y 4 + z 4 Biết x + y + z = 2 Bài 3. Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 1yxv ba yx b y a x 22 2244 =+ + + =+ Chứng minh: ( ) 10031003 2006 1003 2006 ba 2 b y a x + =+ Bài 4. Cho a, b, c, là các số thực dơng. Chứng minh bất đẳng thức: c 1 b 1 a 1 cab ac bac cb abc ba 222 ++ + + + + + + + + Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = 2 1 AB. Đờng thẳng MC cắt NA tại E, đ- ờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC tại F a) Chứng minh AF = AM. b) Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM. PHÒNG GIẢO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (5,0 điểm) Cho đa thức: ;P(x) = x3 - 6x2 + l l x - Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử Chứng minh P(x) chia hết cho với x nguyên Bài 2: (4,0 điểm) 1 1 1) Cho số dương x, y, z Chứng minh (x+y+z) + + ÷ ≥ x y z 2) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để a b c + + đạt giá trị nhỏ b+c c+a b+a Bài 3: (5,0 điểm) P= x + y x − y x + y + 2x y + Cho biểu thức A = ÷ với xy ≠ ±1 ÷: + − x y2 − xy + xy Rútgọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A, biết x số nguyên lớn thỏa mãn Tìm số nguyên không âm x, để A có giá trị số nguyên 2x + ≥1 x2 +1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi M, N trung điểm cạnh AB,BC Hai đường thẳng AD MC cắt E, I giao điểm CM DN Chứng minh rằng: a) ∆ DEI vuông C&M · · b) AIM = 45° + ACM Tính tỉ số diện tích tam giác CNI diện tích hình vuông ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho hai số a b số dương, thỏa mãn a+ b ≤ Chứng minh a+ b + a + b 29 ≥ ab Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng Uỷ ban ND huyện Mỹ Hào Phòng GD & ĐT Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 Môn: Toán Năm học: 2009 2010 Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Giải các phơng trình sau: a. 2x(x 1) 3 x(2x 5) 7 + = + b. 2 4x 7x 3 0 + = c. x x 2 x 1 2 x + = + d. 5x 3 1 x = Câu 2: (1 điểm) Cho 3 f(x) x 3x m= + (m là tham số) 2 g(x) (x 1)= Xác định m để f(x) chia hết cho g(x) Câu 3:(2 điểm) Cho x y A 1 xy = + ; y z B 1 yz = + ; z x C 1 zx = + Chứng minh rằng A B C A.B.C + + = Câu 4: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ Ax vuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của AEF cắt CD ở K. Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh a. AE = AF b. EGKF là hình thoi c. 2 AF FK.FC= d. Khi E thay đổi trên BC, chứng minh EK = BE + DK và chu vi EKC không đổi Câu 5: (1 điểm) Tìm số d của phép chia S : 5 trong đó = + + + + n n n n S 1 2 3 . 8 với n là số tự nhiên lẻ F K I E G x D C B A Đáp án và thang điểm Câu Đáp án T. điểm 1 a. 1 x 1 4 = 0,5 điểm b. x 1= ; 3 x 4 = 0,5 điểm c. ĐKXĐ x 1 ; x 2 x = 4 0,5 điểm d. 2 x 3 = ; 1 x 2 = 0,5 điểm 2 Đặt phép chia 3 x 3x a + 2 x 2x 1 + - 3 2 x 2x x + x 2+ 2 2x 4x a + - 2 2x 4x 2 + a 2 f(x) g(x) a 2 0 a 2 = =M (Hs có thể giải bằng phơng pháp hệ số bất định hoặc một cách khác) 1,0 điểm 3 * Tính 2 (x z)(y 1) A B (1 xy)(1 yz) + + = + + * Tính 2 (x z)(y 1) z x A B C (1 xy)(1 yz) 1 zx + + + = + + + + (x y)(y z)(z x) A.B.C (1 xy)(1 yz)(1 zx) = = + + + 2,0 điểm 4 a. ABE ADF = (g.c.g) AE AF = 1,0 điểm b. * AEF vuông cân ở A nên AI EF 1,0 điểm * IEG IFK = (g.c.g) IG IK = * EGFK có hai đờng chéo bằng nhau cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng đồng thời hai đờng chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi c. ã ã o KAF ACF 45= = ; $ F chung Vậy AKF CAF : (g.g) 2 AF KF AF KF.CF CF AF = = 1,0 điểm d. Ta có EGFK là hình thoi KE KF KD DF KD BE = = + = + => Chu vi EKC bằng KC CE EK KC CE KD BE 2BC + + = + + + = không đổi 5 = + + + + + + + n n n n n n n n S 1 5 (2 8 ) (3 7 ) (4 6 ) Do n lẻ nên + + = +M M n n n n 2 8 (2 8) 10 2 8 5 Tơng tự + n n 3 7 và + n n 4 6 đều chia hết cho 5 S chia 5 d = n 1 1 1,0 điểm Phòng Giáo dục Kiến xơng Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 2008 Môn : Toán 8 (thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) x 2 4x + 3 2) x 8 - 2 8 Bài 2 (5đ). Giải phơng trình, bất phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 x 3 x 1 2 1) x 4 x 2 6x 8 x 2) x 2 x 4 x 1 0 3) x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1 + + = + + + + + = Bài 3 (4đ) 1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh: a 3 + b 3 + 3abc > c 3 2)Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn: 1 1 1 a b c a b c + + = + + và abc = 1 Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có ít nhất một số bằng 1 Bài 4 (4đ) Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi O là trung điểm của Bc, trên cạnh AB lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho OB 2 = BD.CE 1) Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng . 2) Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài không đổi khi D,E di động trên AB, AC Bài 5(3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của tam giác ABC. Cho GM vuông góc với AC, D là trung điểm của BC. Chứng minh BM vuông góc với AD. Đáp án và biểu điểm Bài 1 1) 2điểm = (x- 1)(x 3) 2) 2điểm x 8 2 8 = (x 4 ) 2 (2 4 ) 2 = =(x 4 + 16)(x 2 + 4)(x -2 )(x + 2) Bài 2 1) 2,5đ 2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2 1) x 4 x 2 6x 8 x x 4 x 2 (x 2)(x 4) + + + = + = (1) (0,5đ) MTC (x-2)(x-4); TXĐ = { } x / x 2,x 4 .Phơng trình (1) trở thành (0,25đ) (x+3) (x-2) + (x -1)(x 4) = 2 (0,5đ) (0,5đ) x = 0; x = 2 (loại) (0,25đ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25đ) 2) 1đ Ta thấy x = -2 là 1 nghiệm của bpt (0,25đ) Với x 2 thì (x -2) 2 > 0 khi đó ta có : (x + 4)(x 1) 0 (0,25đ) x + 4 0 và x -1 0 hoặc x + 4 0 và x - 1 0 x 1 hoặc x - 4 (0,25đ) Vậy nghiệm của bpt là x = - 2 hoặc x 1 hoặc x - 4 (0,25đ) 3 1,5 đ Ta thấy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1+ + + = (0,25đ) Đặt x 2 + 3x 4 = a; 2x 2 5x + 3 = b. Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 a 3 + b 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 ab( a+ b) = 0 a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = -b (0,25đ) +. Với a = 0 ta có x 2 + 3x 4 = 0 => x = 1; x = - 4 (0,25đ) +.Với b = 0 ta có 2x 2 5x + 3 = 0 => x = 1; x = 3/2 (0,25đ) +. Với a = - b x 2 + 3x 4 = -2x 2 + 5x 3 3x 2 2x 1 = 0 x = 1; x = -1/3 (0,25đ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là 1 3 S 4; ;1; 3 2 = (0,25đ) Bài 3 ý Nội dung Điểm 1 a 3 + b 3 + 3abc = (a+b) (a 2 ab + b 2 ) + 3abc >c(a 2 - ab +b 2 )+3abc = c (a + b) 2 >c . c 2 = c 3 1 0,25 0,5 2 Từ abc = 1 => abc - 1 = 0 (1) Theo giả thiết : a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c và abc = 1 => a + b + c (ab + bc + ca) = 0 (2). Cộng theo 2 vế của (1) và (2). Ta có abc (ab + bc + ca) + (a + b + c) 1 = 0 (a-1)(b-1)(c- 1) = 0 a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 0,25đ B C A D O E H K ý Nội dung Điểm 1 Từ giả thiết có : OB 2 = BD.CE => OB.OC = BD.CE => OB BD EC OC = Xét CBDV và ECOV có à à B C= (vì tam giác ABC cân tại B) OB BD EC OC = => CBDV ~ ECOV (c.g.c) 0,75 0,75 0,5 2 Ta có ã ã ã ã ã ã DOC DOE COE;DOC OBD BDO= + = + Mà ã ã ã ã BDO COE(cmt) DOE OBD= => = Xét tam giác ODE và Tam giác BDO có ã ã DOE OBD= (cmt) OD OE BD OB = (cmt) => V ODE ~ V BDO (cgc) => ã ã BDO ODE= nghĩa là DO là phân giác của ã BDE => OH = OK ( Với OK AB) Mà OK không đổi nên OH không đổi khi D,E di động trên AB,AC 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 5 (3điểm) Hình vẽ : 0,25 đ Tam giác ADH có GM //DH; OD OE 2 BD OB 3 = = (0,5đ) 3AM = 2AH = AC = AM + MC MC = 2AM (1đ) áp dụng t/c tia phâng giác với tam giác ABC: BC MC BC 2 AB BD AB MA 2 = = => = = (D là trung điểm BC) (0,75đ) Vậy tam giác ABD cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đờng cao. Do đó BM vuông góc với AD (0,5đ) M I A B C D G H phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2006 - 2007 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2,5 điểm) 1. Tìm n N biết: (3 3 :9).3 n = 729 2. Tính: ( ) ++ 7 6 5 4 3 2 7 3 5 2 3 1 4,0 2 2 9 4 2 Bài 2: (1,5 điểm) Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn: b 2 =ac. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 .2007 .2007 cb ba c a + + = Bài 3: (2 điểm) Ba đội công nhân làm ba công việc có khối lợng nh nhau. Thời gian làm việc của đội I, đội II, đội III lần lợt là 3 ngày, 5 ngày, 6 ngày. Biết rằng đội II nhiều hơn đội III là 2 ngời và năng suất làm việc của mỗi công nhân là nh nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân? Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD=AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE=AC. Chứng minh rằng: a) AM= 2 1 DE b) AM DE Bài 5: (1 điểm) Cho m,n N và p là số nguyên tố thoả mãn: p nm m p + = 1 . Chứng minh rằng: p 2 =n+2 --------------- Hết ---------------- phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2005 - 2006 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2,5 điểm) Tìm x biết: a) 3: 4 1 4 3 =+ x b) 6253 =+ x c) 2006 1 2005 2 2004 3 2003 4 + + + = + + + xxxx d) x yyy 6 61 24 41 18 21 + = + = + Bài 2: (1,5 điểm) Rút gọn: a) A = 2 100 -2 99 +2 98 -2 97 + . +2 2 -2 b) B = 3 2006 -3 2005 +3 2004 -3 2003 + . +3 2 -3+1 Bài 3: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, góc A=108 0 . Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc CBO=12 0 . Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng BO). Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, A, M thẳng hàng b) Tam giác AOB cân Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD bằng và vuông góc với AB (D và C nằm khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thăng AE bằng và vuông góc với AC (E và B nằm kkhác phía đối với AC), vẽ AH vuông góc với BC. Đờng thẳng HA cắt DE ở K. Chứng minh rằng: DK=KE Bài 5 : (1 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 32 87 n n có giá trị lớn nhất ------------ Hết -------------- phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2004 - 2005 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2 điểm) 1) Cho p và 10p+1 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh 5p+1 6 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng các bình phơng của ba số này cũng là một số nguyên tố Bài 2: (3 điểm) 1) Tìm x biết: 2 1 3 2 1 = x 2) Tìm x biết: 0 5 1 2 1 + xx 3) Tìm x, y, z biết: ( ) 03 2 1 5 1 = + zyx và x+1=y+2=z+3 Bài 3: (1,5 điểm) Cho biểu thức f(x)=ax 2 +bx+c 1) Tính f(0), f(1), f(-1) 2) cho biết 5a+b+2c=0. Chứng tỏ rằng: f(2).f(-1) 0 Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE. Chứng minh: 1) AM= 2 DE 2) AM DE Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân, góc A=gócC=80 0 . Từ các đỉnh A và C vẽ 2 đờng thẳng cắt các cạnh đối theo thứ tự tại điểm D và E sao cho góc CAD=60 0 , góc ACE=50 0 . Tính góc ADE --------------- Hết ------------------ phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2003 - 2004 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 10109 49319 22.6 9.4.1527.2 + + 2) Tính: 81 2007 3 81 7 3 81 6 3 81 5 3 81 4 3 2004432 3) Tìm x biết: a) ( ) 5 10 4912 = x b) 325 =+ xx Bài 2: (1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị của hàm số: y= ( ) xx 2 2 1 + 2) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: x+xy+2y=9 Bài 3: (2 điểm) 1) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn b bac a acb c cba + = + = + Hãy tính giá trị của biểu thức: P= + + + a c c b b a 111 2) Tìm các số PHÒNG GIẢO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG Kì thi học sinh giỏi cấp trường Môn: Toán 6. ( năm học 2007-2008) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề bài: Bài 1: Chứng tỏ rằng: a) 4 2008 + 4 2007 + 4 2006 chia hết cho 21. b) 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + . + 5 207 + 5 208 chia hết cho 6. Bài 2: Tìm x, biết: a) 360 : ( x – 7 ) = 10 . 3 2 b) x 2 1 3 − x = 7 20 − c) ( x + 5) - ( x - 9 ) = x + 2 d) 2 x + 3 + 2 x = 144 Bài 3: Hiện nay tuổi cha là 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi lúc nào thì tuổi cha gấp 7 lần tuổi con? Bài 4: Một bể có hai vòi nước, vòi thứ nhất chảy 7 giờ thì bể đầy, vòi thứ hai chảy 9 giờ thì bể đầy. Bể đang cạn, nếu mở hai vòi cùng một lúc thì sau 2 1 3 giờ lượng nước có được trong bể bao nhiêu? Bài 5 : Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không, nếu: a) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm. b) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Bài 6: Cho đoạn thẳng MN dài 6 cm. Trên tia MN lấy điểm D sao cho MD = 4 cm. Trên tia NM lấy hai điểm P, Q sao cho: NP = 1 cm, NQ = 4 cm. a) Đường tròn ( Q; 2cm ) có đi qua điểm D không? b) chứng tỏ rằng: Điểm P nằm ngoài đường tròn ( Q ; 2cm ) và nằm trong đường tròn đường kính MN. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KIẾN XƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức cách hợp lý 1313 10 130 1515 26.35 − 92.43 A = + − + a) b) B = ÷ ÷: 1414 160 140 1616 − 1 1 + + + + > Chứng minh C = 101 102 103 200 12 Bài 2: (4,0 điểm) Cho a b số nguyên thỏa mãn: (2a + 7b) M3 Chứng tỏ (4a + 2b) M3 Biết p l0p +1 số nguyên tố (p > 3) Chứng tỏ 5p +1 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) 1 1 + + + + = 5.8 8.11 11.14 x.(x + 3) 18 n +1 2.Tìm giá trị nguyên n để biểu thức D = đạt giá trị lớn ? n−2 Tìm số tự nhiên x, biết: Bài 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 5cm Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = AM a) Tính BN BM = 2cm b) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ tia Ax Ay cho · · · · BAx = 400 , BAy = 1100 Tính yAx, NAy c) Xác định vị trí điểm M đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn Bài 5: (1,0 điểm) 11111 43 ; số b = 100 05 4 với n số tự nhiên, n > Cho số a = 14 n - chữ số n chữ số Chứng minh a.b + số phương Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng n + Đề thi chọn HSG môn toán lớp 6 Năm học 2007 - 2008 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: ( 4 điểm) 1/ Tính tổng các số nguyên x biết: 30x và 1x 2/ Tính tích: 2 2 2 2 A = 1 1 1 1 5 7 9 2009 ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ Bài 2: (5 điểm) 1/ Tìm các số tự nhiên n để phân số 3 5 4 8 n n là phân số tối giản. 2/ Tìm hai chữ số tận cùng của tổng . S = 1 2 3 4 7 7 7 . 7 k + + + + với k N , k 1 Bài 3: (5 điểm). 1/ Cho M = a b c a b b c c a + + + + + với a, b,c là các số nguyên dơng bất kì. Chứng minh rằng M không thể là số nguyên. 2/ Tổng sau có thể là số chính phơng hay không? giải thích? 4 44 444 4444 4 44 444 4444 2007+ + + + ( Trong đó: Số chính phong là bình phơng của một số nguyên) Bài 4: (6 điểm) 1/ Trên đờng thẳng xx lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng xx vẽ tia Oy sao cho góc xOy < 90 0 . Vẽ tia Om là tia phân giác của góc xOy, cung trên nửa mặt phẳng đó ta vẽ tia On tạo với tia Om một góc 90 0 a) Chứng tỏ tia On là tia phân giác của góc yOx. b) Cho ã ã , 2 3 mOy nOx= . Tính các góc nhọn có trong hình vẽ. 2/ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC . Chứng tỏ rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC Trờng THCS Nguyễn Hiền đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 6(vòng2) môn : toán (thời gian làm bài : 90 phút ) Câu1: Cho tập hợp A = }{ 8;5;1 a/ Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A b/ Hãy chỉ ra tập hợp B gồm các số chẵn có 2 chữ số mà các chữ số lấy trong tập A (mỗi chữ số lấy 1 lần) c/ Trong tập hợp B vừa nêu, hãy chỉ ra các số chia hết cho5, chia hết cho9 Câu 2: Tính bằng cách hợp lý : 1/ A = 262.656157 951 4.369.32.437.6194.12