Đề thi HSG Toán 8 Kiến Xương + ĐA

Gọi O là trung điểm của Bc, trên cạnh AB lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho OB2 = BD.CE 1 Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng.. 2 Chứng minh khoảng cách OH từ O

Phòng Giáo dục

Kiến xơng Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 – 2008Môn : Toán 8

(thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 – 4x + 3 2) x8 - 28

Bài 2 (5đ) Giải phơng trình, bất phơng trình sau:

2 2

1)

Bài 3 (4đ)

1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh:

a3 + b3 + 3abc > c3

2)Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn: a b c 1 1 1

Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có ít nhất một số bằng 1

Bài 4 (4đ)

Cho tam giác ABC cân (AB = AC) Gọi O là trung điểm của Bc, trên cạnh

AB lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho OB2 = BD.CE

1) Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng

2) Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài không đổi khi D,E di động trên AB, AC

Bài 5(3đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của tam giác ABC Cho GM vuông góc với AC, D là trung điểm của BC Chứng minh BM vuông góc với AD

Đáp án và biểu điểm

Bài 1

1) 2điểm = (x- 1)(x – 3)

2) 2điểm

x8 – 28 = (x4)2 – (24)2 = =(x4 + 16)(x2 + 4)(x -2 )(x + 2)

Bài 2

1) 2,5đ

2

1)

MTC (x-2)(x-4); TXĐ = x / x  2, x  4 Phơng trình (1) trở thành (0,25đ)

(x+3) (x-2) + (x -1)(x – 4) = 2 (0,5đ)

(0,5đ)

 x = 0; x = 2 (loại) (0,25đ)

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25đ)

2) 1đ

Ta thấy x = -2 là 1 nghiệm của bpt (0,25đ)

Với x 2 thì (x -2)2 > 0 khi đó ta có : (x + 4)(x – 1)  0 (0,25đ)

 x + 4  0 và x -1  0 hoặc x + 4  0 và x - 1 0

 x  1 hoặc x  - 4 (0,25đ)

Vậy nghiệm của bpt là x = - 2 hoặc x  1 hoặc x  - 4 (0,25đ)

3 1,5 đ

x  3x 4   2x  5x 3   3x  2x 1  (0,25đ)

Đặt x2 + 3x – 4 = a; 2x2 – 5x + 3 = b Ta có a3 + b3 = (a + b) 3

 a3 + b3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2

 ab( a+ b) = 0

 a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = -b (0,25đ)

+ Với a = 0 ta có x2 + 3x – 4 = 0 => x = 1; x = - 4 (0,25đ)

+.Với b = 0 ta có 2x2 – 5x + 3 = 0 => x = 1; x = 3/2 (0,25đ)

+ Với a = - b  x2 + 3x – 4 = -2x2 + 5x – 3  3x2 – 2x – 1 = 0

 x = 1; x = -1/3 (0,25đ)

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là S 4; 1;1;3



  (0,25đ) Bài 3

1 a3 + b3 + 3abc = (a+b) (a2 – ab + b2) + 3abc >c(a2- ab +b2)+3abc

= c (a + b)2

>c c2 = c3

1 0,25 0,5

2 Từ abc = 1 => abc - 1 = 0 (1)

Theo giả thiết : a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c và abc = 1

=> a + b + c – (ab + bc + ca) = 0 (2) Cộng theo 2 vế của (1)

và (2) Ta có

abc – (ab + bc + ca) + (a + b + c) – 1 = 0

 (a-1)(b-1)(c- 1) = 0

 a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1

0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4

0,25đ

A

D

O

E H K

Từ giả thiết có : OB2 = BD.CE => OB.OC = BD.CE => OB BD

Xét V CBD và V ECO có Bà Cà (vì tam giác ABC cân tại B)

OB BD

=> V CBD ~ V ECO (c.g.c)

0,75 0,75 0,5

2 Ta có DOCã DOE COE; DOCã ã ã OBDã BDOã

Mà BDOã COE(cmt)ã DOEã OBDã

Xét tam giác ODE và Tam giác BDO có DOEã OBDã (cmt)

OD OE

BD OB (cmt) =>VODE ~ VBDO (cgc)

=> BDOã ODEã nghĩa là DO là phân giác của BDEã

=> OH = OK ( Với OK AB)

Mà OK không đổi nên OH không đổi khi D,E di động trên AB,AC

0,5

0,5 0,5 0,25

Bài 5 (3điểm)

Hình vẽ : 0,25 đ

BD OB3 (0,5đ)

 3AM = 2AH = AC = AM + MC

 MC = 2AM (1đ)

áp dụng t/c tia phâng giác với tam giác ABC:

(0,75đ)

Vậy tam giác ABD cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đờng cao Do đó BM vuông góc với AD (0,5đ)

M I A

G

H