Phòng Giáo dục Kiến xơng Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 2008 Môn : Toán 8 (thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) x 2 4x + 3 2) x 8 - 2 8 Bài 2 (5đ). Giải phơng trình, bất phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 x 3 x 1 2 1) x 4 x 2 6x 8 x 2) x 2 x 4 x 1 0 3) x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1 + + = + + + + + = Bài 3 (4đ) 1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh: a 3 + b 3 + 3abc > c 3 2)Cho 3 số a,b,c khác 0 thoả mãn: 1 1 1 a b c a b c + + = + + và abc = 1 Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có ít nhất một số bằng 1 Bài 4 (4đ) Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi O là trung điểm của Bc, trên cạnh AB lấy điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho OB 2 = BD.CE 1) Chứng minh tam giác OBD và tam giác ECO đồng dạng . 2) Chứng minh khoảng cách OH từ O đến đờng thẳng DE có độ dài không đổi khi D,E di động trên AB, AC Bài 5(3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. G là trọng tâm, BM là đờng phân giác của tam giác ABC. Cho GM vuông góc với AC, D là trung điểm của BC. Chứng minh BM vuông góc với AD. Đáp án và biểu điểm Bài 1 1) 2điểm = (x- 1)(x 3) 2) 2điểm x 8 2 8 = (x 4 ) 2 (2 4 ) 2 = =(x 4 + 16)(x 2 + 4)(x -2 )(x + 2) Bài 2 1) 2,5đ 2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2 1) x 4 x 2 6x 8 x x 4 x 2 (x 2)(x 4) + + + = + = (1) (0,5đ) MTC (x-2)(x-4); TXĐ = { } x / x 2,x 4 .Phơng trình (1) trở thành (0,25đ) (x+3) (x-2) + (x -1)(x 4) = 2 (0,5đ) (0,5đ) x = 0; x = 2 (loại) (0,25đ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 (0,25đ) 2) 1đ Ta thấy x = -2 là 1 nghiệm của bpt (0,25đ) Với x 2 thì (x -2) 2 > 0 khi đó ta có : (x + 4)(x 1) 0 (0,25đ) x + 4 0 và x -1 0 hoặc x + 4 0 và x - 1 0 x 1 hoặc x - 4 (0,25đ) Vậy nghiệm của bpt là x = - 2 hoặc x 1 hoặc x - 4 (0,25đ) 3 1,5 đ Ta thấy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1+ + + = (0,25đ) Đặt x 2 + 3x 4 = a; 2x 2 5x + 3 = b. Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 a 3 + b 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 ab( a+ b) = 0 a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = -b (0,25đ) +. Với a = 0 ta có x 2 + 3x 4 = 0 => x = 1; x = - 4 (0,25đ) +.Với b = 0 ta có 2x 2 5x + 3 = 0 => x = 1; x = 3/2 (0,25đ) +. Với a = - b x 2 + 3x 4 = -2x 2 + 5x 3 3x 2 2x 1 = 0 x = 1; x = -1/3 (0,25đ) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là 1 3 S 4; ;1; 3 2 = (0,25đ) Bài 3 ý Nội dung Điểm 1 a 3 + b 3 + 3abc = (a+b) (a 2 ab + b 2 ) + 3abc >c(a 2 - ab +b 2 )+3abc = c (a + b) 2 >c . c 2 = c 3 1 0,25 0,5 2 Từ abc = 1 => abc - 1 = 0 (1) Theo giả thiết : a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c và abc = 1 => a + b + c (ab + bc + ca) = 0 (2). Cộng theo 2 vế của (1) và (2). Ta có abc (ab + bc + ca) + (a + b + c) 1 = 0 (a-1)(b-1)(c- 1) = 0 a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 0,25đ B C A D O E H K ý Nội dung Điểm 1 Từ giả thiết có : OB 2 = BD.CE => OB.OC = BD.CE => OB BD EC OC = Xét CBDV và ECOV có à à B C= (vì tam giác ABC cân tại B) OB BD EC OC = => CBDV ~ ECOV (c.g.c) 0,75 0,75 0,5 2 Ta có ã ã ã ã ã ã DOC DOE COE;DOC OBD BDO= + = + Mà ã ã ã ã BDO COE(cmt) DOE OBD= => = Xét tam giác ODE và Tam giác BDO có ã ã DOE OBD= (cmt) OD OE BD OB = (cmt) => V ODE ~ V BDO (cgc) => ã ã BDO ODE= nghĩa là DO là phân giác của ã BDE => OH = OK ( Với OK AB) Mà OK không đổi nên OH không đổi khi D,E di động trên AB,AC 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 5 (3điểm) Hình vẽ : 0,25 đ Tam giác ADH có GM //DH; OD OE 2 BD OB 3 = = (0,5đ) 3AM = 2AH = AC = AM + MC MC = 2AM (1đ) áp dụng t/c tia phâng giác với tam giác ABC: BC MC BC 2 AB BD AB MA 2 = = => = = (D là trung điểm BC) (0,75đ) Vậy tam giác ABD cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đờng cao. Do đó BM vuông góc với AD (0,5đ) M I A B C D G H . 2 x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1+ + + = (0,25đ) Đặt x 2 + 3x 4 = a; 2x 2 5x + 3 = b. Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 a 3 + b 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 ab( a+ b) = 0 a = 0 hoặc b. a 3 + b 3 + 3abc = (a+b) (a 2 ab + b 2 ) + 3abc >c(a 2 - ab +b 2 )+3 abc = c (a + b) 2 >c . c 2 = c 3 1 0,25 0,5 2 Từ abc = 1 => abc - 1 = 0 (1) Theo giả thi t : a + b + c = 1/a +. 2 1) x 4 x 2 6x 8 x 2) x 2 x 4 x 1 0 3) x 3x 4 2x 5x 3 3x 2x 1 + + = + + + + + = Bài 3 (4đ) 1) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh: a 3 + b 3 + 3abc > c 3