Câu 5: Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2012, người ta làm như sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại.. Có th[r]
(1)ĐỀ THI khẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LẦN Năm học : 2012 – 2013 Môn Toán – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề —————————— Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 – 7x2 + 17x – b) Cho a + b = Tính giá trị biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 ) Câu 2: a) Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: ab+bc+ca=1 a b c2 Chứng minh rằng: A= là số chính phương ; n+2 n b) CMR với số tự nhiên n ta có: +26.5 +82n+1 59 Câu 3: a) Tìm x biết : (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 ; a b c 0 2 4 b) Cho ba số a, b, c thoả mãn a b c 2012 Tính A a b c Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Gọi I là trung điểm HC Kẻ đoạn thẳng BK vuông góc với BA cho BK= AC (K và C cùng phía AB) a) Gọi E là trung điểm AH Chứng minh BE song song với IK b) Tính góc AIK Câu 5: Trên bảng có các số tự nhiên từ đến 2012, người ta làm sau lấy hai số và thay hiệu chúng, làm đến còn số trên bảng thì dừng lại Có thể làm để trên bảng còn lại số không? Giải thích Hết Họ tên thí sinh:……………………………………………… Số báo danh:………………… (Ghi chú : Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay) (2) HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bài Nội dung Điểm 3x – 7x + 17x – = 1a 3x3 x x x 15 x 3x3 x x x 15 x 2 = x (3x 1) x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)( x x 5) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) = 1b (a2 – ab + b2) – 3(a2 + b2 ) = (a2 + b2) – 2ab – 3(a2 + b2 ) = - (a2 + b2) – 2ab = - ( a+b)2 = -1 Tacó: ab bc ca 1 2a 1đ 1đ a ab bc ca a a(a b) c(a b) (a b)(a c) b ab bc ca b b(a b) c(a b) (a b)(b c) c2 ab bc ca c2 b(a c) c(a c) (a c)(b c) (1 a )(1 b )(1 c2 ) (a b)2 (b c)2 (a c)2 (a b)(b c)(c a) Vì a, b, c là các số nguyên (a b)(b c)(c a) Z (1 a )(1 b )(1 c2 ) là số chính phương n+2 2b 3a n 2n+1 n n n 1đ n n n n +26.5 +8 =51.5 +8.64 =(59-8).5 +8.64 = 59.5 +8.(64 -5 ) vì (64n-5n) (64-5) nên có ĐPCM (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 Đặt x2 + x =t PT trở thành: t2+4t-12=0 ⇒ t = -6 t= 23 t = -6 ⇔ x2 + x = -6 ⇔ (x+ )2 + =0 PT vô nghiệm t=2 ⇔ x2 + x = ⇔ (x-1)(x+2)=0 ⇒ x =1 và x = -2 Ta có 1đ 1,25đ a b c a b c ab bc ca ab bc ca 2 2 a b2 c2 2012 a b b c c a ab bc ca 2abc a b c 2 2012 A a b c a b2 c a b b c c 2a 2 3b 2 2 2 1,25đ (3) E B H IC 4a A song song và K Chứng minh tứ giác BEIK là hình bình hành vì có BK EI (Cùng song song và nửa AC) Vì EI//AC nên EI AB Suy E là trực tâm tam giác ABI 4b Suy BE AI, mà BE//KI nên AI KI hay AIK =900 Tổng 2012 số ban đầu là 2013.1006 (là số chẵn) Sau lần xoá số a,b và thay hiệu chúng thì tổng các số trên bảng thay đổi là (a-b)-(a+b)=-2b (b-a)-(a+b)=-2a tức là tăng giảm số chẵn tổng các số trên bảng không thay đổi tính chẵn lẻ làm Vì tổng các số ban đầu là số chẵn nên trên bảng không thể còn lại số 1,25đ 1,25đ 1đ (4)