Mà ABCD là hình vuông nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng AC M thuộc đường thẳng BD hay 3 điểm M, B, D thẳng hàng ..[r]
(1)TRƯỜNG THCS TAM HƯNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút ( Bài 1(6đ) Cho biểu thức P= x x2 x2 x3 ) : ( ) x y y x2 x y x xy y a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P với x 1 và y 1 Bài 2: (4đ)Giải phương trình: x2 a) b) 4x2 ( x 2)2 12 x x 2a (a là số) Bài 3:(4đ) a) (2đ)Tìm nghiệm nguyên phương trình: b) (2đ) Cho a b 1 Chứng minh A Bài 4: (1đ) Tìm GTNN x x y x y 0 a b2 3x 8x x2 x 1 Bài 5: (6đ): Cho hình vuông ABCD, cạnh a, điểm N thuộc cạnh AB Tia CN cắt tia DA E Tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M là trung điểm đọan thẳng EF a Chứng minh CE = CF b Chứng minh ba điểm M, B, D thẳng hàng c Đặt BN = b Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Hết~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2) TRƯỜNG THCS TAM HƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2014 – 2015 Bài 1:a) P xác định P b)Rút gọn c) x 1 và x y x( y x) y 1 Trường hợp 1: x = và Trường hợp 2: x = và x2 Bài 2: a) x2 (x x2 ( x 2) y y thì P = 1 thì P = 12 ĐK x x2 4x2 x2 12 ( x 2) ( x 2)2 ( x 2) 2x x2 ) 12 x2 ( x 2) x2 x2 ) 12 x2 ( x 2) Đặt x2 t x2 ( x 0 x y y 0 ta có PT t 12 4t t 4t 12 0 (t + 6)(t – 2) = Với t = – Phương trình vô nghiệm (3) Với t = thì x b) Lập bảng xét dấu x x–3 – 5–x + + + + – Xét khoảng x < thì phương trình có dạng – x + – x = 2a x=4–a Ta phải có – a < => a >1 x 5 phương trình dạng 0x = a – Nếu a = thì PT vô số nghiệm thuộc x 5 Nếu a 1 thì PT vô nghiệm x > phương trình dạng x= a + Kết luận a > PT có nghiệm x1 = – a , x2 = a + a = PT vô số nghiệm x 5 a < PT vô nghiệm Bài 3: a) x3 x y 3x y 0 x3 3x y= x2 y(x2 + 2) = x3 + 3x – x( x 2) x x2 x – x2+ (x – 5)(x + 5) x2+ x2 + – 27 x2+ x2+ Ư(27) mà x2 + 2 => x2+ 3;9; 27 x x x2 (4) x 5; 1;1;5 => x = -1 thì y = -3; (a b)2 1 a b b)Ta có => Mặt khác ta luôn có (a b) 0 x = thì y = a 2ab b 1 a 2ab b 0 Cộng vế với vế ta đpcm A 3x2 8x ( x 1) Bài 4: A 3 x ( x 1) 3( x x 1) 2( x 1) ( x 1) 3( x 1) 2( x 1) ( x 1) t Đặt x => A = t2 – 2t + 2 t = Vậy GTNN A = x = E M A Bài 5: N F B D C a Chứng minh CDE CBF CE = CF(2đ) b Vì M là trung điểm EF nên EF ME = MF = MC = MA= MA = MC M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AC Mà ABCD là hình vuông nên BD là đường trung trực đoạn thẳng AC M thuộc đường thẳng BD hay điểm M, B, D thẳng hàng c Ta có BN = b AN = a – b 1 CD AE CE 2 SACFE = SACE + SECF = (5) AE AN AE a b a(a b) AE AE AD a b Tính AE: Ta cã ED DC a4 a ( a b) 2 Ta có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a+AE)2 = a2 + b Tính SACFE = 2b (6)