Tìm trên trục tung điểm M để EM+MF nhỏ nhất.. Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABD và tam giác ACE.. b Gọi H là chân đường vu
Trang 1PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1 (5 điểm )
1.Thực hiện phép tính:
2
B 7 ( 11) 77 : 7 11
� �
2 Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a b c c a b a c b
Tính giá trị biểu thức: P 1 c 1 b 1 a
Bài 2 (5 điểm )
a) Tìm x biết: x 2 22 6 3x 13
b) Tìm hình chữ nhật có kích thước các cạnh là số nguyên sao cho số đo diện tích bằng số đo chu vi.
c) Tìm các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn:
3 2
x y y z 2015 x z 2017
Bài 3 (3 điểm) Cho hàm số: y f x x 3 x
2
(1) a) Vẽ đồ thị hàm số (1).
b) Gọi E và F là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ lần lượt là (-4) và
5
4
, xác định tọa độ hai điểm E, F Tìm trên trục tung điểm M để EM+MF nhỏ nhất.
Bài 4 (6 điểm)
1 Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABD và tam giác ACE.
a) Chứng minh DC = BE và DC BE.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến ED và M là trung điểm của đoạn thẳng BC Chứng minh A, M, H thẳng hàng
2 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm; AC= 4cm Điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến BC Tính MB.
Bài 5 (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì tổng:
3 8 15 n2 2 1
không thể là một số nguyên.
-Hết -Họ và tên :……… Số báo danh :………….
Trang 2§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm HSG m«n to¸n 7
năm học 2015-2016 Bài 1(5điểm )
1
2016
1007 25
1008 2016
11 1008
7 : 34
33 17
193 386
3 193
2
2016
1007
50
11 25
7 : 34
33 34
3 17
2
2016
1007 2
1 : 1
2016
2015 : 1
2015
2016
Vậy
2015
2016
2 2 5 2 4
7
1 77 ) 11 ( 7 77
1
6 3 4 5 5 2 4 2
1 7
1 11 7 11 7 11 7
1
8 9
7 9
11 7
11 7
11
1
B
0,25
11
1
B
0,25
2
(1,5®iểm
a c c
b a a
c b c
a c a
b a b
c b c
a a
b b
c
Khi a+b+c =0
b a c
a c b
c b a
1
.
b
b c
c a
a P
0,5
2
1 )
( 2 2
2
b a c
b c a b a c c b a c
b c a a
b a c b
c b a
1 2 2
c
b a a
b c b
c a
2
c
b a a
b c b
c a
8
P
0,25 0,25
Trang 3(2 điểm)
x
1 2 3
3 2
2
2
x
0,5
6 2 3 2 2
4 2
3
4
2
x
0,25
3
4 2 3
4 2
x
x
0,25
3 2 3 10
x
x
0,25
Vậy x
3
2
; 3
b)
(1,5điểm) Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm là x,y (đơn vị độ dài )
(x,yN*; xy )
0,25
Ta có diện tích và chu vi hình chữ nhật lần lượt là : x.y và 2(x+y)
0 2
xy x y
4 ) 2 ( 2 ) 2
4 ) 2 )(
2
Với x,yN* ta có (y 2 ); (x 2 ) Z
Ta có 2 trường hợp sau :
1 2
4 2
y
x
3
6
y
x
hoặc
2 2
2 2
y
x
4
4
y
x
0,25
Có hai hình chữ nhật thỏa mãn bài toán :
c)
z x chia hết cho 2z x
0,25
Trang 4
Chia hết cho 2
0,5
Mà 2017 không chia hết cho 2 nên không tồn tại các số nguyên dương x;
Bài 3(3 điểm )
a)
2
3
2
5
với x 0
y= x
2
1
với x 0
0,25
0,5
b)
(1,5điểm)
2
5
với x 0
y= x
2
1
với x 0
Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x= -4 <0
2
1
) 2
; 4 (
E
0,25
Trang 5Điểm F thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x=
5
4
>0
5
4 2
5
Để EM+FM nhỏ nhất khi M nằm giữa E và F
1
(4,5điểm)
Gọi K , N lần lượt là giao điểm của DC với BE và AB
Trang 6 DC BE tại K 0,25
Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI=MA
2
(1,5điểm)
Vì điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC nên I là giao điểm 3 dường phân giác trong tam giác ABC
0,25
CE =CM
Chứng minh
2
AC BA BC
2
4 3 5
Bài 5(1điểm )
S Có (n-1) số hạng:
1
4
1 1 3
1 1 2
1 1
1
16
15 9
8 4
3
n n
n S
1
1
4
1 3
1 2
1
n n
S
0,25
Mặt khác
n n
n n
1 1 ) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1 1
4
1 3
1 2
1
2 2
2
2
1 2
1 1
1
n
n n n
S
0,25