Kì thi học sinh giỏi cấp trường Môn: Toán 6. ( năm học 2007-2008) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề bài: Bài 1: Chứng tỏ rằng: a) 4 2008 + 4 2007 + 4 2006 chia hết cho 21. b) 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + . + 5 207 + 5 208 chia hết cho 6. Bài 2: Tìm x, biết: a) 360 : ( x – 7 ) = 10 . 3 2 b) x 2 1 3 − x = 7 20 − c) ( x + 5) - ( x - 9 ) = x + 2 d) 2 x + 3 + 2 x = 144 Bài 3: Hiện nay tuổi cha là 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi lúc nào thì tuổi cha gấp 7 lần tuổi con? Bài 4: Một bể có hai vòi nước, vòi thứ nhất chảy 7 giờ thì bể đầy, vòi thứ hai chảy 9 giờ thì bể đầy. Bể đang cạn, nếu mở hai vòi cùng một lúc thì sau 2 1 3 giờ lượng nước có được trong bể bao nhiêu? Bài 5 : Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không, nếu: a) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm. b) AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Bài 6: Cho đoạn thẳng MN dài 6 cm. Trên tia MN lấy điểm D sao cho MD = 4 cm. Trên tia NM lấy hai điểm P, Q sao cho: NP = 1 cm, NQ = 4 cm. a) Đường tròn ( Q; 2cm ) có đi qua điểm D không? b) chứng tỏ rằng: Điểm P nằm ngoài đường tròn ( Q ; 2cm ) và nằm trong đường tròn đường kính MN. Onthionline.net BÀI SỐ Bài Cho số nguyên dương a,b, c, d thoả mãn a2+b2= c2+d2 Chứng minh a+b+c+d hợp số Bài a, Viết số 1998 thành tổng số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh tổng lập phương số tự nhiên chia hết cho b, Viết số 19951995 thành tổng nhiều số tự nhiên Tổng lập phương số tự nhiên chia cho dư ? Bài Chứng minh số tự nhiên viết dạng b3+6c b c số nguyên đềthi học sinh giỏi Huyn Môn Toán Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Phân tích thành nhân tử: x 4 - 6x 2 - 7x - 6 Bài 2. Cho x, y, z là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x 4 + y 4 + z 4 Biết x + y + z = 2 Bài 3. Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn: 1yxv ba yx b y a x 22 2244 =+ + + =+ Chứng minh: ( ) 10031003 2006 1003 2006 ba 2 b y a x + =+ Bài 4. Cho a, b, c, là các số thực dơng. Chứng minh bất đẳng thức: c 1 b 1 a 1 cab ac bac cb abc ba 222 ++ + + + + + + + + Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = 2 1 AB. Đờng thẳng MC cắt NA tại E, đ- ờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC tại F a) Chứng minh AF = AM. b) Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀTHI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2 – x – 12; b) x 2 + 2xy + 4y – 4; Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P = 4 2 2 3 4 1 1 1 ( 1) (1 ) ( ) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x + − + − + + − + − + × − + − − a. Tìm x để P xác định. b. Rút gọn P. c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên? Bài 3: (2,5 điểm) a) Cho đa thức ( 3)( 5)( 7)( 9) 2014Q x x x x= + + + + + . Tìm số dư trong phép chia đa thức Q cho đa thức 2 12 32x x+ + . b) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 4 a b a b + ≥ + . Với ;a b là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức trên tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 3 M xy x y = + + . với ;x y dương và 1x y + = . Bài 4: (2,5 điểm) ABCD là hình chữ nhật có AB //CD, AB = 2CB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo BD tại H. Trên HB lấy điểm K sao cho HK = HA. Từ K kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại E. a. Chứng minh E là trung điểm AB. b. Lấy M trung điểm DE, tia AM cắt DB tại N, cắt DC tại P Tính tỷ số diện tích tam giác AND với diện tam giác PMD? Câu 5:(1,5 điểm) Cho trước góc xOy; tỷ số m n và một điểm P nằm trong góc xOy. Dựng đường thẳng đi qua P cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại C và D sao cho: PC m PD n = . (Chỉ trình bày cách dựng và chứng minh) Hết./. ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 QUẬN 1. TP HỒ CHÍ MINH * Môn : Toán * Khóa thi : 2002 - 2003 * Thời gian : 90 phút Bài 1 : (3 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x 2 + 6x + 5 b) (x 2 - x + 1) (x 2 - x + 2) - 12 Bài 2 : (4 điểm) a) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. b) Rút gọn phân thức : Bài 3 : (4 điểm) Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của tam giác. A = 4x 2 y 2 - (x 2 + y 2 - z 2 ) 2 . Chứng minh A > 0. Bài 4 : (3 điểm) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức : (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 2002 cho x 2 + 8x + 12. Bài 5 : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh AE = AB. b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀTHI GIAO LƯU HSG MÔN TOÁN LỚP 8 Năm học 2009 - 2010 Thời gian làm bài: 150phút (không kể thời gian giao đề) I)Phần trắc nghiệm Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng trong các câu sau: Câu 1: Cạnh của hình vuông thứ nhất có độ dài là a (m). Đường chéo của hình vuông này là cạnh của hình vuông thứ hai. Đường chéo của hình vuông thứ hai dài là: A) a(m) B) 20a (dm) C) 20a (dm) D) a (m) Câu 2: Cho tam giác ABC, các điểm D và E lần lượt trên AC và AB sao cho CD= AC , AE = AB. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Tỉ số là: A) B) C) D) Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x(x+1)(x + 2)( x+3) là: A) 1 B) -2 C) -1 D) Một kết quả khác. Câu 4: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn + + = 0 Giá trị của biểu thức + + bằng: A) 0 B) 1 C) -1 D) Một kết quả khác. II)Phần tự luận Câu 5:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x - 11x + 30x b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z Câu 6: Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn x+ y + z = 1; x + y + z = 1 và = = . Chứng minh rằng: ab + bc + ca = 0 Câu 7: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình. Có 3 ô tô chạy trên quãng đường AB. Cùng một lúc ô tô thứ nhất chạy từ A tới B thì ô tô thứ hai chạy từ B tới A. Khi ô tô thứ nhất tới B thì ô tô thứ 3 bắt đầu chạy từ B tới A và về A cùng lúc với ô tô thứ hai. Tại chính giữa quãng đường AB người ta thấy rằng sau khi ô tô thứ nhất đi qua 10phút thì ô tô thứ hai đi qua và sau đó 20phút thì ô tô thứ ba đi qua. Vận tốc ô tô thứ ba là 120km/h. Tính vận tốc ô tô thứ nhất, ô tô thứ hai và quãng đường AB. Câu 8:Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB MF⊥ AD. a) Chứng minh rằng CF = DE và CF ⊥ DE b) Chứng minh CM, BF, DE đồng quy. c) Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = BE. Vẽ BH ⊥ CE. Chứng minh rằng : DH ⊥ HN. Câu 9: Giả sử m và n là các số nguyên sao cho: = 1- + - +… - + . Chứng minh rằng : m chia hết cho 2003. ……………Giám thị không giải thích gì thêm………… HƯỚNG DẪN THI GIAO LƯU HSGTOÁN 8: NĂM HỌC 2009 - 2010 I)Phần trắc nghiệm(2 điểm) Mỗi ý chọn đúng được 0,5 điểm Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 B D C D II) Phần tự luận.(8 điểm) Câu Nội dung Thang điểm a) phân tích được kết quả x(x -5)( x - 6 ) 1 đ b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z =4xy - ( x + 2yx + y ) + (2xz + 2yz ) - z =(2xy) - [( x + y) - 2z(y + z )+ (z)] =(2xy) - (x + y - z ) =(2xy - x - y + z)( 2xy + x + y - z) =(x + y + z)( x +y - z)(x + z - y)(z - x + y) 0,5 đ Câu 6 (1.5đ) Đặt = = = k => a = kx ; b = ky ; c = kz ab + bc + ca = k 2 (xy + yz + zx) = k 2 [(x + y + z) 2 - (x 2 + y 2 + z 2 )] = k 2 (1 - 1) = 0 Vậy ab +bc + ca =0 1,5 đ Câu 7 (1.5đ) Giả sử C là điểm chính giữa quãng đường AB. Gọi x phút là thời gian đi quãng đường BC của ô tô thứ hai ĐK: x ≥ 10 Thì x - 10 phút là thời gian đi quãng đường AC của ô tô thứ nhất. Khi đó 2x phút là thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ hai 2x - 20 phút là thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ nhất thời gian đi quãng đường BC của ô tô thứ ba là: x + 20 - ( 2x - 20) = 40 - x (phút) Thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ ba là 2(40 - x) = 80 - 2x ( phút) Ta thấy thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ hai bằng tổng thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ nhất và ô tô thứ ba. Ta có phương trình: 2x = (2x - 20) + 80 - 2x => x = 30 =>.Thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ ba là:20phút Quãng đường AB dài : .20 = 40(km) Vận tốc ô tô thứ nhất là . 60 = 60 (km/h) Vận tốc của ô tô thứ hai là .60 = 40 (km/h) a)Vẽ hình - ghi GT_KL đúng Hs chứng minh đúng ∆AED = ∆DFC(c.g.c) => CF = DE Và CF⊥ DE b) Gọi giao điểm của CM và EF là I, MF và BC là N Ta suy ra tam giác MEF bằng tam giác NMC. 0,25Đ 0.75 Đ Suy ra = , mà = (đối đỉnh) => = Lại có + = 90 => + = 90 Hay ∆IMF vuông tại I => MC⊥ FE *) Chứng minh tương tự phần a) ta được BF⊥CE Nên CM, BF, DE là 3đường cao của ∆CEF nên CM, BF, DE đồng quy 1 đ c) Từ phần b) ta suy ra H là giao điểm của BF và CE Ta có ∆HEB∽ ∆HBC(g.g) => = => = Lại có = =>∆HDC∽