22 de thi hsg toan 8 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...
Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : +x x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 + ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) − 24 b Giải phương trình: x4 − 30x2 + 31x − 30 = a b c a2 b2 c2 c Cho + + = Chứng minh rằng: + + =0 b + c c + a a+ b b + c c + a a+ b Câu2 Cho biểu thức: 10 − x2 x A = + + ÷: x − + x + ÷ x − 2− x x + 2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết | x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chng minh rng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 + + ≥9 a b c §Ị thi SỐ Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Tốn C©u : (2 ®iĨm) Năm học: 2011-2012 Cho P= a − 4a − a + a − a + 14a − a) Rót gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng : A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tÝch b»ng sè ®o chu vi Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ THI SỐ Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 ( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) ( 2009 − x ) − ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = = 19 49 2010x + 2680 x2 + Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB · · · · · · cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF · · a) Chứng minh rằng: BDF = BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA' HB' HC' + + a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM (AB + BC + CA ) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' + BB' + CC' Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ Bài (4 điểm) − x3 − x2 − x : Cho biểu thức A = với x khác -1 1− x 1− x − x + x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x = −1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) 2 Chứng minh a = b = c Bài (3 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 + = AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ Bài 1: Cho x = a − (b − c) b2 + c − a ;y= (b + c) − a 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: 1 1 a, = +b+ a+b− x a x b, (x ẩn số) (b − c)(1 + a ) (c − a )(1 + b) (a − b)(1 + c) + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c số đôi khác nhau) Bài 3: Xác định số a, b biết: (3 x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm nguyên Bài 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) 1 x − + 1÷+ Cho biểu thức: A = + 1÷ : x ( x + 1) x x + 2x + x a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0, CMR: b, Cho a,b,c,d > CMR: Bài 4: 1 + ≥ a b a+b a −d d −b b−c c−a ≥ + + + d +b b+c c+a a+d x + xy + y a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > x − xy + y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x + 1995)2 với x > Bài 5: a, Tìm nghiệm ∈ Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Cho VABC M điểm ∈ miền VABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a (b + c) (b − c) + b(c + a ) (c − a ) + c(a + b) (a − b) 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác + + = a b c 1 + + Rút gọn biểu thức: N = a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + y − xy − x + y + b) Giải phương trình: ( y − 4,5) + ( y − 5,5) − = Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3điểm) Giang Thi Minh Huong 10 Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x + y = 345 §Ề SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 với x > Bài : (1,5điểm) Cho abc = Rút gọn biểu thức: A= a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > ab Tính: P = 4a − b Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM < CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ∆ ABC AEMF hình vng Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 §Ị SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a + b + c) − a − b − c b) Rút gọn: x − x − 12 x + 45 x − 19 x + 33 x − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A = n (n − 7) − 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài 3: (2 điểm) Giang Thi Minh Huong 11 Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B Tính xem giếng b) Giải phương trình: x + a − x − 2a = 3a (a số) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC c) Chứng minh: góc MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh số: 22499 9100 09 n-2 sè n sè số phương ( n ≥ ) Đề SỐ 16: Câu : ( điểm ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( điểm ) Định a b để đa thức A = x – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác Câu : ( điểm ) Cho biểu thức : x2 10 − x + + : x − + x + x − x − 3x x + P = a) Rút gọn p b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p = d) Tìm giá trị ngun x để p có giá trị ngun Câu : ( điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3điểm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ Giang Thi Minh Huong 12 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 ®Ị SỐ 17 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: x − 3x + + x − = x + 2 1 1 ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x Bài 3: (2điểm) 1 CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)( a + b + c ) ≥ T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x + 10 x + 21 Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC ®ång d¹ng TÝnh sè ®o cđa gãc AHM 3 Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC ®Ị SỐ 18 ®Ị bài: Bài 1( điểm): Cho biểu thức: 2x 2x − 21 + x − x + − +1 P= ÷: 2 x − 12 x + 13 x − x − 20 x − x + x − a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bài 2(3 điểm):Giải phơng tr×nh: a) 15 x − = 12 + ÷ x +3x − x + x −3 Giang Thi Minh Huong 13 Tuyển tập đề thi HSG Toán b) c) 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 x −2 +3 = Năm học: 2011-2012 Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình: Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời Bài (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Trên ®êng chÐo BD lÊy ®iĨm P, gäi M lµ ®iĨm ®èi xøng cđa ®iĨm C qua P a) Tø gi¸c AMDB hình gì? b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD = d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm, Tính cạnh hình PB 16 chữ nhật ABCD Bài 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1 + ≥ +x2 + y + xy ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A MB biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2( x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: Giang Thi Minh Huong 14 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nht S 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 5x + 5y b) 2x2 5x Bài 2: Tìm ®a thøc A, biÕt r»ng: x − 16 A = x x2 + Bài 3: Cho phân thøc: 5x + 2x + 2x a) T×m điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức x+2 Bài 4: a) Giải phơng trình : x − x = x( x − 2) b) Gi¶i bÊt phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 Giang Thi Minh Huong 15 Tuyển tập đề thi HSG Toán c) 4x – 12.2x + 32 = Năm học: 2011-2012 1 + + = x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) HA' HB' HC' + + Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = D= n5-n+2 số phơng Chứng minh : c, Câu 2: (5điểm) a, (n 2) a b c + + = biÕt abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 b, c, Câu 3: (5điểm) a, n + 3n + 2n + 6n Có giá trị mét sè nguyªn n2 + a2 b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c Giải phơng trình sau: x 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chøng minh :DiƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1 + = AB CD EF Giang Thi Minh Huong 16 Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam gi¸c DEF Giang Thi Minh Huong 17 ... giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán... · · cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF · · a) Chứng minh rằng: BDF = BAC b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD Giang Thi Minh Huong Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012... thẳng MN nhỏ Giang Thi Minh Huong 12 Tuyển tập đề thi HSG Toán Nm hc: 2011-2012 đề S 17 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + x + 20 08 x + 2007 x + 20 08 Bài 2: (2điểm) Giải