Đềthi chọn học sinh giỏi Toán 8- lần 2 ( Thời gian: 120 phút) Bi 1: (4 im) a) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: a) (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 . b) Gii phng trỡnh: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 + + + = . Bi 2 (3 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v 0 z 1 y 1 x 1 =++ . Tớnh giỏ tr ca biu thc: xy2z xy xz2y xz yz2x yz A 222 + + + + + = Bài 3: (5 điểm) a. Chứng minh rằng nếu 0; 0x y > > thì 1 1 4 x y x y + + b. Cho ; ;a b c là số đo ba cạnh một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + Bài 4: (6 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Phân giác của góc DAH cắt DH tại M, phân giác của góc BAC cắt BC tại N. Chứng minh: a. Tam giác AHD và tam giác ABC đồng dạng. b. MH.NC = MD.NB c. Tam giác AMN vuông. Bài 5: (2 điểm) Một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Tính diện tích tam giác đó. §¸p ¸n Bài 1: ( 4 ®iÓm) a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = ( ) 3 3 3 3 x y z x y z + + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y z x y z x y z x x y z y yz z + + + + + + + − + − + = ( ) ( ) 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx + + + + = 3 ( ) ( ) ( ) y z x x y z x y + + + + = 3 ( ) ( ) ( ) x y y z z x+ + + . b) x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 − − − − + + + = x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 − − − − ⇔ − + − + − + − = x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 − − − − ⇔ + + + = ( ) 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 ⇔ − + + + = ÷ x= 258 • Bài 2 (3 điểm): 0 z 1 y 1 x 1 =++ 0xzyzxy0 xyz xzyzxy =++⇒= ++ ⇒ ⇒ yz = –xy–xz x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) Do đó: )yz)(xz( xy )zy)(xy( xz )zx)(yx( yz A −− + −− + −− = Tính đúng A = 1 Bµi 3: (5 ®iÓm) a. Chøng minh r»ng nÕu 0; 0x y> > th× 1 1 4 x y x y + ≥ + Do 0; 0x y> > nªn ta cã 2 2 1 1 4 4 ( ) 4 ( ) 0 x y x y xy x y x y x y xy x y + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − ≥ + + (®óng) Suy ra đpcm. b) Vì ; ;a b c là số đo ba cạnh một tam giác nên ; ;a b c b c a c a b+ + + là các số dơng, áp dụng kết quả câu a, ta có: 1 1 2 a b c b c a b + + + (1) 1 1 2 b c a c a b c + + + (2) 1 1 2 a b c c a b a + + + (3) Cộng từng vế các bất đẳng thức (1);(2) và(3) ta có: 1 1 1 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c + + + + ữ + + + 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + (đpcm) Bài 4: A B D C H M N P a) xét AHD và ABC có o AHD ABC 90 = = HDA BCA ( DAC) = = Suy ra AHD và ABC đồng dạng. b) Ta có AM là phân giác của MH AH AHD MD AD = (1) AN là phân giác của NB AB ABC NC AC = (2) Lại có AHD và ABC đồng dạng (cmt) AH AB AD AC = . (3) Từ (1);(2) và(3) ta có: MH NB MH.NC MD.NB MD NC = = (đpcm) c) Qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AH tại P ta có: MP MH AD HD = (talet). Mặt khác MH NB MH NB (cmt) MD NC HD BC = = Suy ra MP NB AD BC = mà AD//BC và AD = BC nên MP//NB và MP = NB Tứ giác MPBN là hình bình hành BP// MN. do MP// AD MP AB, mà AH BM nên P là trực tâm tam giác AMB BP AM lại có BP// MN(cmt) MN AM hay tam giác AMN vuông. Bài 5: Gọi cạnh huyền và các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó thứ tự là a; b và c (a;b;c N * ), giả sử b c. vì số đo diện tích bằng số đo chu vi nên ta có: 2 bc a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 bc b c a b c a b c b c bc bc = = + + + Mà 2 2 2 a b c= + (pitago) nên suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 8 4 4 8 0 4 ( 4)( 4) 8 b c b c bc bc o b c b c bc bc o bc b c b c + = + = + = = Do b; c nguyên dơng và b c nên ta có bảng giá trị sau. b - 4 1 2 c - 4 8 4 b 5 6 c 12 8 * nếu b = 5; c = 12 a = 13 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 30 đvdt. * nếu b = 6; c = 8 a = 10 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 24 đvdt. Onthionline.net Đềthi học sinh giỏi Toán (Thời gian : 120’) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 3x2 -11x + b) x2 - 2xy + y2 +3x - 3y - c) x8 + x + Bài 2: Cho a ∈ Z Chứng minh a5 -a 30 Bài 3: Tìm n ∈ N để -7xn+1y6 chia hết cho 4x5yn Bài : Cho x2 -y2 = Tính giá trị biểu thức : A = 2( x6 - y6) -3( x4+ y4) Bài 5: Cho biểu thức : 2x − x − x 2x + Q = − x x + x − x + x + x a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên Bài 6: Cho Tam giác ABC Gọi D điểm BC K trung điểm AD Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC Chứng minh a) Tam giác KHF b) KH ⊥ EF đề CHN I TUYN MễN TON KHI 8 năm học 2012-2013 Thời gian: 150 phút Ngày làm bài : 27/03/2013 Cõu1. a. Phõn tớch cỏc a thc sau ra tha s: 4 x 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 3 x 4 x 5 24 + + + + b. Gii phng trỡnh: 4 2 x 30x 31x 30 0 + = c. Cho a b c 1 b c c a a b + + = + + + . Chng minh rng: 2 2 2 a b c 0 b c c a a b + + = + + + Cõu2. 1, Cho biu thc: 2 2 x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 = + + + ữ ữ + + a. Rỳt gn biu thc A. b. Tớnh giỏ tr ca A , Bit |x| = 1 2 . c. Tỡm giỏ tr ca x A < 0. d. Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x A cú giỏ tr nguyờn. 2,Tìm số d trong phép chia của biểu thức: (x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2012 cho đa thức x 2 +10x +21 Cõu 3. Cho hỡnh vuụng ABCD, M l mt im tu ý trờn ng chộo BD. K ME AB, MF AD. a. Chng minh: DE CF = b. Chng minh ba ng thng: DE, BF, CM ng quy. c. Xỏc nh v trớ ca im M din tớch t giỏc AEMF ln nht. Cõu 4. a. Cho 3 s dng a, b, c cú tng bng 1. Chng minh rng: 1 1 1 9 a b c + + b. Cho a, b dng v a 2010 + b 2010 = a 2011 + b 2011 = a 2012 + b 2012 Tinh: a 2013 + b 2014 Trng THCS Lam Kiu HNG DN CHM THI HC SINH GII LP 8 Cõu ỏp ỏn im Cõu 1 (3 im) a. x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2 = (x 4 + 4x 2 + 4) - (2x) 2 = (x 2 + 2 + 2x)(x 2 + 2 - 2x) (1 im) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x 2 + 7x + 11 - 1)( x 2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x 2 + 7x + 11) 2 - 1] - 24 = (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2 = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16) b. 4 2 x 30x 31x 30 0 − + − = <=> ( ) ( ) ( ) 2 x x 1 x 5 x 6 0− + − + = (*) Vì x 2 - x + 1 = (x - 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 x ∀ (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 x 5 0 x 5 x 6 0 x 6 − = = ⇔ + = = − (1 điểm) c. Nhân cả 2 vế của: a b c 1 b c c a a b + + = + + + với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm (1 điểm) Câu 2 (3 điểm) Biểu thức: 2 2 x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 − = + + − + ÷ ÷ − − + + a. Rút gọn được kq: 1 A x 2 − = − (0.5 điểm) b. 1 x 2 = 1 x 2 ⇒ = hoặc 1 x 2 − = 4 A 3 ⇒ = hoặc 4 A 5 = (0.5 điểm) c. A 0 x 2 < ⇔ > (0.5 điểm) d. { } 1 A Z Z x 1;3 x 2 − ∈ ⇔ ∈ ⇒ ∈ − (0.5 điểm) T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc: (x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2012 cho ®a thøc x 2 +10x +21 §Æt P(x) = (x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2012 = (x 2 + 10x + 16)(x 2 + 10x + 24) + 2012 §Æt (x 2 + 10x + 21) = t Ta cã: P(x) = (t - 5)(t + 3) + 2012 = t 2 – 2t + 1997 VËy sè d cña phÐp chia lµ: 1997 (0.5 điểm) (0.5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Câu 3 (3 điểm) HV + GT + KL (0.5 điểm) a. Chứng minh: AE FM DF = = ⇒ AED DFC ∆ = ∆ ⇒ đpcm (1 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC ∆ ⇒ đpcm (1 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a ⇒ + = không đổi AEMF S ME.MF ⇒ = lớn nhất ⇔ ME MF = (AEMF là hình vuông) M ⇒ là trung điểm của BD. (0.5 điểm) Câu 4: (1 điểm) a. Từ: a + b + c = 1 ⇒ 1 b c 1 a a a 1 a c 1 b b b 1 a b 1 c c c = + + = + + = + + 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 ⇒ + + = + + + + + + ÷ ÷ ÷ ≥ + + + = Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 3 (0.5 điểm) b. (a 2011 + b 2011 ).(a+ b) - (a 2010 + b 2010 ).ab = a 2012 + b 2012 (a+ b) – ab = 1 (a – 1).(b – 1) = 0 a = 1 hoặc b = 1 Vì a = 1 => b 2010 = b 2011 => b = 1; hoặc b = 0 (loại) Vì b = 1 => a 2010 = a 2011 => a = 1; hoặc a = 0 (loại) Vậy a = 1; b = 1 => a 2013 + b 2014 = 2 (0.5điểm) THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ Xà NĂM HỌC 2012 -2013. MÔN: TOÁN8 Thời gian làm bài: 120 phút. Ngày thi 11/4/2013 Bài 1: (3,5 điểm) 1.1. Chứng minh rằng hiệu hai bình phương của hai số tự nhiên lẻ tùy ý luôn chia hết cho 8. 1.2. Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c có các hệ số a, b, c là các số nguyên. Biết rằng với mọi giá trị nguyên của x thì đa thức có giá trị là một số nguyên chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b và c đều chia hết cho 3. Bài 2 (3,5 điểm) 2.1. Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau và có tổng bằng 2014. Hãy tính giá trị của biểu thức M = 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b b c c a 2.2. Tìm điều kiện để giá trị phân thức 2 1 3 a b c ab bc ca được xác định Bài 3 (3,0 điểm) 3.1. Cho A = 1 1 1 1 2 1 2 3 18 19 20 x x x x x x x x x . Gọi S là tập hợp các giá trị của x để A có giá trị bằng o. Tìm S. 3.2. Cho đa thức f(x) = x 3 - (m 2 - m + 7)x - (3m 2 + m - 6). Tìm m, biết f(-1) = 0. Bài 4 (3,0 điểm) 4.1. Tìm giá trị ngỏ nhất của biểu thức A = 25x 2 -10x + 5 1 x +2 4.2. Cho M = (a 2 - b 2 - c 2 ) 2 - 4b 2 c 2 . Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tám giác thì M < 0 Bài 5 (3,5 điểm) 5.1. Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a (a >0). M là điểm tùy ý trên tia đối của tia BA. Chứng minh rằng khi điểm M di động sao cho tia MC cắt tia AD tại N thì BM.DN có giá trị không đổi. 5.2. Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng HA.HD = HB.HE = HC.HF b) Tính HD HE HF AD BE CF Bài 6 (3,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD). Từ A vẽ đường thẳng song song với BC và cắt các tia DB, DC lần lượt tại M, E. Từ B vẽ đường thẳng song song với AD và cắt các tia CA, CD lần lượt tại N, F. Chứng minh rằng MN // AB và AB 2 = MN.DC Hết THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận GỢI Ý GIẢI (Gợi ý này chỉ mang tính chất tham khảo) Bài 1: 1.1. Gọi hai số tự nhiên lẻ tùy ý là 2a + 1; 2b +1 (a,b N) Không mất tính tổng quát, giả sử a > b. ta có: (2a + 1) 2 - (2b + 1) 2 = 4a 2 +4a - 4b 2 - 4b = 4a(a +1) - 4b(b +1) vì a(a +1) và b(b +1) luôn chia hết cho 2 nên 4a(a +1) và 4b(b +1) chia hết cho 8 4a(a +1) - 4b(b +1) chi hết cho 2 Vậy hiệu hai bình phương của hai số tự nhiên lẻ tùy ý luôn chia hết cho 8. 1.2. Vì f(0) 3 nên a.0 2 + b.0 + c 3 hay c 3 Vì f(1) 3 nên a.1 2 + b.1 + c 3 hay a + b + c 3 (1) Vì f(-1) 3 nên a. (-1) 2 + b. (-1) + c 3 hay a - b + c 3 (2) Từ (1) và (2) có: 2a + 2c 3 mà 2c 3 nên 2a 3 suy ra a 3 Vây a, b, c đều chia hết cho 3. Bài 2: 2.1. Ta có: a + b + c = 2014 M = 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 a b ab a b c abc a b c c a b a b c ab a b c a b b c c a a b b c c a = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c a b c ab ac bc ac bc ac a b b c c a = 2 2 2 2 2 2 1 2 a b c a b b c c a a b b c c a = 1 2 (a + b + c) = 1 2 . 2014 = 1007 2.2. 2 2 2 2 2 2 1 2 a b c ab ac bc a b a c b c Vì (a - b) 2 + (a - c) 2 + (b - c) 2 0. Nên điều kiện xác định của 2 1 3 a b c ab bc ca là a - b 0 hoặc a - c 0 hoặc b - c 0 hay a b hoặc a c hoặc b c Bài 3: 3.1. 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 18 19 19 20 x x x x x x x x x x x x =0 1 1 1 2 1 19 20 x x x x = 0 19 20 1 x x x x = 0 38x + 380 = 0 x = -10 THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận Vây S = 10 3.2. f(-1) = 0 ↔ -1 + m 2 – m + 7 – 3m 2 – m + 6 = 0 ↔ -2m 2 – 2m + 12 = 0 ↔ (m – 2)(m + 3) = 0 ↔ m = phòng gd-đt đức thọ đềthi olympic toán8 năm học 2012-2013 Đềthi chính thức Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: Cho biểu thức = + ữ + + 2 2 2 2 2 2 4xy 1 1 A : y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị của A đợc xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y là các số thực thỏa mãn + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 , hãy tìm các giá trị nguyên đơng của A ? Lời giải : a) ĐKXĐ của A là: + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 y x 0 y x y 2xy x 0 y 0 1 1 0 y x y 2xy x b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = + + + 2 2 2 2 2 y x y x 4xy 2y 4xy A : . 2x 2xy y x y x y x 2y y x y x c) ĐK cần: Từ điều kiện ( ) + + = + + + + + = 2 2 2 2 2 3x y 2x 2y 1 2x 2xy x 2xy y 2 x y 1 2 ( ) ( ) ( ) + + + + = + + + = 2 2 2 2 2x 2xy x y 2 x y 1 2 2x 2xy x y 1 2 ( ) + = + 2 2 2x 2xy 2 x y 1 2 . Do đó 0 < A 2 nên giá trị A cần tìm là { } A 1;2 ĐK đủ: Với A = 1 ( ) 2 x y 1 1 + = Xét x y 1 1 x y + = = (loại vì x y) Xét x y 1 1 x y 2 + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 2 y 2 y 2 2y 1 + + = ( ) 2 2 2 3 2 y 2y 3 2 2 4y 12y 7 0 4y 12y 9 2 2y 3 2 2y 3 2 3 2 y 2 + = = + = + = = = = 3 2 2 1 y x 2 2 + = = ; 3 2 2 1 y x 2 2 = = Với A = 2 ( ) 2 x y 1 0 x y 1 0 x y 1 + = + = = thay vào + + = 2 2 3x y 2x 2y 1 đợc ( ) ( ) 2 2 3 y 1 y 2 y 1 2y 1 + + = ( ) 2 y 0 (loại) 1 4y 6y 0 2y 2y 3 0 x 3 2 y 2 = = = = = Vậy A = 1 khi ( ) 2 1 3 2 2 1 3 2 x;y ; ; ; 2 2 2 2 + ữ ữ ữ ữ A = 2 khi ( ) 3 1 x;y ; 2 2 ữ Câu 2: a) Giải phơng trình sau + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 2008 2010 2012 2014 b) Tìm các số x, y, z biết + + = + + 2 2 2 x y z xy yz zx và + + = 2012 2012 2012 2013 x y z 3 Lời giải : a) Phơng trình tơng đơng + = + 2 2 2 2 x 17 x 15 x 13 x 11 1 1 1 1 2008 2010 2012 2014 ( ) + = + + = ữ 2 2 2 2 2 x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 1 1 1 x 2025 0 2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014 Vì > 1 1 2008 2012 và > 1 1 2010 2014 nên + > 1 1 1 1 0 2008 2010 2012 2014 Do đó ta có = = 2 x 2025 0 x 45 . Tập nghiệm của phơng trình là: { } = S 45;45 b) Từ giả thiết + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz zx 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 ( ) ( ) ( ) + + = = = = = = 2 2 2 x y y z z x 0 x y y z z x 0 x y z Do đó 2012 2012 2012 2013 2012 2013 x y z 3 3x 3 x 3+ + = = = . Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3 Câu 3: a) Cho phơng trình = + 4x 1 m 3 x 1 , với m là tham số. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng b) Chứng minh rằng nếu + + a b c 3 thì + + + + 3 3 3 4 4 4 a b c a b c Lời giải : a) ĐKXĐ: x 1. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + + 4x 1 m 3 4x 1 x 1 m 3 4x 1 x m 3 m 3 x 1 ( ) ( ) ( ) = + + = +4x 1 x m 3 m 3 x m 1 m 2 Nếu m = 1 thì 0 = 3 nên phơng trình vô nghiệm Nếu m 1 thì + = m 2 x m 1 . Để phơng trình có nghiệm dơng thì +) ( ) ( ) + + > + + > + > ữ + > + > 2 2 2 m 2 1 m 1 9 1 9 m 1 m m 2 0 m m 0 m m 2 m 1 0 4 4 2 4 m 2 0 m 1 + > 1 3 m 2 2 m < -2; m > 1. Vậy giá trị m cần tìm là m < -2; m > 1 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc + + 4 4 3 3 a b a b ab . Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) + + 4 4 3 3 3 3 3 3 a b a b ab a a b b a b 0 a b a b 0 ( ) ( ) ( ) + + + + ữ 2 2 2 2 2 2 b 3b a b a ab b 0 a b a 0 2 4 đúng với mọi a, b Chứng minh tơng tự ta cũng có + + 4 4 3 3 b c b c bc và + + 4 4 3 3 c a c a ca Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 a b c a b b c c a a b c ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + = + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 a b ab b c bc c a ca a b c a a b c b a b c c a b c ( ) ( ) + + + + 3 3 3 a b c a b c . Mặt khác ( ) ( ) + + + + + + 4 4 4 a b c 3 a b c a b c Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + 4 4 4 3 3 3 a b c a b c a b c a PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TIÊN YÊN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀTHI MÔN: TOÁN HỌC LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) (Ngày thi: 10/12/2013) Câu 1(5 điểm): Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x +y +xy Tính giá trị biểu thức: P = xy-1 Câu (4 điểm): Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x + = y2 + y Câu (3 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A (-2; -2), điểm B (0; 2), điểm C(2 ; 1) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Câu (4 điểm): Cho đoạn thẳng AB số k không âm, chứng minh có điểm M chia hay chia đoạn AB theo tỉ số k Câu (4 điểm) Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD O Trên đoạn thẳng OA lấy điểm E cho ∠BDE=∠BAC Trên đoạn thẳng OD lấy điểm F cho ∠CAF=∠BDC Chứng minh BE//CF ====Hết==== PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TIÊN YÊN NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) (Ngày thi: 10/12/2013) Câu Hướng dẫn Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x Điểm x +y2 +xy Tính giá trị biểu thức: P = xy-1 Hướng dẫn : Ta có : x2 + y = y2 + x (x – y)(x+ y -1) = => x = y x + y = 2đ x +x +x.x 3x + Với x = y => P = = (Giá trị P phụ thuộc giá trị 1,5đ x.x-1 x -1 x) + Với x + y = x +y + xy x +y +2xy - xy (x+y) - xy 1- xy = = = = −1 => P = xy -1 xy -1 xy -1 xy -1 Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x + = y2 + y 1,5đ Hướng dẫn : Viết lại phương trình thành : 9x + = y(y + 1) (1) Ta thấy vế trái (1) 9x + số chia cho dư nên y(y + 1) 1đ chia cho dư Nếu y chia hết cho y chia cho dư y(y + 1) chia 1đ hết cho 3, trái với kết luận Do y chia cho dư Đặt y = 3k + (k ∈ Z) y +1 = 3k + 1đ Khi ta có : 9x + = (3k + 1)(3k + 2) => 9x = 9k(k + 1) => x = k(k + 1) 0,5đ Thử lại x = k(k + 1) y = 3k + thoả mãn phương trình cho Vậy nghiệm nguyên phương trình (1) x = k(k + 1) y = 0,5đ 3k + (k ∈ Z) 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A (-2; -2), điểm B (0; 2), điểm C(2 ; 1) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông Hướng dẫn: Áp dụng định lý pitago cho tam giác vuông ABF, BCD ACE ta tính được: 3đ AB = 20 ; BC = ; AC = Ta thấy : AC2 = AB2 + BC2 => tam giác ABC vuông B Cho đoạn thẳng AB số k không âm, chứng minh có điểm M chia hay chia đoạn AB theo tỉ số k Hướng dẫn: + Trường hợp 1: điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 2đ Nói khác M thuộc AM => AB = MA + MB Theo ra, điểm M chia AB thành hai phần theo tỉ số k; giả sử: MA/MB = k MA = k.MB = k (AB – MA) => MA(k +1) = k.AB MA = k.AB/(k+1) Vì AB k cố định cho trước nên k.AB/(k+1) cố định => điểm M cố định Hay M điểm chia đoạn AB theo tỉ số k + Trường hợp 2: M điểm chia đoạn AB theo tỉ số k Khi ta có MA/MB = k ; M không thuộc đoạn AB điểm M, A, B thẳng hàng Giả sử: MB = MA + AB ( M nằm phía A) Tương tự trường hợp ta có: MA = k.AB/(1-k) Hay M điểm chia đoạn AB theo tỉ số k Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD O Trên đoạn thẳng OA lấy điểm E cho ∠BDE=∠BAC Trên đoạn thẳng OD lấy điểm F cho ∠CAF=∠BDC Chứng minh BE//CF 2đ Hướng dẫn: Kéo dài DE cắt AB M Có ∠MAO=MDO (gt) 1đ =>tứ giác AMOD nội tiếp Có ∠AOD= 900=> ∠AMD= 900 => DM⊥AB 1đ => E trực tâm tam giác ABD => BE⊥AD (1) 1đ Tương tự chứng minh CF⊥AD (2) 0.5đ Từ (1) (2) => BE//CF Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa 0.5đ