THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2012 -2013. MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút. Ngày thi 11/4/2013 Bài 1: (3,5 điểm) 1.1. Chứng minh rằng hiệu hai bình phương của hai số tự nhiên lẻ tùy ý luôn chia hết cho 8. 1.2. Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c có các hệ số a, b, c là các số nguyên. Biết rằng với mọi giá trị nguyên của x thì đa thức có giá trị là một số nguyên chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b và c đều chia hết cho 3. Bài 2 (3,5 điểm) 2.1. Cho a, b, c là ba số thực đôi một khác nhau và có tổng bằng 2014. Hãy tính giá trị của biểu thức M = 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b b c c a 2.2. Tìm điều kiện để giá trị phân thức 2 1 3 a b c ab bc ca được xác định Bài 3 (3,0 điểm) 3.1. Cho A = 1 1 1 1 2 1 2 3 18 19 20 x x x x x x x x x . Gọi S là tập hợp các giá trị của x để A có giá trị bằng o. Tìm S. 3.2. Cho đa thức f(x) = x 3 - (m 2 - m + 7)x - (3m 2 + m - 6). Tìm m, biết f(-1) = 0. Bài 4 (3,0 điểm) 4.1. Tìm giá trị ngỏ nhất của biểu thức A = 25x 2 -10x + 5 1 x +2 4.2. Cho M = (a 2 - b 2 - c 2 ) 2 - 4b 2 c 2 . Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tám giác thì M < 0 Bài 5 (3,5 điểm) 5.1. Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a (a >0). M là điểm tùy ý trên tia đối của tia BA. Chứng minh rằng khi điểm M di động sao cho tia MC cắt tia AD tại N thì BM.DN có giá trị không đổi. 5.2. Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng HA.HD = HB.HE = HC.HF b) Tính HD HE HF AD BE CF Bài 6 (3,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD). Từ A vẽ đường thẳng song song với BC và cắt các tia DB, DC lần lượt tại M, E. Từ B vẽ đường thẳng song song với AD và cắt các tia CA, CD lần lượt tại N, F. Chứng minh rằng MN // AB và AB 2 = MN.DC Hết THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận GỢI Ý GIẢI (Gợi ý này chỉ mang tính chất tham khảo) Bài 1: 1.1. Gọi hai số tự nhiên lẻ tùy ý là 2a + 1; 2b +1 (a,b N) Không mất tính tổng quát, giả sử a > b. ta có: (2a + 1) 2 - (2b + 1) 2 = 4a 2 +4a - 4b 2 - 4b = 4a(a +1) - 4b(b +1) vì a(a +1) và b(b +1) luôn chia hết cho 2 nên 4a(a +1) và 4b(b +1) chia hết cho 8 4a(a +1) - 4b(b +1) chi hết cho 2 Vậy hiệu hai bình phương của hai số tự nhiên lẻ tùy ý luôn chia hết cho 8. 1.2. Vì f(0) 3 nên a.0 2 + b.0 + c 3 hay c 3 Vì f(1) 3 nên a.1 2 + b.1 + c 3 hay a + b + c 3 (1) Vì f(-1) 3 nên a. (-1) 2 + b. (-1) + c 3 hay a - b + c 3 (2) Từ (1) và (2) có: 2a + 2c 3 mà 2c 3 nên 2a 3 suy ra a 3 Vây a, b, c đều chia hết cho 3. Bài 2: 2.1. Ta có: a + b + c = 2014 M = 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 a b ab a b c abc a b c c a b a b c ab a b c a b b c c a a b b c c a = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c a b c ab ac bc ac bc ac a b b c c a = 2 2 2 2 2 2 1 2 a b c a b b c c a a b b c c a = 1 2 (a + b + c) = 1 2 . 2014 = 1007 2.2. 2 2 2 2 2 2 1 2 a b c ab ac bc a b a c b c Vì (a - b) 2 + (a - c) 2 + (b - c) 2 0. Nên điều kiện xác định của 2 1 3 a b c ab bc ca là a - b 0 hoặc a - c 0 hoặc b - c 0 hay a b hoặc a c hoặc b c Bài 3: 3.1. 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 18 19 19 20 x x x x x x x x x x x x =0 1 1 1 2 1 19 20 x x x x = 0 19 20 1 x x x x = 0 38x + 380 = 0 x = -10 THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận Vây S = 10 3.2. f(-1) = 0 ↔ -1 + m 2 – m + 7 – 3m 2 – m + 6 = 0 ↔ -2m 2 – 2m + 12 = 0 ↔ (m – 2)(m + 3) = 0 ↔ m = 2; m = -3 Bài 4: 4.1. A = (5x) 2 – 2.5x.1 +1 + 5 1 x + 1 = (5x - 1) 2 + 5 1 x + 1 Vì (5x - 1) 2 0 và 5 1 x 0 nên A 1 Suy ra A co GTNN bằng 1 khi 5x - 1 = 0 x = 1/5 4.2. M = (a 2 - b 2 - c 2 + 2bc)( a 2 - b 2 - c 2 - 2bc) = [(a 2 - (b - c) 2 ] [a 2 - (b + c) 2 ] = (a + b - c)(a - b + c)(a - b - c)(a + b + c) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên: (a + b - c) > 0; (a - b + c) > 0 ; (a - b - c) < 0 ; (a + b + c) > 0 Suy ra M < 0 Bài 5: 5.1. Ta có: BMC ∽ DCN (g.g) BM BC CD DN BM.DN = BC.CD = a 2 ( không đổi) 5.2. a. EHD ∽ DMB (g.g) . . HA HE HA HD HB HE HB HD (1) HFB ∽ HEC (g.g) . . HB HF HB HE HC HF HC HE (2) Từ (1), (2) suy ra HA.HD = HB.HE = HC.HF b. Ta có: S BMC = 1/2 HD.HB S AMC = 1/2 HE.AC S ABH = 1/2 HF.AB Mà 1 BHC AHC ABH ABC ABC ABC S S S S S S hay 1 1 1 . . . 2 2 2 1 ABC ABC ABC HD BC HE AC HF AB S S S . . . 1 . . . HD BC HE AC HF AB AD BC BE AC CF AB suy ra HD HE HF AD BE CF N M D C B A H F E D C B A THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận Bài 6: a. Ta có: Tứ giác ABFD, ABCE là hình bình hành DF = AB = CE suy ra DE = CF AB // DE nên AM AB ME DE AB // CF nên AN AB NC CF AM AN ME NC MN // CE hay MN // AB b.Gọi K là giao điểm của DA và CB. Ta có: BF // DK CD CK DF BK AB//CD CK DK BK AK Suy ra CD DK DF AK (1) MN // DF DF BD MN BM AM / / BK BD DK BM AK Suy ra DF DK MN AK (2) Từ (1) , (2) ta có: CD DF DF MN Hay DF 2 = MN.CD AB 2 = MN.CD (AB = DF) EF N M D C B A K . THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2012 -2013. MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút. Ngày thi 11/4/2013 Bài 1: (3,5 điểm) 1.1. Chứng. Hết THCS Hương An Gv: Lê Công Thuận GỢI Ý GIẢI (Gợi ý này chỉ mang tính chất tham khảo) Bài 1: 1.1. Gọi hai số tự nhiên lẻ tùy ý là 2a + 1; 2b +1 (a,b N) Không mất tính tổng. nên 4a(a +1) và 4b(b +1) chia hết cho 8 4a(a +1) - 4b(b +1) chi hết cho 2 Vậy hiệu hai bình phương của hai số tự nhiên lẻ tùy ý luôn chia hết cho 8. 1.2. Vì f(0) 3 nên a.0 2 +