ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 NĂM HỌC 2012-2013 CÓ LỜI GIẢI

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 NĂM HỌC 2012-2013 CÓ LỜI GIẢI

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút

a) Tìm điều kiện x, y để giá trị của A đợc xác định

b) Rút gọn A

c) Nếu x, y là các số thực thỏa mãn 2 2  

3x y 2x 2y 1, hãy tìm các giá trị nguyên đơng của A ?

Lời giải: a) ĐKXĐ của A là:













y 0

0

b)

2 2

y x y x

c) ĐK cần: Từ điều kiện 3x2y22x 2y  1 2x22xyx2 2xy y 22 x y   1 2

 2x22xy x y 22 x y   1 2 2x22xy x y 1  22

 2x22xy 2 x y 1  2 2 Do đó 0 < A  2 nên giá trị A cần tìm là A 1;2

ĐK đủ: Với A = 1  x y 1  2 1

Xét x y 1 1    xy (loại vì x  y)

Xét x y 1   1 x y 2 thay vào 2 2  

3x y 2x 2y 1 đợc  2 2  

3 y 2 y 2 y 2  2y1

y

y 2













Với A = 2  x y 1  2  0 x y 1 0    x  thay vào y 1 3x2y22x 2y 1 đợc

3 y 1 y 2 y 1  2y 1 2  

y 0 (loại)

1

2 y

2







 



Vậy A = 1 khi x;y 2 1 3; 2 ; 2 1 3; 2

A = 2 khi x;y 3 1;

2 2

 

  

Câu 2: a) Giải phơng trình sau       

2008 2010 2012 2014 b) Tìm các số x, y, z biết x2y2z2 xy yz zx và   x2012y2012z2012 32013

Lời giải: a) Phơng trình tơng đơng           

 

2

Vì 1  1

2008 2012 và 

0

2008 2010 2012 2014

Do đó ta có x2 2025 0 x45 Tập nghiệm của phơng trình là: S  45;45

b) Từ giả thiết x2y2z2xy yz zx   2x22y22z2 2xy 2yz 2zx  0

 x y 2 y z 2 z x 2 0 x y  y z z x 0 x y z

Do đó x2012y2012z2012 32013 3x201232013  x Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -33

Câu 3: a) Cho phơng trình   



4x 1

m 3

x 1 , với m là tham số Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng b) Chứng minh rằng nếu a b c  3 thì a3b3c3 a4b4c4

Lời giải: a) ĐKXĐ: x  1 Ta có                    



4x 1

x 1

 4x 1 x m 3    m 3  x m 1  m 2

Nếu m = 1 thì 0 = 3 nên phơng trình vô nghiệm

Nếu m  1 thì  



m 2 x

m 1 Để phơng trình có nghiệm dơng thì

+)







 

2

m 2

m 2

0

m 1

 1 3

m

2 2  m < -2; m > 1 Vậy giá trị m cần tìm là m < -2; m > 1 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc 4 4 3  3

a b a b ab Thật vậy a4b4a b ab3  3  a a b3   b a b3   0 a b a   3 b30

2 4 đúng với mọi a, b Chứng minh tơng tự ta cũng có 4 4 3  3

b c b c bc và c4a4c a ca3  3

Do đó 3 a 4b4c4  a4b4  b4c4  c4a4  a4b4c4

a b ab3  3b c bc3  3c a ca3  3a4b4c4a a b c3   b a b c3   c a b c3  

 a b c a  3b3c3 Mặt khác a b c   3 a b c a    4b4c4

Do đó a b c a    4b4c4a b c a    3b3c3 3 3 3  4 4 4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB Lấy

điểm C trên tia Ax, điểm D trên tia By sao cho   0

COD 90 a) Chứng minh rằng ACO  BOD và OCD  BOD

b) Kẻ OI  CD (I  CD), gọi K là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng IK // AC

c) Gọi E là giao điểm của OD với IK Chứng minh rằng IE = BD

Lời giải: a) Xét ACO và BOD có









0

CAO OBD 90 (gt)

AOC BDO (cùng phụ BOD)

O

K

I C

y D x

E

 ACO  BOD (g – g)

 CO AO CO OD COOD

OD BD AO BD OB BD (Vì AO = OB)

Xét OCD và BOD có









COD OBD 90 (gt)

 OCD  BOD (c – g – c)

b) Ta có ACO  BOD  ACOBOD

OCD  BOD  DCO BOD Do đó  ACODCO

Xét CAO ( CAO90 ) và CIO ( 0 CIO90 ) có:0





ACO DCO

CO chung  CAO = CIO (Cạnh huyền – góc nhọn)  CA = CI Chứng minh tơng tự ta cũng có

DBO = DIO (Cạnh huyền – góc nhọn)  DB = DI

Mặt khác  





CA AB (gt)

DB AB (gt)  CA // DB  DK DB DI

AK CA CI (Hệ quả của định lí TaLets)

Từ đó ta có DK DI

AK CI suy ra IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes) c) Theo câu b) ta có IK // AC mà AC // BD nên IK // BD  IEDBDE (so le) 

Mặt khác DBO = DIO (Cạnh huyền – góc nhọn)  BDE IDE Do đó  IED IDE  IED cân tại I 

 IE = ID mà ID = BD (Theo câu b) Vậy IE = BD

Câu 5: Cho



So sánh S với 1

1006

x y 1 x y 1

Lần lợt thay x bởi 2; 22; 23; …; 22014 và y bởi 2013; 20132; 2 2

2013 ; …; 201322013 đợc



2014

2015

2

1006 2013 1 1006 Vậy S 1

1006

Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn