đề thi olympic lớp 8 năm học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 15 - 4 - 2014 Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 3 2 x 3x 2x 6 0- + + = b) x b x 5 2 x 5 x b + + + = - - (b là tham số) Bài 2. a) Cho các số a, b thoả mãn 2 2 3 3 a b a b 1+ = + = Tính giá trị biểu thức 4 4 A a b= + b) Cho số tự nhiên a và số nguyên tố p thoả mãn đẳng thức 3 a 2p 1= + Tìm a và p. c) Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2). Biết rằng f(x) chia cho x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1. Bài 3. Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c thoả mãn hệ thức: ab bc ca ca ab bc b c c a a b b c c a a b + + = + + + + + + + + . Chứng minh rằng: ABC là tam giác cân. Bài 4. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi I là điểm nằm giữa A và B. tia DI cắt CB tại E. a) Chứng minh IE. IA = IB. ID b) Chứng minh 2 2 2 1 1 1 DI DE a + = c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = BE. Gọi K là giao điểm của FC và AE. Chứng minh DK ^ EF . Bài 5. Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức: 2 2 2 1 8x y 4 4x + + = Tìm giác trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = xy. Hết Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: ………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Điểm Bài 1 (4,0đ) a) 2,0đ 3 2 x 3x 2x 6 0- + + = 2 (x 1)(x 4x 6) 0Û + - + = Û x + 1 = 0 (1) hoặc x 2 – 4x + 6 = 0 (2) (1) x 1« =- (2) 2 (x 2) 2 0« - + = Vô nghiệm Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là { } S 1= - 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 2,0đ ĐK : x ¹ 5; x ¹ b. Biến đổi pt về dạng: 2x (b+5) = (b+5) 2 Nếu b ¹ -5 thì x = b 5 2 + . Giá trị này là nghiệm nếu b 5 2 + ¹ b Û b ¹ 5 Nếu b =-5 ta có 0x =0. pt có nghiệm với mọi x ¹ 5; x ¹ - 5 Kết luận: Nếu b ¹ 5; b ¹ -5. Phương trình có nghiệm duy nhất x = b 5 2 + Nếu b = 5 pt vô nghiệm Nếu b = -5 pt có vô số nghiệm x ¹ 5; x ¹ - 5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2 (5,0đ) a) 1,5đ Từ 2 2 3 3 a b a b 1+ = + = suy ra 3 2 3 2 a a b b 0- + - = 2 2 a (1 a) b (1 b) 0Û - + - = Lại có 2 2 a b 1+ = suy ra 1 a 1; 1 b 1- £ £ - £ £ Þ a 1 0; b 1 0- ³ - ³ Từ đó 2 2 a (1 a) b (1 b) 0- = - = Xét các khả năng xảy ra của a,b ta có (a; b) = (0; 1) (1; 0) Ta có A = 1 0,5 0,5 0,5 b) 1,5đ Ta thấy 2p + 1 là số lẻ, nên a là số nguyên dương lẽ. Đặt a = 2m + 1 (m là số tự nhiên) Ta có ( ) 3 2m 1 2p 1+ = + . Biến đổi ta được p = 2 m(4m 6m 3)+ + vì p nguyên tố nên suy ra m= 1, từ đó a = 3; p = 13 0,5 0,25 0,5 0,25 b) 2,0đ f(x) Vì 2 (x 1)(x 2) x x 2- + = + - là đa thức bậc 2 nên f(x) : [ ] )2)(1( +− xx có đa thức dư dạng ax + b Do f(x) : (x - 1) dư 7 ⇒ f(1) = 7 ⇒ a + b =7 (1) f(x) : (x + 2) dư 1 ⇒ f(-2) =1 ⇒ -2a +b = 1 (2) Từ (1) và (2) ⇒ a = 2 và b = 5. Vậy f(x) : [ ] )2)(1( +− xx được dư là 2x + 5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (2,0đ) 2,0đ Biến đổi đẳng thức đã cho thành: 1 1 1 1 1 1 ab( ) bc( ) ac( ) 0 b c a c a c a b a b b c - + - + - = + + + + + + ab(a b) bc( b c) ac(c a) 0 (b c)(a c) (a c)(a b) (a b)(b c) - - - + + = + + + + + + Qui đồng mẫu hai vế và khử mẫu thu gọn ta được (a + b + c)(a - b)(b - c)(c - a) = 0 Ta có a = b hoặc b=c hoặc a = c . vậy tam giác ABC cân 1,5 0,5 Bài 4 (6,0đ) F H K E C B A D I a) 2,0đ Chứng minh được tam giác AID đồng dạng với tam giác BIE Suy ra IE. ID = IB. IA 1,5 1,0 b) 2,0đ Tam giác ADI đồng dạng với tam giác CED Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 DI AI DI AI DI AD DI 1 DE CD DE CD CD CD DI DI 1 1 1 1 1 DE CD DE DI CD a - = Þ = = = - Þ + = Þ + = = 0,5 0,5 1,0 c) 2,0đ ABE DAFD =D Þ µ E F= $ ; lại có · · BAE FAK= Suy ra · FAK + F $ = 90 0 Þ EK FD^ (1) Tương tự FBC ECDD =D Þ FC ^ DE (2) Từ (1) và (2), suy ra K là trực tâm của tam giác EFD => DK E F^ 0,75 0,75 0,5 Bài 5 (3,0đ) 3,0đ Biến đổi đẳng thức đã cho ta được 2 2 1 4xy (2x ) (2x y) 2 2 2x = - + + - ³ - Suy ra 1 xy 2 - ³ . Đẳng thức xảy ra khi x 0,5 y 1 ì = ï ï í ï =- ï î hoặc x 0,5 y 1 ì =- ï ï í ï = ï î => Min P = 1 2 - khi x 0,5 y 1 ì = ï ï í ï =- ï î hoặc x 0,5 y 1 ì =- ï ï í ï = ï î Biến đổi đẳng thức đã cho ta được 2 2 1 4xy (2x ) (2x y) 2 2x - = - + - - Suy ra 1 xy 2 £ . Đẳng thức xảy ra khi x 0,5 y 1 ì = ï ï í ï = ï î hoặc x 0,5 y 1 ì =- ï ï í ï =- ï î => Max P = 1 2 khi x 0,5 y 1 ì = ï ï í ï = ï î hoặc x 0,5 y 1 ì =- ï ï í ï =- ï î 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Tổng 20,0 Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng, hợp lí cho điểm tối đa. Điểm toàn bài quy tròn đến 0,5./. . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 15 - 4 - 2014 Bài 1. Giải các phương. y thoả mãn đẳng thức: 2 2 2 1 8x y 4 4x + + = Tìm giác trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = xy. Hết Họ và tên thí sinh: …………………………………………… SBD: ………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN. 1 ì = ï ï í ï = ï î hoặc x 0,5 y 1 ì =- ï ï í ï =- ï î 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Tổng 20,0 Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng, hợp lí cho điểm tối đa. Điểm toàn bài quy tròn đến 0,5./.