Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a.. tia DI cắt CB tại E.. Gọi K là giao điểm của FC và AE.. Chứng minh DK^ EF.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO THẠCH HÀ
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 15 - 4 - 2014
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a) x3- 3x2+2x+ =6 0
b) x b x 5 2
- - (b là tham số)
Bài 2 a) Cho các số a, b thoả mãn a2+b2 = + =a3 b3 1
Tính giá trị biểu thức A=a4+b4
b) Cho số tự nhiên a và số nguyên tố p thoả mãn đẳng thức a3 =2p 1+
Tìm a và p
c) Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) Biết rằng f(x) chia cho x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1
Bài 3 Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c thoả mãn hệ thức:
b c+c a+a b=b c+c a+a b
giác cân.
Bài 4 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Gọi I là điểm nằm giữa A và B.
tia DI cắt CB tại E
a) Chứng minh IE IA = IB ID
b) Chứng minh 12 1 2 12
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = BE Gọi K là giao điểm của FC và AE Chứng minh DK^ EF.
Bài 5 Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức: 2 2
2
1
4x
Tìm giác trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = xy.
Hết
-Họ và tên thí sinh: ……… SBD: …………
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2Bài Câu Nội dung Điểm
Bài 1
(4,0đ)
a)
2,0đ
x - 3x +2x 6+ =0
2 (x 1)(x 4x 6) 0
Û + - + =
Û x + 1 = 0 (1) hoặc x2 – 4x + 6 = 0 (2) (1) « x =- 1
(x 2) 2 0
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= -{ }1
0,5 0,5
0,5 0,5
b)
2,0đ ĐK : x
¹ 5; x¹ b
Biến đổi pt về dạng: 2x (b+5) = (b+5)2 Nếu b¹ -5 thì x = b 5
2
+
Giá trị này là nghiệm nếu b 5
2
+ ¹
bÛ b¹ 5 Nếu b =-5 ta có 0x =0 pt có nghiệm với mọi x ¹ 5; x ¹ - 5
Kết luận:
Nếu b¹ 5; b¹ -5 Phương trình có nghiệm duy nhất x = b 5
2 +
Nếu b = 5 pt vô nghiệm Nếu b = -5 pt có vô số nghiệm x ¹ 5; x ¹ - 5
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 2
(5,0đ)
a)
1,5đ Từ
a +b = +a b =1 suy ra 3 2 3 2
a - a + -b b =0
a (1 a) b (1 b) 0
Lại có 2 2
a +b =1 suy ra - £ £1 a 1;- £ £1 b 1 Þ a- ³1 0; b- ³1 0
a (1- a)=b (1- b)=0
Xét các khả năng xảy ra của a,b ta có (a; b) = (0; 1) (1; 0)
Ta có A = 1
0,5 0,5
0,5 b)
1,5đ
Ta thấy 2p + 1 là số lẻ, nên a là số nguyên dương lẽ Đặt a = 2m + 1 (m là
số tự nhiên)
Ta có ( )3
2m+1 =2p+1 Biến đổi ta được p = 2
m(4m +6m+3) vì p nguyên tố nên suy ra m= 1, từ
đó a = 3; p = 13
0,5 0,25 0,5 0,25 b)
2,0đf(x) Vì
2 (x- 1)(x+ =2) x + -x 2 là đa thức bậc 2 nên f(x) : (x 1 )(x 2 ) có
đa thức dư dạng ax + b
Do f(x) : (x - 1) dư 7 f(1) = 7 a + b =7 (1) f(x) : (x + 2) dư 1 f(-2) =1 -2a +b = 1 (2)
Từ (1) và (2) a = 2 và b = 5
Vậy f(x) : (x 1 )(x 2 ) được dư là 2x + 5
0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3
(2,0đ) 2,0đ Biến đổi đẳng thức đã cho thành:1 1 1 1 1 1
b c- a c + a c- a b + a b- b c =
ab(a b) bc(b c) ac(c a)
0 (b c)(a c) (a c)(a b) (a b)(b c)
Qui đồng mẫu hai vế và khử mẫu thu gọn ta được (a + b + c)(a - b)(b - c)(c - a) = 0
Ta có a = b hoặc b=c hoặc a = c vậy tam giác ABC cân
1,5
0,5
Trang 3Bài 4
(6,0đ)
F
E
C
B A
D
I
a)
2,0đ
Chứng minh được tam giác AID đồng dạng với tam giác BIE Suy ra IE ID = IB IA
1,5 1,0 b)
2,0đ Tam giác ADI đồng dạng với tam giác CED
Suy ra:
DI AI DI AI DI AD DI
1
DE CD DE CD CD CD
1
DE CD DE DI CD a
0,5 0,5 1,0 c)
2,0đ Suy ra DABE=D· DAF Þ Eµ =$F; lại có BAE· =FAK·
FAK + F$= 900 Þ EK FD ^ (1) Tương tự D FBC =D ECD Þ FC ^DE (2)
Từ (1) và (2), suy ra K là trực tâm của tam giác EFD => DK^E F
0,75 0,75 0,5
Bài 5
(3,0đ) 3,0đ Biến đổi đẳng thức đã cho ta được1 2 2
4xy (2x ) (2x y) 2 2
2x
= - + + - ³
-Suy ra xy 1
2
-³ Đẳng thức xảy ra khi x 0, 5
y 1
ì = ïï
íï
y 1
ì =-ïï
íï = ïî
=> Min P = 1
2
khi x 0, 5
y 1
ì = ïï
íï
y 1
ì =-ïï
íï = ïî
Biến đổi đẳng thức đã cho ta được
1 4xy (2x ) (2x y) 2
2x
-Suy ra xy 1
2
£ Đẳng thức xảy ra khi x 0, 5
y 1
ì = ïï
íï =
y 1
ì =-ïï
íï =-ïî
=> Max P = 1
2 khi x 0, 5
y 1
ì = ïï
íï =
y 1
ì =-ïï
íï =-ïî
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng, hợp lí cho điểm tối đa Điểm toàn bài quy tròn đến 0,5./.