Tìm m để phương trình có nghiệm dương.. Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB.. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB.. a Chứng minh rằng: ∆ACO đồng dạng với ∆BOD
Trang 1PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 − 4 x − 8
x + x + − x + x + +
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) 2 17 2 15 2 13 2 11
2008 2010 2012 2014
x − + x − = x − + x −
b) (1 + x2 2) − 4 (1 x − x2) 0 =
Bài 3 a) Cho phương trình: 4 1 3
1
x
m
− , với m là tham số Tìm m để phương
trình có nghiệm dương.
b) Cho các số nguyên: a a a1, , , 2 3 a thoã mãn điều kiện:10
1 2 3 10
a + a + a + + a chia hết cho 6 Chứng minh: a1+ + + + a2 a3 a10 chia hết cho 6.
Bài 4 Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB Vẽ về một phía của AB
các tia Ax, By vuông góc với AB Lấy điểm C trên tia Ax, lấy điểm D trên tia By sao cho COD· =900
a) Chứng minh rằng: ∆ACO đồng dạng với ∆BOD;
∆OCD đồng dạng với ∆BOD.
b) Kẻ OI vuông góc với CD (I thuộc CD), gọi K là giao điểm của AD và
BC Chứng minh rằng: IK // AC.
c) Gọi E là giao điểm của OD với IK Chứng minh: IE = BD.
Bài 5 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên tia đối của tia AC lấy điểm I (
I A ≠ ), gọi G là giao AM với BI; K là giao điểm CG với AB Chứng minh rằng:
IK // BC.
===HẾT===
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2010-2011
Bài 1
4.0
điểm
4 8 4 4 12 ( 2) 12
x − x− =x − x+ − = −x −
(x 2 12)(x 2 12)
1.0 1.0
b) (2,0đ) Đặt (x2+4x+10) =a
Ta có: a2−7(a+ +1) 7= a a( −7)
= (x2+4x+10) (x2+4x+3)
= (x2+4x+10) (x+3) (x+1)
0.5 0.5 0.5 0.5
Bài 2
4.0
điểm
a) (2.0đ)
2 17 2 15 2 13 2 11
2008 2010 2012 2014
x − + x − = x − +x −
2008 2010 2012 2014
2 17 2008 2 15 2010 2 13 2012 2 11 2014
2025 2025 2025 2025
0
2008 2010 2012 2014
2008 2010 2012 2014
2 2025 0
x
45
x
⇔ = ± Vậy ph trình có 2 nghiệm là x1= −45 và x2 =45 0,250,25
b) (2.0đ)(1+x2 2) −4 (1x −x2) 0=
(1 x ) 4 (1x x ) 4x 4x 8x 0
(1 x 2 )x 4(x 2x 1) 4 0
(1 x 2x 2) 0 x 2x 1 0
2 (x 1) 2
⇔ + =
2 1
x
⇔ = ± − Vậy phương trình có 2 nghiệm x1= − 2 1− và x2 = 2 1−
0,5 0.5 Bài 3
4.0
điểm
a) (2,0đ)
ĐKXĐ: x≠1
4 1
3 1
x
m
x − = +
− suy ra: 4x – 1 = (m+3)(x-1)
⇔(m -1) x = m+2 (*)
* Nếu m = 1 thì pt (*) vô nghiệm
* Nếu m ≠ 1 pt (*) có nghiệm 2
1
m x m
+
=
−
Ta thấy m+ ≠ −2 m 1 nên x≠1
Phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi 2 0
1
m
m+ >
−
⇔ m > 1 hoặc m < -2
0.25
0.25 0.5 0.25 0,25 0.25 0,25
b) (2.0đ) Xét (a31+a32+a33+ + a310)−(a1+ + + +a2 a3 a10)
Trang 3= 3 3 3
(a −a ) (+ a −a ) (+ + a −a )
Do a13− =a1 (a1−1) (a a1 1+1)chia hết cho 2 và 3 nên (a1−1) (a a1 1+1)M6
Khi đó ta có: 3 3 3 3
(a +a +a + + a )−(a1+ + + +a2 a3 a10) 6M
Mà a31+a32+a33+ + a310M6
Suy ra: a1+ + + +a2 a3 a10M6
0,25 0.75
0.5 0.5
Bài 4
6.0
điểm
a) (1,75 đ)
* ACO∆ đồng dạng với BOD∆ ( g g)
* Do ∆ACO đồng dạng với ∆BOD( g-g)
suy ra:
BD =OD⇒CO =OD
Khi đó ta có: OCD∆ đồng dạng với
BOD
∆ ( c.g.c)
0.5 0.5
0.75
b) (2 đ) Ta chứng minh được ∆OBD= ∆OID(cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ DB = DI
chứng minh tương tự ta có: CI = CA
khi đó ta có: CI CA
ID= BD (1)
Do AC // BD nên ta có: CK CA
BK = BD (2)
từ (1) và (2) ta có: CK CI
BK = BD ⇒ IK // AC
0.5 0.5 0.5 0.5
c) (2.0 đ)Ta chứng minh được E là trực tâm của BOI∆
⇒ BE vuông góc OI mà OI vuông góc CD suy ra CD // BE
kết hợp với BD // IK ta có BEID là hình bình hành ⇒ BD = IE
1.0 0.5 0.5
Bài 5
2.0
điểm
Qua G kẻ đường thẳng song song với
BC lần lượt cắt AC và AB tại E và F
Ta có: GE GF GE GF
Ta lại có:GK GF
KC = BC và GI GE
BI = BC
Suy ra: GI GK
BI = KC ⇒ KI // BC
0.75
1.0
Lưu ý: Các cách giải khác dúng và hợp lý vẫn cho điểm tối đa Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
y x
K
E
I
D C
A