đề thi olympic toán lớp 8 năm học 2010-2011

PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ Đề chính thức ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2 4 8x x− − . b) ( ) ( ) 2 2 2 4 10 7 4 11 7x x x x+ + − + + + . Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 2 17 15 13 11 2008 2010 2012 2014 x x x x− − − − + = + b) 2 2 2 (1 ) 4 (1 ) 0x x x + − − = . Bài 3. a) Cho phương trình: 4 1 3 1 x m x − = + − , với m là tham số. Tìm m để phương trình có nghiệm dương. b) Cho các số nguyên: 1 2 3 10 , , , a a a a thoã mãn điều kiện: 3 3 3 3 1 2 3 10 a a a a+ + + + chia hết cho 6. Chứng minh: 1 2 3 10 a a a a+ + + + chia hết cho 6. Bài 4. Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C trên tia Ax, lấy điểm D trên tia By sao cho · 0 90COD = . a) Chứng minh rằng: ACO∆ đồng dạng với BOD∆ ; OCD∆ đồng dạng với BOD∆ . b) Kẻ OI vuông góc với CD (I thuộc CD), gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: IK // AC. c) Gọi E là giao điểm của OD với IK. Chứng minh: IE = BD. Bài 5. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I ( I A≠ ), gọi G là giao AM với BI; K là giao điểm CG với AB. Chứng minh rằng: IK // BC. ===HẾT=== HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2010-2011 Bài Nội dung Điểm Bài 1 4.0 điểm a) (2.0đ) 2 2 2 2 4 8 4 4 12 ( 2) 12x x x x x− − = − + − = − − ( 2 12)( 2 12)x x= − − − + 1.0 1.0 b) (2,0đ) Đặt ( ) 2 4 10x x a+ + = Ta có: 2 7( 1) 7a a− + + = ( ) 7a a − = ( ) ( ) 2 2 4 10 4 3x x x x+ + + + = ( ) ( ) ( ) 2 4 10 3 1x x x x+ + + + 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2 4.0 điểm a) (2.0đ) 2 2 2 2 17 15 13 11 2008 2010 2012 2014 x x x x− − − − + = + 2 2 2 2 17 15 13 11 1 1 1 1 2008 2010 2012 2014 x x x x− − − − ⇔ − + − = − + − 0,5 2 2 2 2 17 2008 15 2010 13 2012 11 2014 2008 2010 2012 2014 x x x x− − − − − − − − ⇔ + = + 0,25 2 2 2 2 2025 2025 2025 2025 0 2008 2010 2012 2014 x x x x− − − − ⇔ + − − = 0,5 2 1 1 1 1 ( 2025). 0 2008 2010 2012 2014 x   ⇔ − + − − =  ÷   0,25 2 2025 0x⇔ − = 45x ⇔ = ± . Vậy ph trình có 2 nghiệm là 1 45x = − và 2 45x = 0,25 0,25 b) (2.0đ) 2 2 2 (1 ) 4 (1 ) 0x x x + − − = 2 2 2 2 2 (1 ) 4 (1 ) 4 4 8 0x x x x x x⇔ + + + + − − = 0,5 2 2 2 (1 2 ) 4( 2 1) 4 0x x x x⇔ + + − + + + = 0,25 2 2 2 (1 2 2) 0 2 1 0x x x x⇔ + + − = ⇔ + − = 0,25 2 ( 1) 2x⇔ + = 2 1x⇔ = ± − Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 2 1x = − − và 2 2 1x = − 0,5 0.5 Bài 3 4.0 điểm a) (2,0đ) ĐKXĐ: x ≠ 1 4 1 3 1 x m x − = + − suy ra: 4x – 1 = (m+3)(x-1) ⇔ (m -1) x = m+2 (*) * Nếu m = 1 thì pt (*) vô nghiệm * Nếu m ≠ 1 pt (*) có nghiệm 2 1 m x m + = − Ta thấy 2 1m m+ ≠ − nên x ≠ 1 Phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi 2 0 1 m m + > − ⇔ m > 1 hoặc m < -2 0.25 0.25 0.5 0.25 0,25 0.25 0,25 b) (2.0đ) Xét 3 3 3 3 1 2 3 10 ( )a a a a+ + + + − ( 1 2 3 10 a a a a+ + + + ) = 3 3 3 1 1 2 2 10 10 ( ) ( ) ( )a a a a a a− + − + + − Do 3 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)a a a a a− = − + chia hết cho 2 và 3 nên 1 1 1 ( 1) ( 1)a a a− + 6M Khi đó ta có: 3 3 3 3 1 2 3 10 ( )a a a a+ + + + − ( 1 2 3 10 a a a a+ + + + ) 6M Mà 3 3 3 3 1 2 3 10 6a a a a+ + + + M Suy ra: 1 2 3 10 a a a a+ + + + 6M 0,25 0.75 0.5 0.5 Bài 4 6.0 điểm (0,25đ) Vẽ hình đúng 0,25 a) (1,75 đ) * ACO∆ đồng dạng với BOD∆ ( g. g) * Do ACO ∆ đồng dạng với BOD ∆ ( g-g) suy ra: AO CO BO BD BD OD CO OD = ⇒ = Khi đó ta có: OCD∆ đồng dạng với BOD ∆ ( c.g.c). 0.5 0.5 0.75 b) (2 đ) Ta chứng minh được OBD OID ∆ = ∆ (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ DB = DI chứng minh tương tự ta có: CI = CA khi đó ta có: CI CA ID BD = (1) Do AC // BD nên ta có: CK CA BK BD = (2) từ (1) và (2) ta có: CK CI BK BD = ⇒ IK // AC 0.5 0.5 0.5 0.5 c) (2.0 đ)Ta chứng minh được E là trực tâm của BOI∆ ⇒ BE vuông góc OI mà OI vuông góc CD suy ra CD // BE kết hợp với BD // IK ta có BEID là hình bình hành ⇒ BD = IE 1.0 0.5 0.5 Bài 5 2.0 điểm Vẽ hình đúng 0.25 Qua G kẻ đường thẳng song song với BC lần lượt cắt AC và AB tại E và F Ta có: GE GF GE GF MC BM = ⇒ = Ta lại có: GK GF KC BC = và GI GE BI BC = Suy ra: GI GK BI KC = ⇒ KI // BC 0.75 1.0 Tổng 20.0 Lưu ý: Các cách giải khác dúng và hợp lý vẫn cho điểm tối đa. Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 y x K E I D C O B A . PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ Đề chính thức ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 2 4 8x x− − . b) ( ) ( ) 2 2. minh rằng: IK // BC. ===HẾT=== HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2010-2011 Bài Nội dung Điểm Bài 1 4.0 điểm a) (2.0đ) 2 2 2 2 4 8 4 4 12 ( 2) 12x x x x x− − = − + − = − − ( 2. 2 17 15 13 11 20 08 2010 2012 2014 x x x x− − − − + = + 2 2 2 2 17 15 13 11 1 1 1 1 20 08 2010 2012 2014 x x x x− − − − ⇔ − + − = − + − 0,5 2 2 2 2 17 20 08 15 2010 13 2012 11 2014 20 08 2010 2012 2014 x