SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC- NĂM 2011 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC Môn thi: Toán - Khối 11 Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: (6 điểm) 1. Cho hàm số 1)( 2 +−+== xxxxfy .Chứng minh rằng 0)(' >xf ∀ x ∈R. 2. Cho hàm số x xy 1 += có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại các điểm ( ;0), (0, ) ( 0, 0) A a B b a b> > sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4 với điểm O là gốc tọa độ. Câu II: (6 điểm) 1. Giải phương trình 8 15 2000sin 2011cos 2011x x+ = 2. Cho các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó có đúng ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ. 3. Cho dãy số ( ) n u với nn u n + = 2 1 . Thành lập dãy số ( ) n s với 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , n n s u s u u s u u u s u u u u= = + = + + = + + + + . Tính: lim n n s →+∞ Câu III: (2 điểm) Cho phương trình 222 222011 +=+−− mmxxx ( m – là tham số).Chứng minh rằng phương trình có nghiệm thực duy nhất với mọi m. Câu IV: (6 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau. 1. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 SH SA SB SC = + + và H thuộc miền trong của tam giác ABC. 2. Gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC, , , α β γ lần lượt là các góc giữa đường thẳng SM và các đường thẳng SA,SB,SC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 sin sin sin P α β γ = + + ………………………………………Hết………………………………………………. Họ và tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:……………………. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC- NĂM 2 011 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC Môn thi: Toán - Khối 11 Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: (6 điểm) 1. Cho hàm số. OAB bằng 4 với điểm O là gốc tọa độ. Câu II: (6 điểm) 1. Giải phương trình 8 15 2000sin 2011cos 2011x x+ = 2. Cho các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ. u u u= = + = + + = + + + + . Tính: lim n n s →+∞ Câu III: (2 điểm) Cho phương trình 222 222 011 +=+−− mmxxx ( m – là tham số).Chứng minh rằng phương trình có nghiệm thực duy nhất với mọi