Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ.. Câu 4: 5 điểm Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a.. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.. M là giao điểm của CE và DF.. a Chứng minh CE vuơng gĩc
Trang 1UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề gờm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 MƠN : TỐN
LỚP : 8 Thời gian : 150 phút
(Khơng kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n
+ 82n+1 M 59
Câu 2: (5 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 2011x2 + 2010x + 2011
b) Giải phương trình:
(x – 1)3 + x3 + (x+1)3 = (x+2)3
Câu 3: (5 điểm)
a) Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20 Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:
P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cĩ giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ.
Câu 4: (5 điểm)
Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh CE vuơng gĩc với DF
b) Chứng minh CM CE.
CF a c) Tính diện tích MDC theo a
Trang 2
-Hết -UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Hướng dẫn chấm gờm 02 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 MƠN : TỐN
LỚP : 8 Thời gian : 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (5 điểm)
a) Ta phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3M 9 với n � Z
A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 (0,5đ)
= 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9 (0,5đ)
Nhận thấy n, n-1, n+1 là là ba số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n + 1) M 3
� 3n(n – 1)(n + 1) M 9 Ngồi ra 9n2 + 18n + 9 M 9
b) 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n (0,75đ) = 5n(59 – 8) + 8.64n (0,5đ)
= 59.5n + 8(64n – 5n) (0,5đ)
59.5n M 59 và 8(64n – 5n) M(64 – 5) = 59
Vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M 59 (0,75đ)
Câu 2: (5 điểm)
a) x4 + 2011x2 + 2010x + 2011
= x4 + x3 + x2 + 2010x2 + 2010x + 2010 – x3 + 1 (0,5đ)
= x2(x2 + x + 1) + 2010(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) (0,5đ)
b) Giải phương trình:
(x – 1)3 + x3 + (x + 1)3 = (x + 2)3
x3 – 3x2 + 3x – 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 (0,5đ)
(x – 1)(x2 + x + 1) – 3(x2 + x + 1) = 0 (0,5đ)
Vì x2 + x + 1 ≠ 0 nên x – 4 = 0
Trang 3M
F E
C
B A
D
Câu 3: (5 điểm)
a) Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20 Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3
Từ a2 + b2 = 20 � (a + b)2 – 2ab = 20 (0,75đ)
M = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) Ta có:
P = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2+5x-6)(x2+5x+6) = (x2+5x)2-36 (0,75đ)
Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P = (x2+5x)2-36 -36 (0,75đ)
Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì Min P = -36 (0,75đ)
Câu 4: (5 điểm)
a) VBECVCFD c g c( )�BCE CDF� � (0,5đ)
VCDF vuông tại C �CFD CDF� � 900�CFD BCE� � 900�CMF� 900 �VCMF vuông tại M
b) Xét VCMF và VCBE có CMF CBE� � 900
và MCF� chung
=> VCMF đồng dạng VCBE (gg) (0,75đ)
=> CM CF CM CE. BC
CB CE CF
Mà BC =a
Do đó : CM CE. a
CF (0,75đ) c) CMD FCD g g( ) CD CM
FD FC
�
Do đó :
CMD
CMD FCD FCD
V
V
(0,5đ)
FCD
SV CF CD CD .
2
1 4
CMD
CD
FD
Trang 4Trong VDCF áp dụng định lý Pytago ta có :
DF CD CF CD �� BC ��CD CD CD
Do đó :
2
2
4
MCD
CD
CD
( Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)