đề +đáp án thi chọn hsg huyên nam học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN-NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán, Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút. Ngày thi: 10/10/2013 Bài 1: a) Cho các số a, b, c thỏa mãn: = = a b c 2012 2013 2014 . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) − − = − 2 4 a b b c a c b) Cho A 2012 2013 2014 = + + và = + + B 2009 2011 2019 . Hãy so sánh A với B Bài 2: a) Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn: a+b+1=ab b) Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: − + − + − + − =a b b c c d d a 2013 Bài 3: a) Giải phương trình: ( ) + = + 2 2 2 4x x 12 x 2 b) Cho đa thức: ( ) = − + + 3 2 f x x 3x 3x 3 . Chứng minh rằng:     <  ÷  ÷     2014 2013 f f 2013 2012 Bài 4: Cho ∆ABC có 3 góc đều nhọn và góc · BAC =45 0 ; hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm DE. Kẻ EM vuông góc với AC (M ∈ AC), DN vuông góc với AB (N ∈ AB). O là giao điểm của EM và DN. a) Tứ giác EHDO là hình gì?. b) Chứng minh rằng: HC = 2NO c) Chứng minh rằng đường thẳng HI đi qua trọng tâm của ∆ABC Bài 5: Cho hai số thực a, b khác 0, thỏa mãn: + + = 2 2 2 b 1 2a 4 4 a . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + S ab 2013 Hết Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài Nội dung Điểm Bài 1: a) b) Ta có ( ) ( ) ( ) − − − = = = = = − − − a b c a b b c a c 2012 2013 2014 1 1 2 . Từ đó suy ra ( ) − = −2 a b a c ; ( ) − = −2 b c a c ⇒ ( ) ( ) ( ) − − = − 2 4 a b b c a c Ta có − = > + + 3 3 2012 2009 2012 2009 2019 2014 − = > + + 2 2 2013 2011 2013 2011 2019 2014 . Cộng theo vế hai BĐT trên ta được: − + − > = − + 5 2012 2009 2013 2011 2019 2014 2019 2014 Suy ra A > B 2 điểm 1đ 1đ 2 điểm 0,75đ 0,75đ 0,5đ Bài 2: a) Ta có: a+b+1=ab↔(a-1)(b-1)=2 (1) Do a, b nguyên dương, nên (1) suy ra: a-1 nguyên dương và là ước của 2. Từ đó suy ra: a-1=1 hoặc a-1=2. Với a-1=1→a=2; b=3 Với a-1=2→a=3, b=2 Trả lời: (a; b)=(2; 3) hoặc (3; 2) 2 điểm 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b) Với số thực x bất kì thì ≥  + =   2x nÕu x 0 x x 0 nÕu x < 0 . Do đó +x x là một số nguyên chẵn khi x ∈ Z. Mặt khác: − + − + − + − =a b b c c d d a 2013 ⇔ − + − + − + − + − + − + − + − =a b a b b c b c c d c d d a d a 2013 . Vế trái là số nguyên chẵn còn vế phải là số nguyên lẻ. Vậy không có các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn đề ra 2 điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3: a) ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có 2 x 2x x x 2 x 2 = − + + ⇒ 2 2 2 x 2x x x 2 x 2     = −  ÷  ÷ + +     ( ) 2 2 2 2 4x 4x x x 2 x 2 = − + + + ⇒ ( ) 2 2 2 2 2 2 x 4x 4x x x 2 x 2 x 2   + = +  ÷ + + +   . 2 điểm 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) Đặt 2 x y x 2 = + ta có phương trình: 2 y 4y 12 0+ − = ⇔ ( ) 2 y 2 y 2 16 y 6 =  + = ⇔  = −  Với y = 2 ⇒ ( ) 2 2 2 x 2 x 2x 4 0 x 1 5 x 1 5 x 2 = ⇒ − − = ⇔ − = ⇔ = ± + (TMĐK) Với y = -6 ⇒ ( ) 2 2 2 x 6 x 6x 12 0 x 3 3 x 2 = − ⇒ + + = ⇔ + = − + vô lí Vậy phương trình có nghiệm x 1 5= ± Ta có: ( ) ( ) = − + + = − + 3 3 2 f x x 3x 3x 3 x 1 4 ⇒   = +  ÷   3 2014 1 f 4 2013 2013 ;   = +  ÷   3 2013 1 f 4 2012 2012 . Do < 1 1 2013 2012 ⇒ + < + 3 3 1 1 4 4 2013 2012 ⇒     <  ÷  ÷     2014 2013 f f 2013 2012 0,5đ 2 điểm 1đ 0,5đ 0,5đ Bài 4: a) b) Theo bài ra ta có ∆ADB, ∆AEC vuông cân, do đó nhận DN và EM làm trung tuyến, suy ra M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB Tứ giác EHDO là hình bình hành (do các cạnh đối song song) nên HO đi qua trung điểm I của ED và EO = HD. Lại có hai tam giác NOE và DHC vuông cân (do · · 0 NEO HCD 45= = ) nên HC HD 2 EO 2 2NO= = = Gọi G là giao điểm của CN và HO. Do NO // CH nên theo hệ quả của định lí Thales ta có CG CH 2 GN NO = = mà CN là trung tuyến của ∆ABC, suy ra G là trọng tâm của ∆ABC Vậy đường thẳng HI đi qua trọng tâm G của ∆ABC. 4 điểm 1đ 1đ 1đ 1đ 2 điểm 1đ 1đ Bài 5: Ta có     = + − + + − + + = − + − + +  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 1 b 1 b 4 a 2 a ab ab 2 a a ab 2 a 4 a 2 ≥ ab + 2. Do đó ab ≤ 2 ⇒ S ≤ 2015 2 điểm 0,5đ A B C D E M N H I G O 0 45 Vậy GTLN của S là 2015 đạt được khi  − =  = − = −   ⇔   = =   − =   1 a 0 a 1;b 2 a b a 1;b 2 a 0 2 Mặt khác:     = + − + + + − + = − + + − +  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 1 b 1 b 4 a 2 a ab ab 2 a a ab 2 a 4 a 2 ≥ -ab + 2 ⇒ ab ≥ -2 ⇒ S ≥ 2011. Vậy GTNN của S là 2011 đạt được khi  − =  = = −   ⇔   = − =   + =   1 a 0 a 1;b 2 a b a 1;b 2 a 0 2 0,5đ 0,5đ 0,5đ Lưu ý: - Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Vẽ hình sai không chấm. Không có hình vẽ nếu đúng cho 1/3 số điểm . PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN-NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán, Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút. Ngày thi: 10/10/2013 Bài 1: a) Cho các số a, b, c. ) − − = − 2 4 a b b c a c b) Cho A 2012 2013 2014 = + + và = + + B 2009 2011 2019 . Hãy so sánh A với B Bài 2: a) Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn: a+b+1=ab b) Tìm các số nguyên a,. Chứng minh rằng:     <  ÷  ÷     2014 2013 f f 2013 2012 Bài 4: Cho ∆ABC có 3 góc đều nhọn và góc · BAC =45 0 ; hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm DE. Kẻ