phòng giáo dục & đào tạo Huyện nga sơn (Đề thi gồm có 01 trang) đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học: 2010 - 2011 Môn thi:Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25/ 01/ 2011 Câu 1: ( 4.0 điểm). Cho biểu thức A= ( ) yx yyxx yx yx yyxx yx + + 2 )( 1) Rút gọn biểu thức A 2) So sánh A và A Câu 2: (2.0 điểm). Cho ( ) ( ) 2 2 3 3 3 x x y y + + + + = . Tính giá trị của biểu thức P = x + y. Câu 3: (4.0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x - 4y = m 2 - m + 3. a) Cho biết khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng (d) bằng 1, tìm m. b) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng (d) có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? Câu 4: (2.0 điểm). Tìm các số nguyên dơng n để n 4 + 2n 3 + 2n 2 + n + 7 là số chính phơng. Câu 5: (6.0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đờng tròn có đờng kính AB, AC. Một đờng thẳng (d) thay đổi luôn đi qua điểm A và cắt hai nửa đờng tròn theo thứ tự ở M và N ( M, N khác A). a) Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh IM = IN. b. Khi (d) thay đổi nhng vẫn đi qua điểm A thì trung điểm của MN chạy trên đờng nào? c. Giả sử tam giác ABC vuông tại A, xác định vị trí của M và N sao cho chu vi của tứ giác BCNM lớn nhất. Câu 6: (2.0 điểm). Cho tam giác có số đo các đờng cao là các số nguyên, bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề chính thức Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm a. (2đ) Điều kiện để A có ngh là x 0, y 0 ; x y Khi đó: ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )( ) . ( )( ) . x y x y x y x y x xy y A x y x y x y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y + + + + = + + + + + + = + + + = 2 ( ) ( ) . x y x y x xy y x xy y x y + + + + + + yxyx xy + = 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu1 4đ b. (2đ) Vì x 0; y 0 và xy nên 2 )( yx >0 0>+ xyyxyx Do đó : 0 A = .1=< + xy xy yxyx xy hay 0 A<1 Ta có : A - 0)1( = AAA Vậy A A Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0 x=0 hoặc y = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu2 2đ ( ) ( ) 2 2 3 3 3 x x y y + + + + = (1) Nhân hai vế của (1) với x - 2 3 x + để đợc: -3 ( ) 2 2 3 3( 3) y y x x + + = + 2 2 ( 3) 3 y y x x + + = + (2) Nhân hai vế của (1) với y - 2 3 y + và biến đổi tơng tự đợc: - (x + 2 2 3) 3 x y y + = + (3) Cộng vế với vế của (2) và (3) rồi thu gọn ta đợc: -2(x + y) = 0 (x + y) = 0. Vậy P = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu3 4đ a) 2đ Tính đợc khoảng cách từ O đến (d) là: 22 2 )4(3 3 + + mm = 5 3 2 + mm ( Vì m 2 - m + 3 > 0 ) Vì khoảng cách bằng 1 nên ta có 5 3 2 + mm =1 Giải ra tìm đợc m = -1; m = 2 1.0 0.5 0.5 b 2đ Theo câu (a) ta có khoảng cách từ O đến (d) là h = 5 3 2 + mm h nhỏ nhất khi m 2 - m + 3 nhỏ nhất Biến đổi m 2 - m + 3 = (m - 2 ) 2 1 + 4 11 có giá trị nhỏ nhất bằng 4 11 khi m = 2 1 Vậy khoảng cách từ O đến (d) nhỏ nhất bằng 20 11 khi m = 2 1 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu4 2đ Giả sử n 4 + 2n 3 + 2n 2 + n + 7 = k 2 ( k nguyên dơng ) (n 2 + n) 2 + (n 2 + n + 7) = k 2 k 2 > (n 2 + n ) 2 (1) Ta lại có k 2 = (n 2 + n + 1) 2 - (n 2 + n - 6) Mà n 2 + n - 6 = (n - 2)(n + 3) > 0 khi n > 2 Nếu n 2 + n - 6 > 0 ta có k 2 < (n 2 + n + 1) 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra (n 2 + n ) 2 < k 2 < (n 2 + n + 1) 2 n 2 + n < k < n 2 + n + 1, không tìm đợc k. Vậy n 2 + n - 1 0 khi 0 < n 2 - Nếu n = 1, thay vào ta có n 4 + 2n 3 + 2n 2 + n + 7 = 13 không là số chính phơng - Nếu n = 2 thay vào ta có n 4 + 2n 3 + 2n 2 + n + 7 = 47 = 7 2 là số chính phơng. Vậy n = 2. 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu5 6 đ a) 2.0đ - Chứng minh đợc tứ giác BCNM là hình thang vuông. - Gọi E là trung điểm của MN thì IE là đờng trung bình của hình thang nên IE MN, Do đó IE là đờng trung trực của MN. Vậy IM = IN. 0.5 1.0 0.5 b) 2đ - Khi (d) thay đổi ta luôn có IE vuông góc với MN - Ta có A, I cố định - Vậy E luôn nhìn AI cố định dới một góc 90 0 nên E chạy trên đờng tròn đờng kính AI. 0.5 0.5 1.0 c) 2đ AMB vuông tại M nên MA 2 + MB 2 = AB 2 Chứng minh đợc (MA + MB) 2 2(MA 2 + MB 2 ) MA + MB 2 AB Chứng minh tơng tự ta có: NA + NC 2 AC Chu vi tứ giác BCNM là P = BC + (MA + MB) + (NA + NC) P BC + 2 (AB + BC ) Tam giác ABC vuông tại A nên (AB + AC) 2 2(AB 2 + AC 2 ) = 2BC 2 AB + AC 2 BC P BC + 2 BC = 3BC P = 3BC khi MA = MB; NA = NC, hay M, N lần lợt là điểm chính giữa của hai nửa đờng tròn đờng kính AB, AC 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu6 2đ Gọi x, y, z lần lợt là các đờng cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác. Nhận xét rằng: Đờng cao của một tam giác luôn lớn hơn đờng kính của đờng tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa là:x>2, y>2, z>2. Vì x, y, z là các số nguyên dơng nên: 3, 3, 3 x y z . Suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 x y z + + + + = . (1) Mặt khác: 1 1 1 1 2 a b c a b c x y z ax by cz S r + + + + = + + = = =1. (2) Từ (1) và (2) suy ra x=y=z=3. Suy ra tam giác đ cho là tam giác đều. 0.5 0.5 0.5 0.5 . . tạo Huyện nga sơn (Đề thi gồm có 01 trang) đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học: 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25/ 01/. chính thức Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Câu ý Tóm tắt lời giải Điểm a. (2đ) Điều. giác BCNM lớn nhất. Câu 6: (2.0 điểm). Cho tam giác có số đo các đờng cao là các số nguyên, bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều. Hết