PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25 / 11 / 2011 Bài 1. a). Tính giá trị biểu thức: 3 3 B 5 2 13 5 2 13 = + + − b). Cho dãy số: a 1 ; a 2 ; a 3 ; thỏa mãn: a 2 =1; a 50 = 2012; a n +a n+1 = a n+2 với mọi số tự nhiên n≥1. Tính tổng: S = a 1 + a 2 + + a 48. . Bài 2. Cho đường thẳng (l) có phương trình: y = mx + m - 1 (m là tham số). a). Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m b). Tìm m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có diện tích bằng 2 Bài 3. a). Giải phương trình: x 2 10 x 4 − + − = b). Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: xxM −+−= 10423 Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến đường thẳng CD. a). Chứng minh rằng CH = DK b). Chứng minh rằng S AHKB = S ACB + S ADB c). Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30 cm, CD = 18 cm. Bài 5. Không dùng bảng số, máy tính hãy tính sin15 0 (HẾT) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Bài Nội dung Điểm Bài 1 4,0đ a) Tính: 3 3 B 5 2 13 5 2 13= + + − (1) 2 (1) ⇔ 3 B 10 9B= − 0,50 ⇔ (B-1)(B 2 +B+10) =0(2) 0,75 Do 2 2 1 B B 10 (B ) 9,75 0 2 + + = + + > với mọi B 0,50 Nên từ (2) suy ra B=1 0,25 b) Tính tổng: S = a 1 +a 2 + +a 48. 2 Từ a n + a n+1 = a n+2 suy ra a n = a n+2 - a n+1 (*) . 0,50 Lần lượt thay n =1; 2; ; 47; 48 vào (*) 0,50 ta có: S = a 3 -a 2 +a 4 -a 3 + +a 49 -a 48 +a 50 -a 49 = a 50 - a 2 = 2012 – 1 = 2011 0,75 Vậy S = 2011 0,25 Bài 2 4,0đ a) 2,0 Điều kiện để đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(x 0 ; y 0 ) với mọi m thì phương trình y 0 = mx 0 + m – 1 = 0 nghiệm đúng với ∀ m 0,50 0 0 (x 1)m (y 1) 0⇔ + − + = với ∀ m 0,50 0 0 0 0 x 1 0 x 1 y 1 0 y 1 + = = − ⇔ ⇔ + = = − 0,75 Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(-1; - 1) với ∀ m 0,25 b) 2,0 Điều kiện để đường thẳng (l) cắt các trục tọa độ: m ≠ 0 (*) 0,25 Gọi A là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung, với x = 0 ta có y = m -1, suy ra OA m 1= − 0,25 Gọi B là giáo điểm của đường thẳng (1) với trục hoành. với y = 0 ta có 1 m x m − = suy ra 1 m OB m − = 0,25 Theo bài ra S AOB = 2 ⇔ OA.OB=4 2 (m 1) m − ⇔ = 4 0,25 2 2 m 2m 1 4m m 2m 1 4m − + = ⇔ − + = − 2 2 (m 3) 8 (1) (m 1) 0 (2) − = ⇔ + = 0,50 Từ (1) suy ra m 3 2 2= ± ; (Thỏa mãn *); Từ (2) suy ra m = -1 (Thỏa mãn *); 0,25 Vậy có 3 giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 là: 1 m 3 2 2= + , 2 m 3 2 2= − , 3 m 1= − . 0,25 Bài 3 4,0đ a) Giải phương trình 4102 =−+− xx (1) 2,0 Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10 0,25 Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a 1 ; a 2 ); (b 1 ; b 2 ) ta có: (a 1 b 1 +a 2 b 2 ) 2 ≤(a 1 2 +a 2 2 )(b 1 2 +b 2 2 )(*) Đẳng thức xẩy ra 1 2 1 2 a a b b ⇔ = 0,50 Áp dụng (*) ta có: 16 ≤ 2(x-2 +10 - 2) = 16 0,50 Đẳng thức xẩy ra ⇔ x - 2 = 10 - x ⇔ x = 6 0,50 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 6 0,25 b) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: xxM −+−= 10423 2,0 Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10 Đặt N= xx −+− 102 N 2 = 8 + 2 )10)(2( xx −− ≥ 8 (vì 2 )10)(2( xx −− ≥0) 0,25 Nên N 2 ≥ 8 đẳng thức xẩy ra ⇔ x = 2 hoặc x = 10. 0,25 Do đó: M ≥ 3N + x−10 ≥ 3N ≥ 26 đẳng thức xẩy ra ⇔ x = 10. 0,25 Vậy GTNN của M = 26 0,25 Áp dụng BĐT (*) ở câu a) ta có: M ≤ 210)102(25 =−+− xx 0,50 Đẳng thức xẩy ra ⇔ x = 122 25 0,25 Vậy GTLN của M = 210 0,25 Bài 4 6,0đ a) Vẻ hình đúng 0.5đ 2,0 Gọi I là trung điểm của CD ta có IC = ID (1) 0,5đ Mặt khác OI ⊥ CD nên OI//AH//BK => IH=IK (2) 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra CH=DK 0.,5đ b) 2,0 HIE KIF ∆ =∆ (cạnh huyền góc nhọn) suy ra S AHKB =S AEFB =AB.II ' 0,50 Ta lại có S ACB = 2 1 AB.CC ' (3) 0,50 S ADB = 2 1 AB.DD' (4) 0,50 Mặt khác CC' DD' II' 2 + = (5) 0,25 Từ (3), (4), (5) ta có S ACB + S ABD = AB.II ' = S AHKB 0,25 c) 2,0 2 2 AB CD OI 12 4 4 = − = (cm) 0,50 S AHKB = S AEFB = AB.II ' ≤ AB.OI 0,50 Dấu “=” xẩy ra khi II’= OI hay OI ⊥ AB, lúc này CD//AB 0,75 Vậy GTLN của S AHKB = AB.OI = 12.30 = 360 (cm 2 ) 0,25 Bài 5 2đ Xét tam giác ABC vuông tại A, góc B = 15 0 . Gọi M là giao điểm của AB với trung trực của cạnh BC (Hình bên) 0,50 Đặt AC = x, suy ra MB = MC = 2x ⇒ MA = x 3 BC 2 = AC 2 +AB 2 hay BC 2 = x 2 + ( 3 x+2x) 2 = 4(2 + 3 )x 2 suy ra BC = 2x. 32 + 0,50 Vậy sin15 0 =sinB = BC AC = 322 1 + = 2 32 − 0,50 Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa; - Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25 / 11 / 2011 Bài 1. a). Tính giá trị biểu. Không dùng bảng số, máy tính hãy tính sin15 0 (HẾT) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Bài Nội dung Điểm Bài 1 4,0đ a) Tính: 3. sin15 0 =sinB = BC AC = 322 1 + = 2 32 − 0,50 Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa; - Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5. PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ