de thi hsg toan 8 nam hoc 2011 2012

Phòng GD- ĐT PHÚ VANG ========== ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề ) Trường THCS Vinh Xuân Gv đề: Phạm Xuân Bình Bài 1: (4 điểm): a Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 b Cho phương trình: x + x +1 = x − m x −1 Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm Bài 2: (2 điểm): Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 + + = a + b + c = abc ta có + + = a b c a b c Bài 3: (2 điểm): Cho S = 1 1 + + +…+ 101 102 103 200 Chứng minh S > 12 Bài 4: (4 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vần số phương Bài 5: (6 điểm): Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC tam giác Câu 2: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b Gọi CD đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân c Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Câu :( 2ñieåm): Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2 ≤ + ab (Giám thị coi thi không giải thích thêm) Phòng GD- ĐT PHÚ VANG ========== HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2012 - 2013 Câu Nội dung giải a/ ( x − x ) + 2.( x − ) = 43 ⇔ ( x − x ) + 2( x − x + ) = 43; 2 Đặt x2-4x = t Đk: t ≥ -4 Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0 ⇔ (t + 7)(t – 5) = ⇔ t = -7 ( loại) t = Với t = Khi đó: x2 - 4x - 5=0 ⇔ (x +1)(x – 5) = ⇔ x=5 x=-1 Vậy S = { 5; -1} b/ ĐK PT Câu (5 đ) Câu (2đ) Điểm x+2 x+1 = x-m x-1 0,5 0,5 0,5 0,5 (*) x–m ≠ ⇒ x ≠ m x–1 ≠ ⇒ x ≠ Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = – m (**) - Với m = PT (**) có dạng : 0x = Trường hợp PT (**) vô nghiệm (1) 2-m - Với m ≠ PT (*) có nghiệm: x = m 2-m Nghiệm x = nghiệm PT (*) phải thỏa mãn điều kiện: x ≠ m m x≠ 2-m ≠ ⇒ 2-m ≠ m ⇒ m ≠ Tức : m 2-m ≠ m ⇒ m + m - ≠ ⇔ ( m - 1) ( m + ) ≠ m ⇔ m ≠ , m ≠ -2 Như PT (*) vô nghiệm với giá trị m ∈ {-2 ; ; 1} 1 Theo gt: + + = nên a ≠ , b ≠ 0, c ≠ a b c 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: ⇒ 1 1 1 1 1 1 + + = ⇒  + + ÷ = ⇒ + + +  + + ÷ = a b c a b c a b c  ab bc ca  1  a+b+c  + + + 2 ÷= a b c  abc  0,5 0,5 a+b+c =1 abc Vì a + b + c = abc (gt) nên ⇒ 0,25 1 1 1 + + + = ⇒ + + = ( đpcm) a b c a b c 0,5 1   1 1   + + +L + + + + +L + ÷ 150   151 152 153 200 ÷  101 102 103 Ta có: A =  0,25 Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta được: Bài 3: (2đ) 1  1   101 + 102 + 103 + L + 150 ÷ > 150 ×50 =   1  1   151 + 152 + 153 + L + 200 ÷ > 200 ×50 =   1   1 1  1  ⇒ A = + + +L + + + + +L + > + = ÷ 150   151 152 153 200 ÷  101 102 103  12 1 1 + + +L + > 101 102 103 200 12 Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ ⇒ A= abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 Ta có:  (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m abcd = k ⇔ abcd + 1353 = m Bài 4: ( 3đ) m = 37 (loại) Vậy số cần tìm là: abcd = 3136 0,5 0,25 Câu 1: A 0,25 0,5 k = 1 0,25 0,5 m − k = 33 E 0,5 0,5 m + k = 41 m = 67 (thỏa mãn) ⇔  k = 57 0,5 0,5 Do đó: m2 – k2 = 1353 ⇒ (m + k)(m – k) = 123.11= 41 33 ( k + m < 200 ) m + k = 123 ⇒ m − k = 11 0,5 F P B C Ta có: AEPF hình bình hành nên AEˆ P = AFˆP Xét ∆ EPB ∆ FPC, ta có: EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) PEˆ B = PFˆC ( 600 - AEˆ P =600 - AFˆP ) ⇒ ∆ EPB = ∆ FPC ( c.g c ) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: EAˆ F + AEˆ P = 180 ⇒ Aˆ + Eˆ1 = 60 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do Â3 = Ê2 Xét ∆ EPB ∆ ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) Â3 = Ê2 ⇒ ∆ EPB = ∆ ABC ( cgc ) Bài 4: (6 đ) 1 0,5 Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) (2) ⇒ PB = PC = BC Vậy ∆ PBC 0,5 Câu 2: C B A D H a Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được: Ta có: SABC = AC.BC = ∆ ABC vuông C 0,25 AC.BC 20.15 = AB.CH ⇒ CH = = 12 cm AB 25 0,5 b Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = cm CD tia phân giác ∆ ACH nên suy AD = 10 cm ; HD = cm Do BC = BD ( = 15 cm ) Vậy ∆ BDC cân B c Xét ∆ vuông : CBH, CAH Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ suy BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài : ( 2đ ) Với số a, b dương: Xét: a2 + b2 ≤ 1+ ab ⇔ a2 + b2 – ab ≤ 0,25 ⇔ (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) ( a + b > 0) ⇔ a3 + b3 ≤ a + b 0,5 ⇔ (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5 ⇔ a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6 ⇔ 2a3b3 ≤ ab5 + a5b 0,25 ⇔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ ( ⇔ ab a2 − b2 ) ≥ ∀ a, b > Vậy: a2 + b2 ≤ 1+ ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5 * Lưu ý: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm tối đa 0,5 ...Phòng GD- ĐT PHÚ VANG ========== HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn: Toán Năm học: 2012 - 2013 Câu Nội dung giải a/ ( x − x ) + 2.( x... 600 - AEˆ P =600 - AFˆP ) ⇒ ∆ EPB = ∆ FPC ( c.g c ) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: EAˆ F + AEˆ P = 180 ⇒ Aˆ + Eˆ1 = 60 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do Â3 = Ê2 Xét ∆ EPB ∆ ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF)