De thi HSG toan 9 nam hoc 20112012

ĐỀ THI HSG LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Câu 1(4đ): Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + y = a)   x + y + x − y = ( x − 1) y + ( y − 1) x = xy b)   x y − + y x − = xy Câu 2(3đ): Giả sử x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P= x y z + + x +1 y +1 z +1 Câu 3(3đ): Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện 1 + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c Chứng minh rằng: abc ≤ Câu 4(4 đ): Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm), C điểm đường tròn tâm M bán kính MA nằm đường tròn (O) Các tia AC BC cắt đường tròn (O) P Q Chứng minh PQ đường kính đường tròn (O) Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) d tiếp tuyến (O) C Gọi AH, BI đường cao tam giác a) Chứng minh HI // d b) Gọi MN EF hình chiếu đoạn thẳng AH BI lên đường thẳng d chứng minh MN = EF Câu 6(2đ): Chứng minh tích số phương số đứng trước chia hết cho 12 Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Thang điểm  x + y + x + y = 5(1) a)   x + y + x − y = 1(2) Đặt u = 7x + y , v = 2x + y ( u ≥ 0, v ≥ ) u + v = (*) Ta có  v + x − y = Do u2 – v2 = (7x + y) – (2x+y) = 5x Mà u + v = nên u – v = x Do u = x+5 5− x ,v= 2 Từ phương trình thứ hai (*) ta 5− x x+3 + x −1 = y=v+x–1= 2 x+3 Thay y = vào phương trình (2) ta x+3 x+3 2x + + x− =1 2 x = 5x + − x ⇔ = ⇔ 2  x2 = 19 0.25 0.25 0.25 0.25 Với x = ta y = 2; x = 19 ta y = 11 Thử lại hệ phương trình ta hệ có nghiệm (1;2) 0.25 0.25 0.25 0,25 ( x − 1) y + ( y − 1) x = xy (1) b)   x y − + y x − = xy (2) Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0.25 Xét phương trình (2) áp dụng bất đảng thức Cô Si ta có: x( y − + 1) = y ( x − + 1) y x − = y ( x − 1).1 ≤ = Vậy x y − + y x − ≤ xy x y − = x ( y − 1).1 ≤ xy xy (3) (4)  y −1 = x −1 = Dấu “=” xảy ⇔  ⇔x= y=2 Ta thấy x = y =2 củng thỏa mãn phương trình (1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;2) 1 ) + (1 − ) + (1 − ) x +1 y +1 z +1 1 P = 3−( + + ) x +1 y +1 z +1 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 Ta có P = (1 − Mặt khác, với x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô Si ta có 1 + + ≥ x y z xyz 1 ⇒ ( x + y + z )( + + ) ≥ 3xyz =9 x y z xyz x + y + z ≥ 3xyz , 0.25 0.5 0.25 Dấu = xảy x = y = z 0.25 1 + + ≥ x + y + z + ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 1 ⇒ + + ≥ x +1 y +1 z +1 Vậy P ≤ − = 4 x + = y +1 = z +1  P= ⇔ ⇔x=y=z= x + y + z = Vậy P đạt giá trị lớn P = x = y = z = 1 ≥ (1 − ) + (1 − ) Ta có: 1+ a 1+ b 1+ c b c bc ⇒ ≥ + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c (1 + b)(1 + c) Ta có bc ≥2 Vậy 1+ a (1 + b)(1 + c ) Tương tự: 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 ac ≥2 1+ b (1 + a)(1 + c ) 0.25 ab ≥2 1+ c (1 + a )(1 + b) Nhân ba bất đẳng thức ta được: 0.5 8abc ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) ⇒ 8abc ≤ 0.5 Q A 0.5 O M C B P Để chứng minh PQ đường kính đường tròn (O), ta cần chứng minh ba điểm P, Q, O thẳng hàng Trong đường tròn tâm M ta có: ·AMC = ·ABC (góc tâm chắn cung AC) Trong đường tròn tâm O ta có: ·AOQ = ·ABQ (góc tâm chắn cung AQ) 0.25 0.5 0.5 0.25 Suy ·AMC = ·AOQ (1) Chứng minh tương tự ta có · · (2) BMC = BOP µ = 900 Tứ giác MAOB có µA = B ⇒ ·AMB + ·AOB = 1800 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 0.5 0.25 0.25 0.25 · · · POQ = POB + BOA + ·AOQ · · = ( BMC + ·AMC ) + BOA 0.25 0.25 = ·AMB + ·AOB = 1800 Suy P, Q, O thẳng hàng Vậy PQ đường kính đường tròn (O) 0.25 A 0.5 B x I H M C E F N d a) Chứng minh HI // d Gọi Cx tiếp tuyến chắn cung AC · · Tứ giác ABHI nội tiếp nên ·ABC = HIC (Cùng bù với góc HIA ) Mà ·ABC = ·ACx (cùng chắn cung AC) · · ⇒ HI // d ⇒ HIC = ICx b) Chứng minh MN = EF d // HI ⇒ IF=HN · · AMCH nội tiếp ⇒ HMN = HAC · · BICE nội tiếp ⇒ IEF = IBC · · · · Mà HAC nên HMN = BIC = IEF ⇒ ∆HMN = ∆IEF ⇒ MN = EF Số phương n2(n Î Z) số đứng trước n2-1 Ta có (n2-1)n2 =(n+1)(n-1)n2= (n-1)n.n(n+1) Tích có số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Mặt khác (n-1)n hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Và n (n+1) chia hết cho Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho Mà (3;4) = nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 Vậy (n2-1)n2 chia hết cho 12 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Chia sẻ thầy cô Quý thầy cô bạn dành thêm chút thời gian để đọc giới thiệu sau tri ân người đăng tài liệu cách dùng Email mã số người giới thiệu theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho thầy cô bạn, đồng thời tri ân với người giới thiệu mình: Kính chào quý thầy cô bạn Lời cho phép gửi tới quý thầy cô bạn lời chúc tốt đẹp Khi thầy cô bạn đọc viết nghĩa thầy cô bạn có thiên hướng làm kinh doanh Nghề giáo nghề cao quý, xã hội coi trọng tôn vinh Tuy nhiên, có lẽ thấy đồng lương hạn hẹp Nếu môn học chính, dạy thêm, liệu tiền lương có đủ cho nhu cầu thầy cô Còn bạn sinh viên…với thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? Bản thân giáo viên dạy môn Toán thầy cô hiểu tiền lương tháng thu Vậy làm cách để kiếm thêm cho 4, triệu tháng tiền lương Thực tế thấy thời gian thầy cô bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, thầy cô bạn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy không bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho 4, triệu tháng Điều có thể? Thầy cô bạn tin vào điều Tất nhiên thứ có giá Để quý thầy cô bạn nhận 4, triệu tháng, cần đòi hỏi thầy cô bạn kiên trì, chịu khó biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc việc làm nào? Quý thầy cô bạn đọc viết tôi, có hứng thú bắt tay vào công việc Thầy cô nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn có Tuy nhiên internet có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín ( trang web nước ngoài, trang web trả thù lao cao ) Nếu web nước gặp nhiều khó khăn mặt ngôn ngữ, web trả thù lao cao không uy tín, nhận tương xứng với công lao chúng ta, thật Ở Việt Nam trang web thật uy tín : http://satavina.com Lúc đầu thân thấy không chắn cách kiếm tiền Nhưng hoàn toàn tin tưởng, đơn giản nhận tiền từ công ty.( thầy cô bạn tích lũy 50.000 yêu cầu satavina toán cách nạp thẻ điện thoại tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm chẳng bao nhiêu, sau số tiền kiếm tăng lên Có thể thầy cô bạn nói: vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho Đúng chẳng cho không thầy cô bạn tiền đâu, phải làm việc, phải mang lợi nhuận cho họ Khi đọc quảng cáo, xem video quảng ciao nghĩa mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm phải có cháo mà ăn chứ, không dại mà làm việc cho họ Vậy làm Thầy cô bạn làm nhé: 1/ Satavina.com công ty nào: Đó công ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh GPKD số 0310332710 - Sở Kế Hoạch Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM Khi thầy cô thành viên công ty, thầy cô hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo xem video quảng cáo( tiền trích từ tiền thuê quảng cáo công ty quảng cáo thuê satavina) 2/ Các bước đăng kí thành viên cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm sau: Bước 1: Nhập địa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, không nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện sau: Để nhanh chóng quý thầy cô bạn coppy đường linh sau: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=maihuydung79@gmail.com&hrID=133471 ( Thầy cô bạn điền thông tin Tuy nhiên, chức đăng kí thành viên mở vài lần ngày Mục đích để thầy cô bạn tìm hiểu kĩ công ty trước giới thiệu bạn bè ) Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc bên phải( giao diện bước thời gian đăng kí không liên tục ngày, thầy cô bạn phải thật kiên trì) Bước 3: Nếu có giao diện thầy cô khai báo thông tin: Thầy cô khai báo cụ thể mục sau: + Mail người giới thiệu( mail tôi, thành viên thức): maihuydung79@gmail.com + Mã số người giới thiệu( Nhập xác) : 00133471 + Địa mail: địa mail thầy cô bạn Khai báo địa thật để vào kích hoạt tài khoản sai thầy cô bạn thành viên thức + Nhập lại địa mail: + Mật đăng nhập: nhập mật đăng nhập trang web satavina.com + Các thông tin mục: Thông tin chủ tài khoản: thầy cô bạn phải nhập xác tuyệt đối, thông tin nhập lần nhất, không sửa Thông tin liên quan đến việc giao dịch sau Sai không giao dịch + Nhập mã xác nhận: nhập chữ, số có bên cạnh vào ô trống + Click vào mục: đọc kĩ hướng dẫn + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau đăng kí web thông báo thành công hay không Nếu thành công thầy cô bạn vào hòm thư khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành công quý thầy cô bạn vào web có đầy đủ thông tin công ty satavina cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại cho thầy cô Hãy bắt tay vào việc đăng kí, không gì, chút thời gian ngày mà Kính chúc quý thầy cô bạn thành công Nếu quý thầy cô có thắc mắc trình tích lũy tiền gọi trực tiếp mail cho tôi: Người giới thiệu: Mai Huy Dũng Email người giới thiệu: maihuydung79@gmail.com Mã số người giới thiệu: 00133471 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho thầy cô bạn: + Điểm thầy cô bạn tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo xem video quảng cáo Nếu tích lũy điểm từ thầy cô bạn tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè thầy cô bạn 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: - Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) - Đọc tin quảng cáo: 10 điểm/giây (hơn tin quảng cáo) _Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 điểm / _Viết Trong ngày bạn cần dành phút xem quảng cáo, bạn kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm 300đồng - Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi Mức bạn), 10 người dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người bạn có 100 người (gọi mức bạn), công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Tương tự vậy, công ty chi trả đến Mức bạn theo sơ đồ sau : - Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn 30.000đồng/ngày → 900.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn 300.000đồng/ngày → 9.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn 3.000.000đồng/ngày → 90.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng Tuy nhiên thầy cô bạn không nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng để 1tháng 1=>10 triệu ổn Như thầy cô bạn thấy satavina không cho không thầy cô bạn tiền không Vậy đăng kí giới thiệu mạng lưới Lưu ý: Chỉ thầy cô bạn thành viên thức thầy cô bạn phép giới thiệu người khác Hãy giới thiệu đến người khác bạn bè thầy cô bạn giới thiệu quan tâm đến người mà bạn giới thiệu chăm sóc họ( thành viên thầy cô bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè thay nội dung mục thông tin người giới thiệu thông tin thầy cô bạn Chúc quý thầy cô bạn thành công kiếm khoản tiền cho riêng HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG Chúc bạn thành công! Danh sách sách hệ thống thành viên ngày tăng, vào tài khoản thu nhập it thấy danh sách bạn bè ngày tăng, số điểm tăng, tài khoản cung lớn dần thấy vui, sảng khoái sau ngày lao động mệt nhọc, thấy dây cách ta sả “stress” sau ngày làm việc tiền không tinh thần cung thấy sảng khoái, vui vui tốt bạn Cứ tiến triển tương lai gần có thêm thu nhập thực chúc bạn luân vui tươi ! ... giới thi u mạng lưới Lưu ý: Chỉ thầy cô bạn thành viên thức thầy cô bạn phép giới thi u người khác Hãy giới thi u đến người khác bạn bè thầy cô bạn giới thi u quan tâm đến người mà bạn giới thi u... tích lũy tiền gọi trực tiếp mail cho tôi: Người giới thi u: Mai Huy Dũng Email người giới thi u: maihuydung 79@ gmail.com Mã số người giới thi u: 00133471 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền... gian để đọc giới thi u sau tri ân người đăng tài liệu cách dùng Email mã số người giới thi u theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho thầy cô bạn, đồng thời tri ân với người giới thi u mình: Kính