ĐỀ THI HSG TOÁN 9 CỰC HAY MỚI NHẤT

TRNG THCS NG LNG THI CHN HC SINH GII CP TRNG NM HC: 2016 2017 CHNH THC MễN: TON Hc sinh : Hong Quc Khỏnh Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) I PHN GHI KT QU (Thớ sinh ch cn ghi kt qu vo t giy thi) Cho x= 2 +1 1 Tớnh giỏ tr ca: A = (x4 x3 x2 + 2x 1)2016 +1 + 2x x Nu x > So sỏnh P(x).P( x) vi 3x 4x + Cho hm s y = ax + b Bit f(1) f(2); f(5) f(6) v f(2015)=2017 Tớnh f(2016)? Cho biu thc P(x) = Tỡm nghim ca phng trỡnh: x = x x + x x Vi giỏ tr no ca x, y thỡ M t giỏ tr nh nht M = x x + y + xy y + 2014 ? Tỡm GTNN ú Tỡm nghim ca phng trỡnh: 36 x2 + y = 28 x y Cho a, b, c, d N* v a + b + c + d = 20 Tỡm GTNN v GTLN ca D = ab ac + bd Tỡm tt c cỏc s nguyờn t p cho tng tt c cỏc c t nhiờn ca p + l mt s chớnh phng Cho ABC cú àA = 900 , AB < BC AM l ng trung tuyn ca tam giỏc ãAMB = ; ãACB = Tớnh (sin + cos ) sin 10 Cho tam giỏc ABC cú gúc A bng 15o; gúc B bng 45o Trờn tia i ca tia CB ly im D cho CD = 2BC Tớnh gúc ADB II PHN T LUN (Thớ sinh trỡnh by bi gii vo t giy thi) Cõu 11: Tỡm cỏc s nguyờn dng x, y khỏc cho: x y = y x Tỡm GTNN ca biu thc: M = x + x + 31 ( x + x + 21) ( x + x + 10 ) vi x Cõu 12: Cho tam giỏc ABC, trng tõm G Mt ng thng qua G ct cnh AB, AC ln lt ti M, AB AC AB AC + > 1, thỡ P(x) = = = ( x 1)(3 x 1) x 3x 4x + 1 1 3(x) = (3x 1)(3x + 1) = x < ( vỡ 9x2 1>0 vi x > 1) 3x 3) Vỡ f(1) f(2) nờn a (1) P(x) P(- x) = f(5) f(6) nờn a (2) T (1) v (2) suy a = Do ú f(2015) = f(2016) = 2017 K x = hoc x Vi x = thoó phng trỡnh Vi x Ta cú x3 x = x ( x 1) ( x + x 1) x x = 1( x x) ( x x + 1) x3 x + x x x x = x Du "=" Xy x x = x = x x + = x Vụ lý x = x + Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = ( ) ( ) M = x + x + + y + y + + ( xy x y + ) + 2007 M = ( x ) + ( y 1) + ( x ) ( y 1) + 2007 2 2 M = ( x ) + ( y 1) + ( y 1) + 2007 Do ( y 1) ( x ) + ( y 1) x, y M = 2007 x = 2; y = 36 6) K phng trỡnh Page of x2 + y M 2007 = 28 x y (1) cú nghim l: x > 2; y > Hng dn chm HSG Toỏn (1) 36 + 4( x 2) x2 (6 x ) x2 + + ( y 1) y ( y 1) + y =0 28 = (2) (6 x ) (2 y 1) Vi x > 2; y > => (3) x y (6 x ) = (6 x ) = T (2) v (3) => (2 y 1) = (2 y 1) = = x x = 11 y = = y Th li: x = 11; y = l nghim ca pt Vy pt cú nghim nht (x,y) = (11,5) Do T nờn t P = T c d + b a Nh vy : DMin PMax DMax PMin Do a, b, c, d N* v a + b = c + d = 20 a, b, c, d 19 * Xột a = b = 10 lỳc ú = c b c+d 20 + = = =2 10 10 10 10 * Xột b < a (trng hp b > a tng t) b < 10 < a hay b 19 ; 11 a 19 Trc ht ta tỡm DMin = PMax = 19 + 19 Ta xột trng hp sau : a1) b < 10 = c = d < a 19 Khi ú : P = a2) a3) c d 10 10 10 + = + < + = 11 b a b a c d 19 + ; t A = b a b a Ta cú : P = A.C + * Xột P = 20 Vỡ A > nờn PMin vi C = a 1 20 19 19 + = + = + b a a b a b 20 b t Pb = 19 + b 20 b * Xột Pb+1 - Pb : b ; b N Pb+1 - Pb = 18b + 58b 380 b(b + 1)(19 b)(20 b) Ta cú: b(1 + 1)(19 - b)(20 - b) > 1b9,bN Do vy : Xột t = 18b + 58b - 380 (*) Nghim dng to ca (*) l t = 29 + 7681 18 Ta cú bng xột du: b 29 + 7681 18 t + 29 + 7681 18 + + < b < bo t < Pb+1 < Pb b > bo t > Pb+1 > Pb Luụn luụn chng minh c < bo < Vi Xột 19 23 + =1 51 7 = P4 = + 16 16 P3 = P3 > P Nờn : a = 16 , b = 4, c = 1, d = 19 thỡ PMin = Gi s + p + p + p + p = n ( n ) 23 16 Dmax = 16 23 ( 4n = + p + p + p + p > p + p + p = p + p Mt khỏc: ) (1) ( ) 4n = p + p + p + p + < p + p + + p + p + p = p + p + (2) T (1) v (2) 4n = ( p + p + 2) 4n = p + p + p + p + < p + p + p + p + p p = ( p 3)( p + 1) = Vỡ p N p = T v hỡnh AM =1 BC sin AH =sin AC =BC sin cos sin =2 sin cos + sin =(sin +cos )2 AH =sin Page of Hng dn chm HSG Toỏn 10 T v hỡnh Kẻ DH AC , nối B với H : Xét tam giác ABC ta có: góc ACB = 1800 - (A + B) = 1200 Suy góc HCD = 600 Tam giác HCD vuông H có góc HCD = 600 nên góc HDC = 300 1 CD = 2BC = BC 2 Suy tam giác HCB cân góc HBC = 300 Suy HC = Tam giác HBD có góc HBC = góc HDC = 300 tam giác HBD cân HB = HD (1) Tam giác HAB có: góc HAB = góc HBA = 150 tam giác HAB cân HA = HB (2) Từ (1) (2) HA = HD Tam giác HAD vuông cân góc HDA = 450 Góc ADB = góc ADH + góc HDB = 450 + 300 = 750 II PHN T LUN (Thớ sinh trỡnh by bi gii vo t giy thi) Cõu 11: 1) Gi s x < y Chia c hai v ca PT cho x x ta c: x y x = yx xx Vỡ y x Mx x m x l s nguyờn dng nờn y Mx t y = kx (k N , k ) Theo bi ta cú x kx = (kx ) x ( x k ) x = (kx ) x x k = kx x k = k (1) Ta thy x (vỡ nu x = thỡ k = ) Do ú x k 2k (2) k k T (1) v (2) suy k nờn 2k (3) D thy k thỡ bt ng thc (3) khụng xy Do ú k = Thay k = vo (1) ta c x = y = 2.2 = Th li x = 2; y = tha bi Vỡ vai trũ ca x, y nh vy ( x, y ) { ( 2; ) , ( 4; ) } 2) M = x + x + 31 ( x + x + 21) ( x + x + 10 ) = x + x + 31 ( x ) ( x + 3) ( x + ) ( x ) = x + x + 31 [( x ) ( x + ) ].[( x ) ( x + 3)] = x + x + 31 ( x + x + 14 ) ( x + x + 15 ) = ( x + x + 14 ) ( x + x + 14 ) ( x + x + 15 ) + ( x + x + 15 ) + = ( ( x + x + 14 ) Vy: Min A = 2, Vi Du = xy khi: ( x ( x + x + 15 ) x + x + 14 ) = ( x ) +22 + x + 15 ) x = (TMK) Cõu 12: Hỡnh v: Page of Hng dn chm HSG Toỏn Qua C, B k cỏc ng thng song song vi MN ct AG ln lt ti E, F Ta cú: AB AF AC AE = ; = AM AG AN AG AB AC AE + AF + = = (do GE = GF vi G l trung im ca BC) AM AN AG a) Ta cú: Do M, N ln lt u nm on AB, AC v MN i qua trng tõm G nờn: AB AC > 1, hay (x + y) + xy > Do ú: 2xy > xy > , suy AM AN < AB AC S AMN < Vy S ABC Trờn BC ly im E cho BD = BE T gi thit BC = BD + AD = BE + AD BE + EC = BE + AD EC = AD AD AB = DC CB CE AD AB AC = = = v ACB chung CD CD BC BC Page of AD l phõn giỏc Hng dn chm HSG Toỏn CED CAB CED l tam giỏc cõn ECD = CDE 180 DBC ABD = DBC DCE = 2DBC , BD = BE BDE = BED = 0 CED = 180 2ECD = 180 4DBC 180 DBC DEB + DEC = + 180 4DBC = 180 9DBC = 180 DBC = 20 ABC = ACB = 40 BAC = 100 Cõu 13: x x x 1 HD: iu kin: x x Vi iu kin (*),t u = x ; v = x , vi u 0, v x2 Ta cú: (*) = u4 x = v2 Do dú ta cú h u+v = u+v = u4 = v2 u + v = u + v = u+v = 3 2 ( u + v ) 2u v = ( u + v ) 2u.v 2u v = u+v = u+v = 2u.v 2u v = 2u v 16 u.v 65 = ữ 9 81 u + v = 194 u.v = 18 u + v = + 194 u.v = 18 u v v l nghim ca phng trỡnh Page of Hng dn chm HSG Toỏn 2 194 = 0(a ) y y + 18 y y + + 194 = 0(b) 18 (b) vụ nghim (a) cú nghim 97 1+ ; y2 = y1 = u1 = y1 97 3 u = y Do ú: v = y v = y Vỡ u nờn ta chn 1+ x= 1+ u = y2 = 1+ 97 x = 97 3 97 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim nht x = + 97 2 Phng trỡnh ó cho tng ng vi : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 Nhn xột rng: y x y + y + y + + y = ( y + 1)3 (2) y + > x > y + y + y + (5 y + 2) = ( y 1)3 (3) T (2) v (3) suy ra: ( y 1)3 < x3 ( y + 1)3 , Vỡ y Z (1) x3 = y y3 + y + y +1 = y3 3 x = ( y + 1) y + y + y + = ( y + 1) y + y + = y = (vi y Z) y = y = y = y = Vi y = -1 x= -1 Vi y = x= Vy phng trỡnh cú cp nghim nguyờn l (-1; -1) v (1; 0) 1 ;y = ;c = 2a + 2b + 2c + 1 x y z Khi ú a = x ; b = y ; c = z t x = Ta thy < x, y, z < v x + y + z Page of Hng dn chm HSG Toỏn x y z BT cn chng minh tr thnh: x + y + z x y z x2 y2 z2 ( x + y + z) + + = + + x y z 3x x y y 3z z 3( x + y + z ) 2( x + y + z ) Ta cú ( x + y + z) 3 = 3( x + y + z ) ( x + y + z ) 2 x+ y+z Du = xy a = b = c = Biờn son: Hong Quc Khỏnh Hc sinh THCS ng Lng c Th H Tnh Liờn h dch v thi HSG Toỏn + cp huyn v tnh theo email: hoangquockhanh1509@gmail.com Page 10 of 9 Hng dn chm HSG Toỏn TRNG THCS NG LNG CHNH THC Ra : Hc sinh Hong Quc Khỏnh Bi 1: KHO ST I TUYN HSG LP LN NM HC 2016 2017 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Cho x v y l cỏc s hu t tha ng thc: ( x + y ) = xy ( 3x + y + ) Chng minh rng: xy l mt s hu t Bi 2: 1 Cho 100 s t nhiờn a1, a2 a100 tha món: a + a + + a = 19 100 Chng minh rng: Trong 100 s t nhiờn ú, tn ti s bng Bi 3: a) Cho tam giỏc ABC, trung tuyn AM Chng minh h thc: AB + AC = AM + b) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Chng minh rng: tan ãABC AC = AB + BC BC 2 c) Cho hỡnh vuụng ABCD, ng chộo cú di bng Gi MNEF l t giỏc li cú bn nh ln lt nm trờn cỏc cnh ca hỡnh vuụng Chng minh rng: MN + NE + EF + FM Du = xy no? Bi 4: Cho n l s t nhiờn v d l c nguyờn dng ca 2n Chng minh rng: n2 + d khụng l s chớnh phng 4t + Cho < t < Tỡm GTNN ca biu thc: A = t ( t) Bi 5: Cho a, b, c l cỏc s thc dng thay i tha món: a + b + c = Tỡm giỏ tr nh nht ca ab + bc + ca 2 biu thc : P = 14(a + b + c ) + a b + b 2c + c 2a Bi 6: Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh l a Cỏc im M v N trờn ng chộo AC cho AC = 3AN = 4AM Hai ng thng DM v DN ct cnh AB ti P v Q Chng minh: Tam giỏc AMP v tam giỏc ANQ ng dng Bi 7: Cho ba s dng a , b , c tha a + b + c = Chng minh rng : Bi 8: Gii phng trỡnh a2 b2 c2 + + 1+ b a 1+ c b 1+ a c 3x + x = ( x R ) Ht -Page 11 of 9 Hng dn chm HSG Toỏn Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! Page 12 of 9 Hng dn chm HSG Toỏn P N VN TT V THANG IM Ni dung trỡnh by B i +) Nu x = hoc y = thỡ xy = l s hu t +) Nu x v y : T gi thit ta cú: x + y = xy x2 y x4 y4 x4 y + = + + xy = + xy = xy y x y x y x 2 x2 y x2 y2 x2 y2 ữ = ( xy ) xy = ữ xy = l s hu t y x x y x y Gi s 100 s t nhiờn ó cho ú khụng cú hai s no bng 1 + + + a1 a2 Ta cú: =1 +2( Do ú: P < Vy ta cú iu phi chng minh: x Cỏch 2: Ta cú : P = = x + + vi x 0; x x + x +1 x 1 x =2 p dng BT Co si cho s dng x ; ta cú: x + x x x Vỡ x nờn du "=" khụng xy 1 + > Vy P < Suy ra: x + x 2 4t + 4t + = Cõu 3: Ta cú A = = 4t + ữ t t ( 3t) t ( 3t) t t( 3t) Vỡ x 0; x nờn: Tip ú ta d dng chng minh: 4t + ữ 12 Du "=" xy t = 1,5 t Du "=" xy t = 1,5 t ( 3t) 16 16 Suy A Du "=" xy t = 1,5 Vy GTNN ca A bng 3 Ta cú: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Theo BT AM-GM thỡ:a3 + ab2 2a2b; b3 + bc2 2b2c; c3 + ca2 2c2a 3(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 t t = a2 + b2 + c2 Theo BT B.C S thỡ: 3(a2 + b2 + c2) (a +b + c)2 = Do vy: t 3(1 t ) t 27t 3 1 27t 3 23 Khi ú: P 14t + = + + +2 = 2t 2 2t 2 2t 23 Vy MinP = a = b = c = 3 2 Suy a2 + b2 + c2 3(a2b + b2c + c2a) Suy P 14( a + b + c ) + Page 15 of 9 Hng dn chm HSG Toỏn A P Q M B N D C x AC l ng chộo ca hỡnh vuụng ABCD cnh a nờn: AC = a AC = 3AN = 4AM (gt) AN AM = , = NC MC AM AN = 1 AC AC = 12 MDC cú AP//DC suy ra: ) 2 a = a AP AM = (h qu nh lý Talet) DC MC AM DC = a MC AP = a Tng t cú: AQ = Do ú: AM AN = AP QA ( = a AM AP = (*) AQ AN AMP v AQN cú: MAP chung (**) (*), (**) AMP AQN T gi thit suy a , b , c thuc (0 ; 1) ( ) a2 ( b a ) a2 ( 1+ b a ) ( b + a ) a2 = = a2 ( b + a ) 1+ b a 1+ b a 1+ b a b c2 b2 ( c + b ) ; c2 ( a + c ) Tng t : 1+ c b 1+ a c Cng v theo v cỏc bt ng thc trờn ta c : Page 16 of 9 Hng dn chm HSG Toỏn a2 b2 c2 + + + a + b3 + c a 2b b 2c c a (1) 1+ b a 1+ c b 1+ a c p dng bt ng thc cụ si cho ba s dng nhn c : a + a + b3 3a 2b; b3 + b3 + c 3b 2c; c + c3 + a 3c a (2) a2 b2 c2 + + 1+ b a 1+ c b 1+ a c ng thc xy a = b = c = T (1) v (2) t3 + 3x t = 3x x = 3 5t Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh : 2t + = 2t 2t 5t 5t = 64 32t + 4t = t iu kin x t t = 3 t t 2 15t + 4t 32t + 40 = ( t + ) 15t 26t + 20 = ( ) t = x = Page 17 of 9 Hng dn chm HSG Toỏn [...]... c − b 1+ a − c 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 ( x ∈ R ) Hết -Page 11 of 9 9 Hướng dẫn chấm HSG Toán Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Page 12 of 9 9 Hướng dẫn chấm HSG Toán ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ THANG ĐIỂM Nội dung trình bày Bà i +) Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì 1 − xy = 1 là số hữu tỉ +) Nếu x ≠ 0 và y ≠ 0 : T ừ giả thi t ta có: 1 x 3 + y 3 = 2 xy ⇒ x2 y 2 x4 y4 x4 y 4 + = 2 ⇒ 2 + 2 + 2 xy = 4... THCS ĐỒNG LẠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Ra đề: Học sinh Hoàng Quốc Khánh Bài 1: ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 LẦN 1 NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cho x và y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: ( x + y ) = xy ( 3x + 3 y + 2 ) 3 Chứng minh rằng: 1 − xy là một số hữu tỉ Bài 2: 1 1 1 Cho 100 số tự nhiên a1, a2… a100 thỏa mãn: a + a + + a = 19 1 2 100 Chứng... đó không có hai số nào bằng nhau 1 1 + + + a1 a2 2 Ta có: =1 +2( 3 Vậy P < Suy ra: x + x 3 2 2 9 1 4t + 9 4t + 9 1  = Câu 3: Ta có A = 2 =  4t + ÷ t  t ( 3−t) t ( 3−t) t t( 3−t)  Vì x ≥ 0; x ≠ 1 nên: −   9 Tiếp đó ta dễ dàng chứng minh:  4t + ÷ ≥ 12 Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5 t  1 4 ≥ Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5 t ( 3−t) 9 16 16 Suy ra A ≥ Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5 Vậy GTNN của A bằng 3 3 Ta có: a2... có: MAP chung (**) (*), (**) ⇒ ∆ AMP 7 ∆AQN Từ giả thi t suy ra a , b , c thuộc (0 ; 1) ( ) a2 1− ( b − a ) a2 ( 1+ b − a ) ( 1− b + a ) a2 ⇒ ≥ = = a2 ( 1− b + a ) 1+ b − a 1+ b − a 1+ b − a 2 b c2 ≥ b2 ( 1 − c + b ) ; ≥ c2 ( 1 − a + c ) Tương tự : 1+ c − b 1+ a − c 2 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được : Page 16 of 9 9 Hướng dẫn chấm HSG Toán a2 b2 c2 + + ≥ 1 + a 3 + b3 + c 3 − a 2b − b... thành : 2t + 3 −8 = 0 3 8 − 2t ≥ 0 8 − 2t ≥ 0   ⇔  8 − 5t 3 ⇔  8 − 5t 3 = 64 − 32t + 4t 2 3 = 8 − 2 t  9 3  3  Điều kiện x ≤ 8 6 Đặt t = 5 3 3 t ≤ 4 t ≤ 4 ⇔ 3 ⇔  2 2 15t + 4t − 32t + 40 = 0 ( t + 2 ) 15t − 26t + 20 = 0 ( ) ⇔ t = −2 ⇒ x = −2 Page 17 of 9 9 Hướng dẫn chấm HSG Toán ... 23 Khi đó: ⇒ P ≥ 14t + = + + − ≥ +2 − = 2t 2 2 2t 2 3 2 2 2t 2 3 23 1 Vậy MinP = khi a = b = c = 3 3 2 2 2 Suy ra a2 + b2 + c2 ≥ 3(a2b + b2c + c2a) Suy ra P ≥ 14( a + b + c ) + Page 15 of 9 9 Hướng dẫn chấm HSG Toán A P Q M B N D C x AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh a nên: AC = 2 a AC = 3AN = 4AM (gt) ⇒ AN 1 AM 1 = , = NC 2 MC 3 AM AN = 6 1 1 1 AC AC = 4 3 12 ∆MDC có AP//DC suy ra: ) 2 1... khi nào? Bài 4: Cho n là số tự nhiên và d là ước nguyên dương của 2n 2 Chứng minh rằng: n2 + d không là số chính phương 4t 2 + 9 1 Cho 0 < t < 3 Tìm GTNN của biểu thức: A = 2 t ( 3 − t) Bài 5: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của ab + bc + ca 2 2 2 biểu thức : P = 14(a + b + c ) + 2 a b + b 2c + c 2a Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a Các điểm ... 19 Khi ú : P = a2) a3) c d 10 10 10 + = + < + = 11 b a b a c d 19 + a tng t) b < 10 < a hay b 19 ; 11 a 19 Trc ht ta tỡm DMin = PMax = 19 + 19 Ta xột trng hp