ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 20162017

PHÒNG GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) Bài 1:(4,5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 2) Cho a, b, c đôi khác khác Chứng minh rằng: a −b b−c c−a   c b  a + + + + Nếu a + b + c =  ÷  ÷= a b   a −b b −c c −a   c 3) Cho A = p4 p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Bài 2:(4,0 điểm)   x −8   x−4 + 1) Cho biểu thức P =  ÷: 1 − ÷ (Với x ≠ 1)  x −1 x −1   x + x +  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình: x − 3x + = Chứng minh rằng: f (x) = (x + x − 1) 2018 + (x − x + 1) 2018 − chia hết cho g(x) = x − x Bài 3:(3,5 điểm) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) 2) Giải phương trình: 2x(8x − 1) (4x − 1) = x −m x −3 + =2 x+3 x+m Bài (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm P cho AM = CP Kẻ BH vuông góc với AC H Gọi Q trung điểm CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC N a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vuông góc với NP c) Đường thẳng AP cắt DC điểm F Chứng minh 1 = + 2 AB AP 4AF2 Bài ( 1,0 điểm): Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC2016 -2017 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN Điể m Bài Nội dung Bài1 (4,5 đ) Bài 1:(4,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : M= (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 Cho A= p4 p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương 3.Chứng minh a+b+c = a b   a −b b −c c −a   c + + + +  ÷. ÷ = (1) a b   a −b b −c c −a   c Câu 1,5đ M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 = ( x2+7x+10)(x2+7x+12)-24 M = ( x2+7x+11-1)(x2+7x+11+1)-24 M = ( x2+7x+11)2- 25 = ( x2+7x+6) ( x2+7x+16) M =(x+1)(x+6)( x2+7x+16) Câu 1,5đ Các ước dương A 1, p, p2, p3,p4 Tổng ươc + p + p + p + p = n 0,25 đ 0,5đ (n ∈ N ) ⇒ + p + p + p + p = 4n Ta có p + p + p < 4n < p + p + + p3 + p + p 0,5đ ⇒ (2 p + p ) < (2n) < (2 p + p + 2) ⇒ (2n) = (2 p + p + 1) 0,25 đ 0,25 đ Do đó: p + p + p + p + = p + p3 + p + p + ⇔ p − p − = p1= -1(loại) ; p2 = Câu 1,5đ 0,75 đ 0,5 a −b b−c c−a c a b = x; = y; =z⇒ = ; = ; = c a b a −b x b−c y c −a z 1 1 (1) ⇔ ( x + y + z )  + + ÷ = x y z 0,5 đ 1 1  y+z x+z x+ y ( x + y + z)  + + ÷ = +  + + ÷(2) y z  x y z  x y+ z b−c c−a  c b − bc + ac − a c = + = Ta lại có:  ÷ x b  a −b ab a −b  a 0,25 đ Đặt Ta có c (a − b)(c − a − b) c (c − a − b) c [ 2c − (a + b + c) ] 2c = = = = ab(a − b) ab ab ab 0,25 đ x + z 2a x + y 2b = ; = Tương tự ta có y bc z ac 2 1 1 2c 2a 2b 2 ( x + y + z)  + + ÷= + + + = 3+ ( a + b3 + c ) ab bc ac abc x y z 0,25 điểm Vì a + b + c = ⇒ a + b + c = 3abc 0,25 đ 1 1 3abc = + = Do ( x + y + z )  + + ÷ = + x y z abc  Bài (5đ) Câu a 1,5đ  Bài 2:(5điểm) x−4 x −8     1.Cho biểu thức P =  + ÷: 1 − ÷ (Với x ≠ 1)  x −1 x −1   x + x +  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình: x − 3x + = c) Tìm số nguyên x để P nhận giá trị số nguyên 2.Chứng minh rằng: f ( x) = ( x + x − 1)2018 + ( x − x + 1)2018 − chia hết cho g ( x) = x − x Với x ≠ ta có    x2 + x + − x +  x−4 x2 + x + P= + ÷:  ÷ 2 x2 + x +1   ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1)    x − + x2 + x +   x + x + − x +  x2 + 2x − x2 + P= : ÷:  ÷= x + x +  ( x − 1)( x + x + 1) x + x +  ( x − 1)( x + x + 1)   0,5đ ( x + 3)( x − 1) x + x + x + = ( x − 1)( x + x + 1) x + x +9 x+3 P= Vậy x ≠ x +9 suy x = x= (loại) x − 3x + = 0,25 đ = Câu b1đ Câu c 1đ 2+3 = 2 + 13 Kết luận với x= P = 13 Thay x=2 vào P ta có P = Để P nhận giá trị nguyên ⇔ ⇔ ( x − 3)( x + 3) M( x + 9) 0,25 đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ x+3 0,25 nguyên ( x + 3)M( x + 9) đ x +9 ⇒ ( x − 9) M( x + 9) ⇒ ( x + − 18) M( x + 9) ⇒ 18M( x + 9) suy x + ước 18 Mà x + ≥ > nên x + ∈ { 9;18} nên x = 0;9 ta có x=0 ;3 ;-3 Thử lại ta x=-3 thỏa mãn toán Và kết luận Câu 1đ 0,5đ Đa thức g ( x) = x − x = x( x − 1) có hai nghiệm x = x = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ Ta có f (0) = (−1) 2018 + 12018 − = ⇒ x=0 nghiệm f(x) ⇒ f(x) chứa thừa số 0,25 đ x 2018 2018 Ta có f (1) = (1 + − 1) + (1 − + 1) − = ⇒ x=1 nghiệm f(x) ⇒ f(x) 0,25 chứa thừa số x- đ mà thừa số x x-1 nhân tử chung f(x) chia hết cho x(x-1) 0,25 đ 0,25 đ Vậy f ( x) = ( x + x − 1)2018 + ( x − x + 1)2018 − chia hết cho g ( x) = x − x Bài Bài 3:(3,5điểm) x − m x −3 + =2 Tìm m để phương trình có nghiệm( m tham số) 3,5đ x+3 x +m 2.Giải phương trình: x(8 x − 1) (4 x − 1) = ĐKXĐ: x ≠ -3 ; x ≠ -m ta có Câu x −m x −3 + = ⇒ x − m + x − = 2( x + 3)( x + m) x+3 x+m 2đ Câu 1,5đ ⇔ x − m − = 2( x + x + 3m + mx) ⇔ −2(m + 3) x = ( m + 3) (1) Với m = (1) có dạng 0x = Nghiệm x thỏa mãn điều kiện x ≠ -3; x ≠ -m , tập nghiệm phương trình x ≠ ±3 (m + 3) m+3 =− Với m ≠ −3 phương trình (1) có nghiệm x = − 2( m + 3) Để giá trị nghiệm phương trình ta phải có : m+3 m+3 m+3 − ≠ −3 − ≠ −m tức m ≠ Vậy m ≠ ±3 x = − 2 nghiệm  m + 3 Kết luận : với m= -3 S = { x / x ≠ ±3} Với m ≠ ±3 S = −    Ta có x(8 x − 1) (4 x − 1) = ⇔ (64 x − 16 x + 1)(8 x − x ) = ⇔ (64 x − 16 x + 1)(64 x − 16 x) = 72 (*) Đặt 64x -16x = t ta có (*) ⇔ t(t+1) – 72 = ⇔ t =- t = Với t = -9 ta có 64x2 -16x= -9 ⇔ 64x2 -16x + = ⇔ (8x -1)2 +8 = (vô nghiệm (8x -1)2 +8 > 0) Với t = ta có 64x2 -16x= ⇔ 64x2 -16x – = ⇔ (8x -1)2 -9 = ⇔ x= 1 x= − Vậy nghiệm phương trình x = 1 x= − b) Bài 4(6 điểm) 1,25 Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi H K hình chiếu D B đ AC M,N,P, Q trung điểm AD, AH, BC, CK Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành a) Chứng minh BQ vuông góc với NP b) Giả sử cạnh AB = 2BC điểm P điểm cạnh BC Tia AP cắt c) đường thẳng CD điểm F Chứng minh 1 = + 2 AB AP AF 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 A B N H E P M K Q D C Câu a 2đ Chưng minh DH // BK (1) 0,5đ Chứng minh ∆AHD = ∆CKB suy DH = BK (2) 1đ Từ (1) (2) ⇒ tứ giác MNPQ hình bình hành 0,5đ Câu b 2đ Gọi E trung điểm BK, chứng minh QE đường trung bình ∆KBC 0,5đ 2 nên QE // BC ⇒ QE ⊥ AB(vì BC ⊥ AB) QE = BC = AD Chứng minh AM = QE AM//QE ⇒ tứ giác AMQE hình bình hành 0,5đ Chứng minh AE// NP//MQ (3) Xét ∆AQB có BK QE hai đường cao tam giác ⇒ E trực tâm tam giác nên AE đường cao thứ ba tam giác AE ⊥ BQ ⇒ BQ ⊥ NP 0,5đ Câu c 2đ 0,5đ B A P G D C F Vẽ tia Ax vuông góc AF gọi giao Ax với CD G Chứng minh · · · ( phụ PAD ) ⇒ ∆ADG ~ ∆ABP (g.g) GAD = BAP 0,5đ AP AB = = ⇒ AG = AP AG AD Ta có ∆AGF vuông A có AD ⊥ GF nên AG AF = AD GF (= 2S AGF ) ⇒ AG AF2 = AD GF (1) Ta chia hai vế (1) cho AD AG AF2 Mà 0,25 đ 0,5 1 = + 1 ⇒ 2 AF ⇒ = + 1  1  AB AP AD AG AF  ÷  ÷ 2  2  4 1 1 ⇒ = + ⇒ = + AB AP AF AB AP AF 0,5đ AG2 + AF2 =GF2( Định lý pitago) 0,25 đ Bài Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số chu vi 1.0đ Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z (x, y, z 0,25 2 số nguyên dương) Ta có xy = 2(x + y +z) (1) x +y = z (2) đ 2 2 Từ (2) suy z = (x+y) - 2xy, thay (1) vào ta có :z = (x+y) – 4(x + y+z) 0,25 2 2 đ ⇔ z + z = ( x + y ) − 4( x + y ) ⇔ z + z + = ( x + y ) − 4( x + y ) + ⇔ ( z + 2) = ( x + y − 2) ⇔ z + = x + y − z + 2= -x – y + (loại z >0) ⇔ z = x + y − ; thay vào (1) ta xy =2(x+y+x+y-4) ⇔ xy − x − y = −8 ⇔ ( x − 4)( y − 4) = = 1.8 = 2.4 từ tìm giá trị x,y,z : (x=5,y=12,z=13) ;(x=12,y=5,z=13) ;(x=6,y=8,z=10) ;(x=8,y=6,z=10) 0,25 đ 0,25 đ ... x + 9) 0,25 đ 0,5đ 0,25 đ 0,25 đ x+3 0,25 nguyên ( x + 3)M( x + 9) đ x +9 ⇒ ( x − 9) M( x + 9) ⇒ ( x + − 18) M( x + 9) ⇒ 18M( x + 9) suy x + ước 18 Mà x + ≥ > nên x + ∈ { 9; 18} nên x = 0 ;9 ta...PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC2016 -2017 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN Điể m Bài Nội dung Bài1 (4,5 đ) Bài 1:(4,5 điểm) Phân tích... t(t+1) – 72 = ⇔ t =- t = Với t = -9 ta có 64x2 -16x= -9 ⇔ 64x2 -16x + = ⇔ (8x -1)2 +8 = (vô nghiệm (8x -1)2 +8 > 0) Với t = ta có 64x2 -16x= ⇔ 64x2 -16x – = ⇔ (8x -1)2 -9 = ⇔ x= 1 x= − Vậy nghiệm