PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu) ĐỀ BÀI Câu (4,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x: A= x − ( x + 6) x − 3 − − 2( x − x + 3)(2 − x ) − x + 10 x − 12 x − x − Điều kiện x ≥ , x ≠ 4; x ≠ ; x ≠ 2) Rút gọn biểu thức: B = 2+ + 2+ + 2− − 2− Câu 2: (3,0 điểm) Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (d) a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m b) Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn Câu 3: (4,0 điểm) a ( Với x = 5+2 ) 17 − 38 + 14 − Tính giá trị biểu thức: B = ( x + x − ) 2015 b Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > cho (3x+1) My đồng thời (3y + 1) Mx Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) SABC = AB.BC.sinB AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD b) tanB.tanC = HD c) H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF HB.HC HC.HA HA.HB + + = d) AB.AC BC.BA CA.CB Câu 5: (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + y + z + z + x = 2015 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = x2 y2 z2 + + y+z z+x x+y Câu 6:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB tai M, N, K Chứng minh rằng: IA IB IC + + ≥3 IM IN IK Cán coi thi không giải thích thêm Họ Tên thí sinh: .Lớp: SBD: Phòng PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI -LẦN Môn thi: Toán Thời gian làm : 150 phút Ngày 29/ 10/ 2016 Bài Câu 1) Tóm tắt cách giải 6x − (x + 6) x − 3 A= − − 2(x − x + 3)(2 − x ) − 2x + 10 x − 12 x − x − A= Điểm 6x − (x + 6) x − 3 − − 2(2 − x )( x − 3)( x − 1) 2( x − 3)(2 − x) (2 − x )( x − 1) 0,75 2điể Do x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4; x ≠ (4đ) m A= x − ( x + 6) x − − 3( x − 1) − 2( x − 3) 2( x − 1)( x − 3)(2 − x ) A = 6x − x x − x − − x + − x + 2( x − 1)( x − 3)(2 − x ) (2 x − x ) − 2( x − 3) − x( x − 3) + x ( x − 3) A = 2( x − 1)( x − 3)(2 − x ) A = 2) ( x − 1)( x − 3)(2 − x ) 2( x − 1)( x − 3)(2 − x) = => ĐPCM B 2+ 2− 2+ 2− = + = + + 3− 2+ 4+2 2− 4−2 0,75 0,5 1,0 2điểm (3đ) B (2 + 3)(3 − 3) + (3 + 3)(2 − 3) + + − = = 0,75 (3 + 3)(3 − 3) B =1 ⇒ B = 2 0,25 a Điều kiện cần đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (1,5đ) (d) qua điểm cố định N(xo,yo) là: 0,5 đ (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với m ⇔ mxo – 2xo + myo – yo – = 0, với m 0,5 đ ⇔ (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = với m xo + y o = x o = −1 ⇔ yo = ⇔ 2 x o + y o + = Vậy đường thẳng (d) qua điểm cố định N (1; 1) b + Với m = 2, ta có đường thẳng y = (1,5đ) khoảng cách từ O đến (d) (1) + Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1 khoảng cách từ O đến (d) (2) 0,5 đ 0,5 đ + Với m ≠ m ≠ Gọi A giao điểm đường thẳng (d) với trục tung Ta có: x = ⇒ y = 1 , OA = m − m −1 Gọi B giao điểm đường thẳng (d) với trục hoành Ta có: y = ⇒ x = 1 , OB = m − m−2 0,5 đ Gọi h khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d) Ta có: 1 1 = + = (m − 1) + (m − 2) = 2m − 6m + = 2(m − ) + ≥ 2 2 2 h OA OB Suy h ≤ 2, max h = m = (3) Từ (1), (2) (3) suy Max h = m = (4đ) a Ta có x = ( −2 )( 5+2 + (3 − 5) ) =( −2 )( 5+2 +3− 0,5 đ ) = Từ tính B = - b Dễ thấy x ≠ y Không tính tổng quát, giả sử x > y * Từ (3y + 1) Mx ⇒ y + = p.x ( p ∈ N ) Vì x > y nên 3x > 3y + = p.x ⇒ p < Vậy p ∈ { 1; 2} • Với p = 1: ⇒ x = 3y + ⇒ 3x + = 9y + My ⇒ 4My Mà y > nên y ∈ { 2; 4} + Với y = x = + Với y = x = 13 • Với p = 2: ⇒ 2x = 3y + ⇒ 6x = 9y + ⇒ 2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + My nên 9y + 5My suy My , mà y > nên y = 5, suy x = Tương tự với y > x ta giá trị tương ứng Vậy cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13); (13;4); 1,25 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (6đ) a(2,0đ) A E F H * Ta có: SABC = BC.AD B C D ∆ABD vuông D có AD =AB.sinB, SABC = BC.AB.sinA ∆ABE vuông E có AE = AB.cosA ∆BFC vuông F có BF = BC.cosB ∆ACD vuông D có CD = AC.cosC Do AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD AD b(1,5đ) Xét ∆ABD có tanB = ; ∆ACD có tanC = CD BD AD suy tanB.tanC = (1) BD.CD · · · Do HBD (cùng phụ với ACB ) nên ∆BDH ∼ ∆ADC (g.g) = CAD DH BD ⇒ = ⇒ BD.DC = DH.DA DC AD AD AD = Kết hợp với (1) tanB.tanC = DH.AD DH · · c(1,5đ) Chứng minh ∆AEF ∼ ∆ABC (g.g) ⇒ AEF = ABC · · · · Tương tự CED nên AEF mà BE ⊥ AC = CBA = CED · · · · = 90 Từ suy FEB ⇒ EH phân ⇒ AEB = CEB = DEB ∆DEF Tương tự DH, FH phân giác ∆DEF nên H giao ba đường phân giác ∆DEF d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC CH CE = Dễ thấy ∆CHE ∼ ∆CAF(g.g) ⇒ CA CF HB.HC HB.CE 2.SBHC SBHC ⇒ = = = AB.AC AB.CF 2.SABC SABC HC.HA SCHA HA.HB SHAB = = Tương tự có ; BC.BA SCBA CA.CB SCAB HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA SAHB + + = + + =1 Do đó: AB.AC BC.BA CA.CB SBAC SCBA SACB 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (1đ) a = x + y ; b = y + z ;c = z + x Đặt ⇒ a; b;c > a + b + c = 2015 Ta có: a + b + c2 = 2(x + y + z ) ⇒ a − b + c 2 a + b − c 2 −a + b + c ;y = ;z = 2 x2 a − b2 + c2 2 2 ⇒ ⇒ ≥ y + z ≤ 2b Do đó: (y + z) ≤ 2(y + z ) = 2b y+z 2b y2 a + b − c2 z −a + b + c ≥ , ≥ Tương tự: z+x x+y 2c 2a a + b2 + c2 b a + b2 + c2 c a + b2 + c2 a ⇒ T≥ − + − + − = 2b 2 2c 2 2a 2 1 1 a +b+c = (a + b + c ) + + ÷− ≥ 2 a b c 1 2015 ≥ (a + b + c) + + ÷− = 2 a b c 1 2015 = (a + b + c)(a + b + c) + + ÷− ≥ 2 a b c 2015 2015 ≥ 2015.9 − = 2 2 2015 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 2015 2015 Vậy T = x = y = z = 2 0,25 ⇒ x2 = (2đ) 0,25 0,25 0,25 Đặt S BIC = x , SCIA = y , S AIB = z ⇒ S ABC = x + y + z 0.25 A K N I B M AM S ABC x + y + z AI y2 + z2 AI y + z = = ⇔ +1 = 1+ ⇔ = IM S BIC x2 IM x2 IM x2 ⇔ IA = IM C 0.5 y2 + z2 x Chứng minh tương tự ta có: IB = IN z + x2 , y IC = IK x2 + y z 0.25 ⇒ IA IB IC + + = IM IN IK y2 + z2 x2 + y z + x2 + + x y z y+z z+x x+ y y z z x x y + + ≥ =3 + + + + + ÷≥ 2.x y 2.z 2x x y y z z IA IB IC + + ≥3 Vây IM IN IK ≥ 1.0 ... nên AEF mà BE ⊥ AC = CBA = CED · · · · = 90 Từ suy FEB ⇒ EH phân ⇒ AEB = CEB = DEB ∆DEF Tương tự DH, FH phân giác ∆DEF nên H giao ba đường phân giác ∆DEF d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB =... p = 1: ⇒ x = 3y + ⇒ 3x + = 9y + My ⇒ 4My Mà y > nên y ∈ { 2; 4} + Với y = x = + Với y = x = 13 • Với p = 2: ⇒ 2x = 3y + ⇒ 6x = 9y + ⇒ 2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + My nên 9y + 5My suy My , mà y > nên...PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THI N HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI -LẦN Môn thi: Toán Thời gian làm : 150 phút Ngày 29/ 10/ 2016 Bài Câu 1) Tóm tắt cách giải 6x − (x