Đề thi và đáp án thi HSG toán 11 năm học 2011 2012 tỉnh điện biên

SỞ GD& ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỚ NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán - Lớp 11 Ngày thi 18/4/2012 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề có 01 trang) ĐỀ BÀI Bài 1. (6,0 điểm) a) Giải phương trình: 2sin 2 5 x + 4sin 5 x cos5 x − 3 = 0 b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = sin 2 x+cos x + 2 Bài 2. (6,0 điểm) a) Tìm hệ số của x18 trong khai triển ( 2 − x 2 ) 3n biết C20n + C21n + C22n + .... + C22nn = 1024  x2 − 8x − 3  khi x< − 1 b) Xét tính liên tục của hàm số y =  x +1 ax − 5 khi x ≥ −1  tại điểm x = −1 (a là tham số). Bài 3. (5,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SD ⊥ ( ABCD ) và SD = a. a) Tính góc giữa SA và (SBD). b) M là điểm di động trên đoạn AB, điểm K thuộc CM sao cho SK ⊥ CM . Chứng minh K thuộc một cung tròn cố định. c) Hai điểm P, Q lần lượt thuộc cạnh DA và DC sao cho DP+DQ = a, · · · ( P ≠ A, P ≠ D; Q ≠ C , Q ≠ D ) . Chứng minh rằng DSP + DSQ + PSQ = 900 Bài 4. (1,5 điểm) Dãy số (un) được xác định: u1 = 2013  2 (n = 1,2,..) un + 2011un − 2013un+1 + 1 = 0   1 1 1 + + .... + Tìm lim  ÷ n →∞ u + 2012 u2 + 2012 un + 2012   1 3 Bài 5. (1,0 điểm) ). Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = . 4 1 1 1 +3 +3 ≥ 3. Chứng minh 3 a + 3b b + 3c c + 3a …………………………………Hết…………………………….. Câu 1a (3điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỚ MÔN TOÁN 11 - NĂM HỌC 2011-2012 Nội dung 2 ⇔ + Pt 2sin 5 x + 4sin 5 x cos5 x − 3 = 0 (1) 2 2 − sin 5 x + 4sin 5 x cos5 x − 3cos 5x = 0 + Nếu cos5x=0 ⇒ sin5x=0 vô lý vì sin 2 5 x + cos 2 5 x = 1 . Suy ra cos5x=0 không là nghiệm của pt (1) + Chia cả hai vế của pt (1) cho cos25x ( cos5 x ≠ 0 ) ta được pt  t an5x = 1 − tan 2 5 x + 4 tan 5 x − 3 = 0 ⇔   tan 5 x = 3 π π +k + Với tan 5 x = 1 ⇒ x = với k ∈ Z 20 5 arctan 3 π +l + Với t an5x=3 ⇔ x = với l ∈ Z 5 5 Tìm GTLN, GTNN nhất của hàm số f ( x) = sin 2 x+cos x + 2 + TXĐ : D=R & f ( x) = −cox 2 x+cos x + 3 Đặt cosx=t , −1 ≤ t ≤ 1 ta được f (t ) = −t 2 + t + 3 Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm GTLN, GTNN nhất của hàm số y=f(t) trên [-1;1] + Bảng biến thiên của hàm số y=f(t) trên [-1;1] t 1b -1 (3 điểm) f(t) 1 2 13 4 Điểm 0.5 0.5 1 0.5 0.5 1 1 3 1 1 + Từ BBT ta có: 1 1 π 13 tại t = ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ Z 2 2 3 4 GTNN của hàm số bằng 1 tại t = −1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z KL... + Có C20n + C21n + C22n + .... + C22nn = 1024 ⇔ (1 + 1) 2 n = 210 ⇔ n = 5 + Xét khai triển (2 − x 2 )15 có Tk +1 = C15k 215−k ( − x 2 )k = C15k 215−k (−1) k x 2 k GTLN của hàm số bằng 2a (3điểm) 1 1 1 + Để số hạng chứa x18 thì 18=2k hay k=9 + Vậy hệ số của số hạng chứa x18 là C159 26 ( −1)9 = −C159 26 + TXĐ: D=R, f ( −1) = − a − 5 + lim− f ( x) = lim− x→ − 1 2b (3điểm) 3a (2,5điểm) x→ − 1 x2 − 8x − 3 x2 − 8x − 9 ( x + 1)( x − 9) −5 = lim− = lim− = x→ − 1 x+1 ( x + 1)( x 2 − 8 x + 3) x→ − 1 ( x + 1)( x 2 − 8 x + 3) 3 f ( x) = lim+ (ax − 5) = − a − 5 + xlim →−1+ x →−1 + Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi · sin ASO = M 0.5 0.5 0.5 5 10 lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f ( −1) ⇔ −a − 5 = − ⇔ a = − x →−1 x →−1 3 3 10 + Vậy với a = − thì hàm số liên tục tại x=-1 3 10 với a ≠ − thì hàm số giánSđoạn tại x=-1 3 + Gọi O = AC ∩ BD Chứng minh AC ⊥ ( SAB ) + ⇒ SO là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (SBD) ⇒ góc giữa hai đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) là góc giữa SA C D Q và SO P · hay là ASO m K O + A 0.5 0.5 B 1 0.5 0.75 0.75 1 AO 1 = ... = SA 2 · O = 300 ⇒ AS 3b (2điểm) 3c (1điểm) + Vì MC ⊥ SK , DK là hình chiếu của SK trên (ABCD) ⇒ MC ⊥ DK · + Vì D, C cố định và DKC = 900 ⇒ M thuộc đường tròn đường kính DC + Khi M ≡ B ⇒ K ≡ C , khi M ≡ A ⇒ K ≡ O . Vậy khi M di chuyển trên ¼ đoạn AB thì K di chuyển trên cung CmO của đường tròn đường kính DC · · · + Đặt DSP = α ; DSQ = β ; PSQ = γ từ giả thiết 0.75 0.75 0.5 0.5 ⇒ α + β + γ = 900 ⇔ sin(α + β ) = cosγ ⇔ sin α .cosβ + cosα .sin β = cosγ 0.5 DP SD SD DQ SQ 2 + SP 2 − PQ 2 ⇔ . + . = + SP SQ SP SQ 2SP.SQ 2 2 2 SD ( DP + DQ) SD + DQ + SD + DP 2 − ( DP 2 + DQ 2 ) a2 a2 = ⇔ = SP.SQ SP.SQ SP.SQ SP.SQ đẳng thức đúng.Vậy suy ra điều phải chứng minh u1 = 2013 Dãy số (un)  2 (n = 1,2,..) un + 2011un − 2013un+1 + 1 = 0   1 1 1 + + .... + Tìm lim  ÷ n →∞ u + 2012 u2 + 2012 un + 2012   1 + Ta có un2 + 2011un − 2013un+1 + 1 = 0 ⇔ un+1 = un2 + 2011un + 1 2013 un2 + 2011un + 1 un2 + 2011un − 2012 (un − 1)(un + 2012) ⇔ un+1 − 1 = −1 = = 2013 2013 2013 1 1 1 1 1 1 ⇒ = − ⇒ = − (1) un+1 − 1 un − 1 un + 2012 un + 2012 un − 1 un+1 − 1 + Từ (1) suy ra a 4 1 1 1 1 1 + + .... + = ... = − (2) (1,5điểm) u1 + 2012 u2 + 2012 un + 2012 u1 − 1 un+1 − 1 + Mặt khác ta có un2 + 2011un + 1 (un − 1) 2 un+1 = ⇒ un+1 − un = ≥ 0, ∀n = 1,2,.. 2013 2013 Như vậy (un) là dãy tăng ta có 2013=u1 ... un + 2011un − 2013un+1 + =   1 + + + Tìm lim  ÷ n →∞ u + 2012 u2 + 2012 un + 2012   + Ta có un2 + 2011un − 2013un+1 + = ⇔ un+1 = un2 + 2011un + 2013 un2 + 2011un + un2 + 2011un − 2012 (un...Câu 1a (3điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỚ MÔN TOÁN 11 - NĂM HỌC 2 01 1- 2012 Nội dung ⇔ + Pt 2sin x + 4sin x cos5 x − = (1) 2 − sin x + 4sin... + 2011un − 2013un+1 + 1) = ⇒ α + 2 011 − 2013α + = ⇔ (α − 1) = ⇔ α = < 2013 vô lý Vậy lim un = +∞ + Từ (2) 1 1 1 lim( + + + ) = lim( − )= = u1 + 2012 u2 + 2012 un + 2012 u1 − un+1 − 2013 − 2012