a Tính góc giữa SA và SBD.. Chứng minh K thuộc một cung tròn cố định.
Trang 1SỞ GD& ĐÀO TẠO
TỈNH ĐIỆN BIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỚ
NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán - Lớp 11
Ngày thi 18/4/2012
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
ĐỀ BÀI
Bài 1 (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2sin 52 x+4sin 5 cos5x x− =3 0
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
f x = x+
Bài 2 (6,0 điểm)
a) Tìm hệ số của x trong khai triển 18 ( 2)3
2−x n biết
2 2 2 2n 1024
C +C +C + +C =
b) Xét tính liên tục của hàm số
2 8 3
khi x< 1 1
x x
ax
= +
tại điểm x= −1 (a là tham số)
Bài 3 (5,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a, SD⊥(ABCD) và SD = a
a) Tính góc giữa SA và (SBD)
Chứng minh K thuộc một cung tròn cố định
c) Hai điểm P, Q lần lượt thuộc cạnh DA và DC sao cho DP+DQ = a, (P A P D Q C Q D≠ , ≠ ; ≠ , ≠ ) Chứng minh rằng ·DSP DSQ PSQ+ · +· =900
Bài 4 (1,5 điểm) Dãy số (un) được xác định:
1
2013
u
=
Tìm
n
n
→∞
Bài 5 (1,0 điểm) ) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn 3
4
a b c+ + =
a b + b c + c a ≥
………Hết………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỚ
MÔN TOÁN 11 - NĂM HỌC 2011-2012
1a
(3điểm)
+ Pt 2sin 52 x+4sin 5 cos5x x− =3 0(1) ⇔
sin 5x 4sin 5 cos5x x 3 os 5x 0c
+ Nếu cos5x=0 ⇒ sin5x=0 vô lý vì sin 52 x c+ os 52 x=1 Suy ra
cos5x=0 không là nghiệm của pt (1)
+ Chia cả hai vế của pt (1) cho cos25x ( os5c x≠0) ta được pt
−tan 52 x+4 tan 5x− =3 0 ⇔ t an5x 1tan 5x==3
x= ⇒ =x π +kπ
với k Z∈
0.5 0.5
1 0.5 0.5
1b
(3 điểm)
Tìm GTLN, GTNN nhất của hàm số f x( ) sin x+cos= 2 x+2
+ TXĐ : D=R & f x( )= −cox x+cos2 x+3
Đặt cosx=t , 1− ≤ ≤t 1 ta được f t( )= − + +t2 t 3
Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm GTLN, GTNN nhất của hàm
số y=f(t) trên [-1;1]
+ Bảng biến thiên của hàm số y=f(t) trên [-1;1]
t -1 1
2 1 f(t)
13
4 3 1
+ Từ BBT ta có:
4 tại
t = ⇔ x= ⇔ = ± +x π k π k Z∈
GTNN của hàm số bằng 1 tại t= − ⇔1 cosx= − ⇔ = +1 x π k2 ,π k Z∈
KL
1
1
1
2a
2 2 2 2n 1024
+ Xét khai triển (2−x2 15) có 1 15k 215 k( 2)k 15k 215 k( 1)k 2k
k
T+ =C − −x =C − − x
1 1
Trang 3C
B A
O
Q D
K M
m P
+ Để số hạng chứa x thì 18=2k hay k=918
C − = −C
0.5 0.5
2b
(3điểm)
+ TXĐ: D=R, ( 1)f − = − −a 5
+
f x
+ xlim ( )→−1+ f x =xlim (→−1+ ax− = − −5) a 5
+ Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi
→− = →− = − ⇔ − − = − ⇔ = −
3
a= − thì hàm số liên tục tại x=-1
với 10
3
a≠ − thì hàm số gián đoạn tại x=-1
0.5 0.5 0.5 1
0.5
3a
(2,5điểm)
Chứng minh AC ⊥(SAB)
trên mặt phẳng (SBD)
và SO
hay là ·ASO
+
·
1
2
AO SA O
0.75 0.75
1
3b
(2điểm)
+ Vì D, C cố định và ·DKC =900⇒M thuộc đường tròn đường kính DC
+ Khi M ≡ ⇒ ≡B K C , khi M ≡ ⇒ ≡A K O Vậy khi M di chuyển trên
đoạn AB thì K di chuyển trên cung ¼CmO của đường tròn đường kính DC
0.75 0.75 0.5
3c
(1điểm) + Đặt ·DSP=α; DSQ· =β;PSQ· =γ từ giả thiết
0
0.5 0.5
Trang 4DP SD SD DQ SQ SP PQ
SP SQ SP SQ SP SQ
đẳng thức đúng.Vậy suy ra điều phải chứng minh
4
(1,5điểm)
Dãy số (un) 12
1
2013
u
=
Tìm
n
n
→∞
+ Ta có
2 2
2013
u + u − u + + = ⇔u + = + +
1
n
+ Từ (1) suy ra a
u +u + +u = =u −u +
+ Mặt khác ta có
u + = + + ⇒u + − =u − ≥ ∀ =n
Như vậy (un) là dãy tăng ta có 2013=u1<u2 <u3 <un
Giả sử α là giới hạn hữu hạn của dãy: α =limu n
2
1
u + u − u + + = 2
1
lim(u n 2011u n 2013u n+ 1) 0
⇒α2 +2011α −2013α + = ⇔1 0 (α −1)2 = ⇔ = <0 α 1 2013 vô lý
Vậy limu n = +∞
+ Từ (2)
0.5
0.25
0.5
0.25
5
(1điểm) + Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương ta có
z y x
9 z
1 y
1 x
1 9 xyz
3 xyz 3 z
1 y
1 x
1 ) z y x (
3
3
+ +
≥ + +
⇒
=
≥
+ + +
Áp dụng (*) ta có
0.25
Trang 5Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương ta có
3
3
3
a 3b 1 1 1
b 3c 1 1 1
c 3a 1 1 1
+ + +
+ + +
+ + +
0.25
3
+ + + + + ≤ + + + 1 4.3 6 3
3
0.25
Dấu ''='' xảy ra
3
4
4
a 3b b 3c c 3a 1
+ + =
+ = + = + =
Chú ý: Học sinh làm bài theo cách khác kết quả đúng lập luận chặt chẽ vẫn cho
điểm tối đa