Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 20112012 Đơn vị: Trường THCS Đông lĩnh Đề bài: A= Câu 1: ( 3điểm) Cho 10 x x+3 x −4 − 2 x −3 x +4 + x +1 1− x a)Rút gọn A b) Chứng minh : A> -3 c) Tìm giá trị lớn nhất của A Câu 2: ( 3điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a b c ab bc ac b)Cho ba số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 a + b + c + ab + bc + ac ≤ 1 + 3 Chứng minh rằng : Câu 3: ( 2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo AC Kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB và BC Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó theo a Câu 4: ( 2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 1 1 1 + + 1 + xy 1 + yz 1 + zx Trong đó x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z 2 ≤ 3 Câu 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở đáy bằng α S ∆ABC Chứng minh h2 = 4 sin α cos α Câu 6: (3 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn các điều kiện sau: x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + xz và x 2011 + y 2011 + z 2011 = 3 2012 y2 = 2x +1 b)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : Câu 7: ( 4 điểm) Cho tam giác ABC các đường phân giác trong của các góc A, S ≤ ∆MNP B, C cắt các cạnh đối diện tại M, N, P Chứng minh rằng : 1 4 S ∆ABC Đáp án và hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi năm học 2011-2012 Đơn vị; Trường THCS Đông lĩnh Câ Nội dung u x ≥ 0; x ≠ 1 1 a)ĐKXĐ: ( x −2 10 A= )( ) ( ( )( ( x −1)(7 −3 x ) = 7 −3 x = ( x −1)( x +4) x +4 7−3 x b) x +4 ⇔ > -3 7−3 x c) A= 7−3 x x+4 −3+ x+4 )( x −3 x − − x +1 1 x − 1 x +4 ⇔ +3 >0 ) x +4 ) = −3x +10 ( x −1)( 1,5 x −7 x +4 ) 0,5 14 x +4 Điểm >0 với mọi x vì x +4 >0 1,0 19 x +4 x +4 = A đạt giá trị lớn nhất khi x + 4 ≥ 4 ⇒ ( x + 4) min = 4 ⇔ x = 0 ⇒ Amax = đạt giá trị nhỏ 7 ⇔ x=0 4 nhất Mà 2 1,5 a)Vì a,b,c là các số thực dương nên âp dụng BĐT Côsi ta có: 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 + ≥ ; + ≥ ; + ≥ ⇒ 2 + + ≥ 2 + + a b ab b c bc c a ac bc ca a b c ab 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + ≥ + + a b c ab bc ca Dấu bằng xảy ra khi a = b= c b)Vì ba số dương a, b, c và thoả mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 ta có : 1,5 (a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca ≤ a + b + c = 1 2 2 2 2 2 2 (1) ( ) ( (a + b + c) 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) + 2( ab + bc + ca ) ≤ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a 2 + b 2 + c 2 ( ) = 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3 ⇒ ( a + b + c) ≤ 3 ) Ta lại có: (2) a + b + c + ab + bc + ac ≤ 1 + 3 Cộng hai vế của (1) và (20 ta có: 3 Ta có : S ∆DMF S ∆DEM 0,25 = S ∆AME (có chung cạnh đáy ME và đường cao tương ứng) = S ∆CMF 0,5 (có chung cạnh đáy MF và đường cao tương ứng) ⇒S ∆DEÈ = S ∆DME + S ∆DMF + S ∆EMÈM = S ∆ABC − S ∆BEÈ = ( 1 2 a − BE.BF 2 ) ⇒ S ∆DEÈ Max ⇔ BE.BFMax, ViBE + BF = a ⇒ BE.BFMax ⇔ BE = BF = 0,25 1,0 a ⇒M 2 0,5 là S ∆DEÈ Max = 1 2 a 3 2 a − = a 2 4 8 2 trung điểm của AC và 4 ( a + b + c)( 1 + 1 + 1 ) ≥ 9 a b 0,5 c Nếu a,b,c là ba số dương thì Áp dụng BĐT trên ta đặt a = 1+ xy; b = 1+ yz ; c = 1 + xz 0,5 1 1 1 + + )≥9 1 + xy 1 + yz 1 + zx 9 9 9 3 3 ⇒ A≥ ≥ ≥ = ⇒ AMin = ⇔ x = y = z = 1 2 2 2 ( 3 + xy + yz + xz ) 3 + x + y + z 3 + 3 2 2 1,0 ⇒ (3 + xy + yz + xz )( 5 Kẻ BE vuông góc với AC Trong ∆vuôngBEC 0,5 ta có: BE h h sin α = sin C = = ⇒ BC = BC BC sin α 0,5 1 h BC = 2 2 sin α Kẻ AH vuông góc với BC ta có: HB=HC= 1,0 Trong tam giác vuông AHC có 0,5 h sin α h = 2 sin α cos α 2 cos α tan α = AH = HC.tanC= HC 1 h h h2 S ∆ABC = 2 BC AH = 2 sin α 2 cos α = 4 sin α cos α 6 Vậy a) 0,5 Vì : x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + xz ⇒ ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 = 0 ⇒ x = y = z 0,5 ⇒ 3 x 2011 = 3 y 2011 = 3 z 2011 = 3 2012 ⇒ x = y = z = 3 0,5 b)Ta có y 2 = 2 x + 1 ⇒ 2 x = y 2 − 1 = ( y − 1)( y + 1) 0,5 Do x,y là các số tự nhiên nên ⇒ ( y − 1); ( y + 1) x là ước của 2 ; trong đó m,n là các số tự n ⇒ 2 m ( 2 n −m − 1) = 2 m nhiên và giả sử m < n ta có 2 -2 = y+1 – y+1 = 2 n-m Nếu n – m > 1 suy ra 2 0,5 ⇒ y − 1 = 2m ; y + 1 = 2n 0,5 (1) - 1 là số lẻ là ước của 2 ( Vô lý) suy ra : n − m ≤ 1 ⇒ n − m = 1 ⇒ 2 (2 − 1) = 2 ⇒ m = 1 ⇒ n = 2 ⇒ x = 3; y = 3 m 7 1 Giả sử đặt BC = a ; AB = c ; CA = b và S là ký hiệu diện tích Kẻ BH vuông góc với AC ; PK vuông góc AC Suy ra : PK song song với BH ⇒ PK AP = (1) ⇒ BH AB S S APN = ABC PK AN AP AN = BH AC AB AC Vì BN là tia phân giác góc B AN AB AN AB AN c b.c ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ AN = NC BC AN + NC AB + BC b a+c a+c AP = Chứng minh tưng tự : ⇒ S S APN ABC = b.c b+c 1,0 Do đó b.c S ABC AP AN b.c b.c b.c = = ⇒ S APN = AB AC ( b + c ) c ( a + c ) b ( b + c ) (a + c) (b + c )( a + c) Chứng minh tương tự ; 1,0 1,0 1,0 ⇒ S BPM = ⇒ S MNP = a.c S ABC (b + c)( a + b) ; S CMN = 2a.b.c S ABC (a + b)(b + c )( a + c) ≤ a.b S ABC (a + b)( a + c ) 2a.b.c S ABC 8abc = ⇒ S MNP = S ABC − ( S APN + S BPM + S CMN ) 1 4 S ABC ... a)ĐKXĐ: ( x −2 10 A= )( ) ( ( )( ( x −1 )(7 −3 x ) = −3 x = ( x −1 )( x +4) x +4 7−3 x b) x +4 ⇔ > -3 7−3 x c) A= 7−3 x x+4 −3+ x+4 )( x −3 x − − x +1 x − x +4 ⇔ +3 >0 ) x +4 ) = −3x +10 ( x −1 )( 1,5... ta có : 1,5 (a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥ ⇒ ab + bc + ca ≤ a + b + c = 2 2 2 (1 ) ( ) ( (a + b + c) = (a + b + c ) + 2( ab + bc + ca ) ≤ a + b + c + a + b + c ( ) = a + b + c = ⇒ ( a + b + c)... = AB AC ( b + c ) c ( a + c ) b ( b + c ) (a + c) (b + c )( a + c) Chứng minh tương tự ; 1,0 1,0 1,0 ⇒ S BPM = ⇒ S MNP = a.c S ABC (b + c )( a + b) ; S CMN = 2a.b.c S ABC (a + b)(b + c )( a + c)