Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 luôn là một số chính phương b.. Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh tam giác MBP đồng dạng với tam giác QCM và PB.CQ có giá tr
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HÀ TRUNG Năm học 2011-2012
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút
Câu 1: (3,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a (3 2 2 3)(3 2 2 3) − +
b 2 5 24
12
+ −
c 12 2 14 2 13+ + − 12 2 11+ ( 11+ 13)
d
1
x y
y x
a Rút gọn biểu thức P
b Tính giá trị của biểu thức P khi x=5-2 6; y=5+2 6
c Chứng minh 0≤ P< 1
Câu 3: (2,5 điểm)
a Chứng minh rằng 2a4+1 ≥ 2a3 +a2
b Cho x>y và x.y = 1 Chứng minh rằng
2 2
x y
+ ≥
−
Câu 4: (3,0 điểm)
a Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 luôn là một số chính phương
b Giải phương trình 15 − +x 3 − =x 6
Câu 5: ( 3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC Gọi M là trung điểm của BC Lấy P trên cạnh AB và
Q trên cạnh AC sao cho ·PMQ=600
a Chứng minh · ·BPM = CMQ.
b Chứng minh tam giác MBP đồng dạng với tam giác QCM và PB.CQ có giá trị không đổi khi
P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC
c Kẻ MH⊥ PQ Chứng minh ∆MBPđồng dạng với ∆QMP; ∆QCM đồng dạng với ∆QMP.
d Chứng minh độ dài MH không đổi khi P trên cạnh AB và Q trên cạnh AC sao cho ·PMQ=600
Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH (H∈ BC) và HC = 2HB Đường thẳng qua
C vuông góc với AC và đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt nhau tại D Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BC
a Chứng minh 3DK.AH = BC.BK
b Tam giác DHC là tam giác gì?
Câu 7: (1,5 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
− −
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HÀ TRUNG Năm học 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu 1:
(3,5 đ) a (3 2 2 3)(3 2 2 3)− + = ( )2
3 2 -( )2
b 2 5 24
12
2
c 12 2 14 2 13+ + − 12 2 11+ ( 11+ 13)
= 12 2 ( 13 1)+ + 2 − ( 11 1)+ 2 ( 11+ 13)
=( 12 2 13 2 + + − 11 1 − ) ( 11 + 13)
=( ( 13 1) + 2 − 11 1 − ) ( 11 + 13)
=( 13 1 + − 11 1 − )( 11 + 13)
= ( 13 − 11)( 11 + 13)=13-11=2
0.25 0.25 0,25 0,25
d
1
1
x
x
sinx cos sinx cos
=( cos )(sin2 sin cos os )2 1
sinx cos
x
+
sin x− sin cosx x c+ os x− = − 1 sin cosx x
0,25
0,25
0,25 0,25 Câu 2:
(3,0 đ)
a (1,25đ): ĐKXĐ x; y≥ 0; x≠ y
x y
y x
−
= x y x xy y :x xy y
+ −
= xy . x y
+
xy
x− xy y+
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 3b (0.5 đ): x=5-2 6=( )2
3 − 2 y=5+2 6=( )2
3 + 2
5 2 6 5 2 6 1
−
− + + − =
1 9
0,25 0,25
c (1,25đ): Ta có x; y≥ 0 xy ≥ 0 (1)
( )2
Ta có x≠ ỹ ( )2
x− y >0 ; xy≥ 0 ̃ ( )2
x− y + xy>0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra xy
x− xy y+ ≥ 0 hay P≥ 0 (*) Xét P-1 = xy
x− xy y+ -1=
− − +
=
2
− − − −
=
Ta có -( )2
x− y <0 (vì x≠ y) (3)
Từ (2) và (3) suy ra
2
− −
− + <0 hay P-1<0 ⇔ P<1
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu 3:
(2,5đ)
a (1,25 đ):
Xét 2a4+1 -(2a3 +a2) = a4 -2a2 + 1 + a4 -2a3 + a2=
=(a2- 1)2 + (a2 -a)2
Ta có (a2- 1)2 ≥ 0 và (a2 -a)2 ≥ 0 ∀ ∈a R
̃ 2a4+1 -(2a3 +a2) ≥ 0 ⇔ 2a4+1 ≥ 2a3 +a2
0,25 0,25 0,5 0,25
b (1,25 đ) Cho x>y và x.y = 1 Chứng minh rằng
2 2
x y
+ ≥
−
Ta có x.y =1 ̃ 2 2 ( )2
2
− + + =
2
x y
x y
− +
−
Vì x>y nên x-y>0
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có x y 2
x y
− +
− ≥ 2 2 Vậy
2 2
x y
+ ≥
−
0,5
0,25 0,25 0,25 Câu 4:
(3,0 đ)
a (1,5 đ)
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n; n+1; n+2; n+3
Ta có n(n+1)( n+2)( n+3)+1 = (n2+3n)(n2+3n+2) +1
= (n2+3n+1-1)(n2 +3n+1+1) +1
=(n2+3n+1)2-1 +1=(n2+3n+1)2
Vậy tích của 4 số tự nhiên cộng thêm 1 là số chính phương
0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 b.(1,5 đ) 15 − +x 3 − =x 6
Trang 415 − +x 3 − =x 6
⇔ 15-x+3-x+2 (15 − x)(3 − x)=36
⇔ 2 (15 − x)(3 − x)=2x+18
⇔ (15-x)(3-x)=(x+9)2
⇔ 45-18x+x2=x2+18x+81
⇔ 36x=-36
⇔ x=-1 (Thỏa mãn đkxd)
Vậy PT có nghiệm x=-1
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
C©u 5:
(3,5 đ) a (1,0 đ) Ta cã BMP· + 60 0 + CMQ· = 180 0
̃ ·CMQ= 120 0 − BMP·
Trong ∆BPM cãµB=600
nªn·BPM = 120 0 − BMP·
Suy ra BPM· ·= CMQ
0,25 0,25
0,25 0,25
b (1,0đ) Xét hai tam giác BPM và CMQ có BPM· ·= CMQ và µ µB C=
nên ∆ MBP đồng dạng với ∆ QCM, suy ra MB CQ = CM BP
̃ BP.CQ=MB.CM= 2
4
BC
(vì theo gt ta có MB=MC=
2
BC
)
Vì ∆ ABC đều đã cho nên BC có độ dài không đổi, vậy tích MB.CM không
đổi
0,25 0,25
0,25 0,25
c (1,0 đ) Do ∆ MBP đồng dạng với ∆ QCM ̃ BP MP
̃ MP BP = QM MB
Hai tam giác MBP và QMP có PBM· · = PMQ= 60 0và MP BP = MQ MB
nên hai tam giác MBP và QMP đồng dạng
Ta có hai tam giác MBP và QCM đồng dạng
Nên hai tam giác QMP và QCM đồng dạng
0,25 0,25
0,25 0,25
d (0,5 đ) Từ câu c ta có · ·BPM = QPM hay PM là phân giác của góc BPQ nên
MH=ME
(ME là đường cao của tam giác BPM)
ME có độ dài không đổi nên MH có độ dài không đổi
0,25 0,25
H
F E
M
A
P
Q
Trang 5Cõu 6:
(3,0 đ)
a (1,5 đ) Xột ∆ ABH và ∆ BDK cú
̃ ãBAH=DBHã
̃ ∆ ABH đồng dạng với ∆ BDK
Ta cú HC = 2 HB̃ BH = 1
3BC
3
̃ 3DK.AH = BC.BK (1)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
b (1,5 đ) C/m∆ ABCH đồng dạng với ∆ CKD
2
CK = KD = KD ̃ AH.KD = HC.CK (2)
Từ (1) và (2) suy ra BK BC=3HC.CK
HC CK
̃ BK=2CK
Ta cú HC =2BH ̃ BH=HK=KC
̃ K là trung điểm của HC
̃ KD là đường trung trực của đoạn thẳng HC
̃ ∆ DH C cõn tại D
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 Cõu 7:
(1,5 đ) Ta cú: A= 2 2
− −
=
2 2
(x 1)(y 1)
x y
= 2 2
(x 1)(x 1)(y 1)(y 1)
x y
(x 1)( y y)( 1)( x)
x y
+ − + −
=(x+1)(xy y+ 1)=xy x y 1 1 2
+ + + = +
Ta cú x+y≥ 2 xy ⇔ (x+y)2 ≥ 4xy⇔ 1≥ 4xy⇔ 1 4
xy ≥ Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
2 Vậy A≥ 1+2.4=9
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
2 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A là 9 khi x=y=1
2
0,25 0,25 0,5 0,25
0,25
Ghi chỳ: - Thí sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa,điểm thành phần giám khảo tự
phân chia trên cơ sở điểm thành phần của đáp án
- Đối với bài hình nếu thí sinh không vẽ hình thì không đợc tính điểm
H
K
D A