A m+1 m-3 B m+1 O PHÒNG GD&ĐT Quản ba ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Câu Ý Nội dung Điểm Ghi chú 1 a A 2 2 3 2 2. ( 6) ( 3 2 2) 3 2 2. 6 (3 2 2)= + − + = + − + A = 2 (3 2 2)(3 2 2) 9 (2 2) 1+ − = − = 0.5 0.5 2.0 b B = ( ) ( ) 2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009 2005.2007.2010.2011 − + − . Đặt x = 2008, khi đó B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x 6 x 2x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 − − + − + − − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 + − + − + − − + + = x + 1 = 2009 0.25 0.25 0.5 2 a y = (m – 3)x + (m + 1) Giả sử M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có: y 0 = mx 0 – 3x 0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m 0 0 0 ( 1) (1 3 ) 0,m x x y m⇔ + + − − = ∀ 0 0 0 0 0 1 0 1 1 3 0 4 x x x y y + = = − ⇔ ⇔ − − = = Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4) 0.25 0.25 1.5 b Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3 0 3m ≠ ⇔ ≠ S ∆ ABO = 1 1 1 1 2 3 m m m + + = − 2 ( 1) 2 3m m⇔ + = − Nếu m> 3 ⇔ m 2 +2m +1 = 2m -6 ⇔ m 2 = -7 ( loại) Nếu m < 3 ⇔ m 2 +2m +1 = 6 – 2m ⇔ m 2 + 4m – 5 =0 ⇔ (m – 1)(m + +5) = 0 ⇔ m = 1; m = -5 0.5 0.5 3 a Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có: a 2 + b 2 +c 2 + d 2 +2 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ≥ a 2 +2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 ⇔ 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ≥ ac + bd (1) Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m Nếu ac + bd ≥ 0 (1) ⇔ ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ a 2 c 2 + b 2 d 2 +2acbd ⇔ a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 ≥ a 2 c 2 + b 2 d 2 +2acbd ⇔ a 2 d 2 + b 2 c 2 – 2abcd ≥ 0 ⇔ (ad – bc) 2 ≥ 0 ( luôn đúng) Dấu “=” xẩy ra ⇔ ad = bc ⇔ a c b d = Áp dụng: xét vế trái VT = 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 (3 ) 1 ( 1 3 ) (2 1)x x x x+ + + − + ≥ + + − + + 16 9 5VT VT⇔ ≥ + ⇔ ≥ 0.5 0.5 0.25 0.25 1.5 H N C D A B M Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra ⇔ 1 3 5 1 6 2 2 1 3 x x x x x + − = ⇔ + = − ⇔ = b. Điều kiện: x ≥ 0 Q = ( 9) 25 25 3 6 3 3 x x x x − + = + + − + + 25 2 ( 3). 6 10 6 4 3 x Q x ≥ + − ⇔ ≥ − = + Vậy Q min = 4; Dấu “=” xẩy ra ⇔ 25 3 4 3 x x x + = ⇔ = + (TM điều kiện) 0.75 0.25 1.0 4 Hình vẽ chính xác Gọi H là giao của AM và CN Xét AMB∆ và ∆ CNB là hai tam giác vuông có: AB = CB (Cạnh hình vuông) BM = BN (gt) ⇒ AMB∆ = ∆ CNB (c-g-c) · · (1)BAM BCN= Xét trong AMB∆ và ∆ CMH có: · · AMB CMH= (đối đỉnh), kết hợp với (1) ⇒ · · 0 90CHM ABM= = hay · 0 90ACH = ⇒ H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD) Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H 0.2 0.5 0.5 0.3 1.5 5 Hình vẽ Đặt AM = x (0 < x < c) . Ta có: MN AM ax = MN = BC AB c ⇔ ( ) 0 c - x 3 MQ = BM.sin60 = 2 . Suy ra diện tích của MNPQ là: ( ) ( ) ax c - x 3 a 3 S = = x c - x 2c 2c + Ta có bất đẳng thức: 2 a + b a + b ab ab (a > 0, b > 0) 2 2 ≥ ⇔ ≤ ÷ Áp dụng, ta có: 2 2 x + c- x c x(c - x) = 2 4 ≤ ÷ . Dấu đẳng thức xảy ra khi: c x = c - x x = 2 ⇔ . Suy ra: . 2 a 3 c ac 3 S = 2c 4 8 ≤ . Vậy: max ac 3 S = 8 khi c x = 2 hay M là trung điểm của cạnh AB 0.2 0.2 0.3 0.3 0.25 0.5 0.25 0.5 2.5 A B C M N P Q 0 60 x . A m+1 m-3 B m+1 O PHÒNG GD&ĐT Quản ba ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút) Câu Ý Nội dung Điểm Ghi chú 1