DE THI HSG TOAN 8 5

Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn toán : Thời gian 150phút ( Không kể thời gian giao đề bài ) Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để: a, A=n 3 -n 2 +n-1 là số nguyên tố. b, B = 2 2623 2 234 + +++ n nnnn Có giá trị là một số nguyên. c, D= n 5 -n+2 là số chính phơng. (n 2) Câu 2: (5điểm) Chứng minh rằng : a, 1 111 = ++ + ++ + ++ cac c bbc b aab a biết abc=1 b, Với a+b+c=0 thì a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+bc+ca) 2 c, c a a b b c a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Câu 3: (5điểm) Giải các phơng trình sau: a, 6 82 54 84 132 86 214 = + + xxx b, 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 c, x 2 -y 2 +2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng. Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F. a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. b. Chứng minh: EFCDAB 211 =+ c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF. Câu Nội dung bài giải Điểm Câu 1 (5điểm) a, (1điểm) A=n 3 -n 2 +n-1=(n 2 +1)(n-1) Để A là số nguyên tố thì n-1=1 n=2 khi đó A=5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2điểm) B=n 2 +3n- 2n 2 2 + B có giá trị nguyên 2 n 2 +2 n 2 +2 là ớc tự nhiên của 2 n 2 +2=1 không có giá trị thoả mãn Hoặc n 2 +2=2 n=0 Với n=0 thì B có giá trị nguyên. c, (2điểm) D=n 5 -n+2=n(n 4 -1)+2=n(n+1)(n-1)(n 2 +1)+2 =n(n-1)(n+1) ( ) [ ] 54 2 + n +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và 5 n(n-1)(n+1 5 Vậy D chia 5 d 2 Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phơng Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng a, (1điểm) = ++ + ++ + ++ 111 cac c bbc b aab a 1 2 ++ + ++ + ++ cac c acabcabc abc cacabc ac = 1 1 1 111 = ++ ++ = ++ + ++ + ++ acabc acabc cac c acc abc cac ac 0,5 0,5 Câu 2 (5điểm) 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2điểm) a+b+c=0 a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc)=0 a 2 +b 2 +c 2 = -2(ab+ac+bc) a 4 +b 4 +c 4 +2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )=4( a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 a 4 +b 4 +c 4 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+4abc(a+b+c) . Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (2) Từ (1)và(2) a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+ac+bc) 2 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x 2 +y 2 2xy Dấu bằng khi x=y c a c b b a c b b a .2 2 2 2 2 2 =+ ; b c a c b a a c b a .2 2 2 2 2 2 =+ ; a b c b a c c b a c .2 2 2 2 2 2 =+ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: ) a b b c c a (2) a c c b b a (2 2 2 2 2 2 2 ++++ a b b c c a a c c b b a 2 2 2 2 2 2 ++++ Câu 3 (5điểm) a, (2điểm) 6 82 54 84 132 86 214 = + + xxx 0)3 82 54 ()2 84 132 ()1 86 214 ( = + + xxx 0 82 300 84 300 86 300 = + + xxx (x-300) 0 82 1 84 1 86 1 = ++ x-300=0 x=300 Vậy S = { } 300 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2điểm) 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 (64x 2 -16x+1)(8x 2 -2x)=9 (64x 2 -16x+1)(64x 2 -16x) = 72 Đặt: 64x 2 -16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 k 2 =72,25 k= 8,5 Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x 2 -16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x= 4 1 ; 2 1 = x Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x 2 -16x+9=0 (8x-1) 2 +8=0 vô nghiệm. Vậy S = 4 1 , 2 1 c, (1điểm) x 2 -y 2 +2x-4y-10 = 0 (x 2 +2x+1)-(y 2 +4y+4)-7=0 (x+1) 2 -(y+2) 2 =7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 và x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng duy nhất (x,y)=(3;1) Câu 4 (5điểm) a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBA (cùng đáy và cùng đờng cao) S DAB SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC b, (2điểm) Vì EO//DC AC AO DC EO = Mặt khác AB//DC DCAB AB DC EO AC AO BCAB AB OCAO AO BCAB AB OC AO DC AB + == + + = + = EFABDCEFDCAB DCAB DCAB AB DC EF 2112 .2 =+= + + = c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng thẳng KN là đờng thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN. 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 A B C D O E F K I M N . (5 iểm) a, (2điểm) 6 82 54 84 132 86 214 = + + xxx 0)3 82 54 ()2 84 132 ()1 86 214 ( = + + xxx 0 82 300 84 300 86 300 = + + xxx (x-300) 0 82 . 0 82 1 84 1 86 1 = ++ x-300=0 x=300 Vậy S = { } 300 1,0 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 b, (2điểm) 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9 (64x 2 -16x+1)(8x 2 -2x)=9