PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x x b) x x 14 x 24 3x 14 x 3x 36 3x 19 x 33x a) Tìm giá trị x để biểu thức A xác định b) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Câu (3 điểm): Cho biểu thức A = Câu (5 điểm): Giải phương trình: a) ( x x) 4( x x) 12 x 1 x x x x x b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) x 5x 38x 5x (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) Câu (4 điểm): a) Tìm GTNN: x 5y xy x y 2015 3( x 1) b) Tìm GTLN: x x2 x 1 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB _*HẾT* _ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Mơn thi: TỐN Câu (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x x (1 điểm) = x x 3x = x( x 2) 3( x 2) = ( x 3)( x 2) b) x x 14 x 24 (1 điểm) = x x x x 12 x 24 = x ( x 2) x( x 2) 12 x( x 2) = ( x 2)( x x 12) = ( x 2)( x x 3x 12) = ( x 2)( x 4)( x 3) Câu (3 điểm): Cho biểu thức A = 3x 14 x 3x 36 3x 19 x 33x a) ĐKXĐ: 3x 19 x 33x (1 điểm) x x 3 b) 3x 14 x 3x 36 (1 điểm) 3x 19 x 33x ( x 3) (3x 4) = (3x 1)( x 3) 3x = 3x A = 3x + = 4 x= ( thỏa mãn ĐKXĐ) 4 Vậy với x = A = c) A = 3x 3x 5 = =1+ (1 điểm) 3x 3x 3x Vì x Z A Z Z 3x – Ư(5) 3x 1 mà Ư(5) = {-5;-1;1;5} 3x – x -5 -4/3 (loại) -1 (nhận) 2/3 (loại) (nhận) Vậy x {0;2} A Z http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Câu (5 điểm): Giải phương trình: a) ( x x) 4( x x) 12 (1 điểm) Giải phương trình ta tập nghiệm S = {-2;1} x 1 x x x x x (2 điểm) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 ( x 2009)( )0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 x 2009 ( 0) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x = -2009 Vậy tập nghiệm phương trình S = {-2009} b) c) x 5x 38x 5x (2 điểm) Chia vế cho x , ta được: 6 x x 38 x x 1 6( x ) 5( x ) 38 (*) x x 1 Đặt x = y => x = y x x Thay vào phương trình (*) giải phương trình, ta Tập nghiệm phương trình là: {-2; Câu (4 điểm): a) Tìm GTNN: P= x 5y xy x y 2015 3( x 1) b) Tìm GTLN: Q= x x2 x 1 a) P = x 5y xy x y 2015 (2 điểm) P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 => Giá trị nhỏ P = 2010 x ; y 2 3( x 1) b) Q = (2 điểm) x x2 x 1 3( x 1) = x ( x 1) ( x 1) 3( x 1) = ( x 1)( x 1) = x 1 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1 ;0; } Q đạt GTLN x đạt GTNN Mà x => x đạt GTNN x = => GTLN C x = Câu (6 điểm): Vẽ hình (0,5điểm) A C’ H N x B’ M I A’ C B D a) S HBC S ABC HA'.BC HA' ; (0,5điểm) AA' AA'.BC Tương tự: S HAB HC' SHAC HB' ; S ABC CC' SABC BB' (0,5điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,5điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,5điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm) 2 - BAD vuông A nên: AB +AD = BD AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm) 2 AB + 4CC’ (BC+AC) 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) 2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA) 4 AA'2 BB'2 CC'2 (0,5điểm) (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77