053 đề HSG toán 8 củ chi 2018 2019

TRƯỜNG THCS CỦ CHI ĐỀ THI OYMPIC TOÁN LỚP NĂM HỌC 2018-2019 Câu (6 điểm) a) Giải phương trình: 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c   3 bc a a c b a bc Câu (5 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n để n5  chia hết cho n3  Câu (3 điểm) a) Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1   9 a b c b) Cho a, b dương a2000  b2000  a2001  b2001  a 2002  b2002 Tính a 2011  b2011 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh rằng: a)OAOB  OC.OH b) OHA có số đo khơng đổi c) Tổng BM BH  CM CA không đổi ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x  4; x  5; x  6; x  7 Phương trình trở thành: 1    x   x  5  x  5 x    x   x    18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1    x  x  18  18( x  7)  18  x     x   x     x  13   x  13 x      x  b) Đặt b  c  a  x  0; Từ suy a  c  a  b  y  0; abc  z 0 yz xz x y ;b  ;c  2 Thay vào ta được: A y  z x  z x  y  y x   x z   y z                  2x 2y 2z  x y   z x   z y   Từ suy A      hay A   a  b  c Câu a) Gọi số phải tìm a b , ta có a  b chia hết cho Ta có: a3  b3   a  b   a  ab  b2    a  b   a  b   3ab    Vì a  b chia hết  a  b   3ab chia hết cho 2 Do vậy,  a  b   a  b   3ab  chia hết cho   b) n5   n3  1   n5  n  n  1  n3  1  n  n3  1   n  1  n3  1   n  1 n  1  n  1  n  n  1  n  n2  n   n  n  1 n  n  Hay n2  n n2  n    n  n  1   n  n  1  n2  n  Xét hai trường hợp: n  )n  n    n  n    n  )n2  n   1  n2  n   0, khơng có giá trị n thỏa mãn Câu b c 1    a a a  a c 1 a.Từ a  b  c       c b b a b 1 c 1 c  c   1 a b a c  b c    3          3 2 2  a b c b a c a c b Dấu “=” xảy  a  b  c  b)  a 2001  b2001   a  b    a 2000  b2000  ab  a 2002  b2002   a  b   ab  a    a  1 b  1    b  b  1(tm) Với a   b2000  b 2001   b  0(ktm)  a  1(tm) Với b   a 2000  a 2001    a  0(ktm) Vậy a  1; b   a 2011  b2011  Câu O H A M K B a) BOH b) COA  g.g   OB OH   OA.OB  OH OC OC OA OB OH OA OH    O chung  OHA OBC OC OA OC OB C  OHA  OBC (không đổi) c) Vẽ MK  BC; BKM  CKM BHC ( g.g ) BM BK   BM BH  BK BC BC BH CAB  g.g   (3) CM CK   CM CA  BC.CK (4) CB CA Cộng vế (3) (4) ta có: BM BH  CM CA  BK BC  BC.CK  BC. BK  KC   BC (Không đổi)