099 đề HSG toán 8 cảnh hóa 2018 2019

PHỊNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Năm học 2018-2019 Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức :  x2 y  x2 y2  x y    với x  0, y  0, x   y  x  x  xy xy xy  y  x  xy  y a Rút gọn biểu thức P b Tính giá trị biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x  y  10  2( x  y) P Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2x  2x  6x  9x    1 a.) 2x  2x  (2 x  1)(2 x  7) b x  11 x  22 x  33 x  44    115 104 93 82 Câu (3,5 điểm)Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM  900 (I M không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm AM CD, K giao điểm OM BN a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Chứng minh BKM  BCO c) Chứng minh 1 = + 2 CD AM AN Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c > 0; a + b + c = a b c Chứng minh rằng:    2 1 b 1 c 1 a Bài (1,0 điểm) Cho sè tù nhiªn n  Chøng minh r»ng nÕu 2n  10a  b (a, b  N ,  b  10) th× tÝch ab chia hÕt cho Họ tên thí sinh: ……………………… Số báo danh PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA Bài Bài (2,0đ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 Mơn:Tốn Lớp: Nội dung Điểm Với x  0, y  0, x   y ta có: P= a (1.0) =  x y  ( x  y )( x  y)  xy  x y    x  xy ( x  y)  x  xy  y x y xy ( x  y )  ( x  y ).( x  y ) xy ( x  y ) x x  xy  y 0.25 x y ( x  y )( x  xy  y ) + xy ( x  y ) x x  xy  y x y x y = + = xy xy x = b (1.0) 0.25 0.25 0.25 Ta có: x2  y  10  2( x  y)  x2  x   y  y   0.25   x  1   y  3  2 Lập luận suy x  1; y  3 Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện: x  0, y  0, x   y nên thay x = 1; y =- vào biểu thức P = x y xy  (3)  1.(3) 1 7 Bài2 ĐK: x  ; x  2 (2,0đ )  x  3 (2 x  7)  x   x  1  x   x  1 6x2  9x      x  1 (2 x  7)  x   x  1  x   x  1  x   x  1 a ta có: P= (1.0)  x  20 x  21  x  12 x  x  16 x   x  x    x   x  1  x   x  1  x  16 2 x  x  16   x   x  1  x   x  1 x   x  16  2 x  x  16  x  x   x(2 x  1)     x   (Lo¹i)  2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x = ( b (1.0)  x  11 x  22 x  33 x  44  1)  (  1)  (  1)  (  1) 115 104 93 82 0.25 x  126 x  126 x  126 x  126    115 104 93 82 0.25 x  126 x  126 x  126 x  126    0 115 104 93 82  0.25 0.25   x  126   x  126 A I B O M K Câu (3.5) 0.5 E a (1.0) D N C Xét BIO CMO có: IBO  MCO ( 450 ) ( tính chất đường chéo hình vng) BO = CO ( tính chất đường chéo hình vng) BOI  COM ( phụ với BOM )  BIO = CMO (g.c.g)  SBIO  SCMO mà SBMOI  SBOI  SBMO 4 Do S BMOI  SCMO  S BMO  S BOC  S ABCD  a Ta có BIO = CMO (cmt)  CM = BI ( cặp cạnh tương ứng)  BM = AI b (1.0) BM AM IA AM Vì CN // AB nên Từ suy IM // BN    CM MN IB MN Ta có OI = OM ( BIO = CMO )  IOM cân O  IMO  MIO  450 Vì IM // BN  BKM  IMO  450  BKM  BCO Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE  ABM ( g.c.g )  AE  AM 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 Ta có ANE vng A có AD  NE nên c (1.0) AD.NE AN AE   AD.NE  AN AE  ( AD.NE)2  ( AN AE)2 2 Áp dụng định lí Pitago vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AN  AE 1 1  AD2 ( AN  AE )  AN AE      2 2 AN AE AD AE AN AD2 1 Mà AE  AM CD = AD    2 CD AM AN S AEN  0.25 0.25 0.25 Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên 0.25 a ab2 ab ab  a   a  a 2 1 b 1 b 2b b bc c ca b ; c 2 1 c 1 a a b c ab  bc  ca mà a + b + c = nên (1)    3 2 1 b 1 c 1 a Cũng từ a + b + c =  (a + b + c)2 =  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca)   ab + bc + ca  (2) a b c 3 Từ (1) (2) suy      đpcm 2 1 b 1 c 1 a 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Tương tự ta có : Câu (1.5) Ta có 2n  10a  b  b  ab (1) Ta chứng minh ab (2) Thật vậy, từ đẳng thức  10a  b  có chữ số tận b Đặt n  4k  r (k, r N,  r  3) ta có: 2n  16k2r Nếu r  2n  16k tận  b   ab Nếu  r  2n  2r  2r(16k  1) 10  2n tận 2r suy b  2r  10a  2n  2r  2r(16k  1)  a  ab n Bài (1.0) n Từ (1) (2) suy ab  - HẾT - 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ...PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA Bài Bài (2,0đ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 Mơn:Tốn Lớp: Nội dung Điểm Với x  0, y  0, x   y ta có: P= a (1.0) =