UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Câu (2,0 điểm) Cho ba số a,b,c khác đôi khác 0, đồng thời thỏa mãn điều kiện � a� � � b� � c� a +b b + c c +a � � � � A =� 1+ � 1+ � 1+ � � � � = = � � � � � � � � � b c a � � � � � � c a b Tính giá trị biểu thức Câu (4,0 điểm) + =2 x + (x + 1)2 x 1) Giải phương trình thức P (x) = x - 5x + 4x + 1,Q(x) = 2x + x - Gọi P ( x) Q ( x1) Q ( x2 ) Q ( x3 ) Q ( x4 ) Q ( x5 ) x1, x2, x3, x4, x5 nghiệm Tính giá trị Câu (4,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương n cho n + ước số n + 206 2) Cho hai đa a2 + b2 a = 2 a , b , c c Chứng minh b + c a � c 2) Cho số nguyên khác , cho 2 a + b + c số nguyên tố Câu (7,0 điểm) 1) Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vuông AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH E Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM = ND b) Tứ giác EMFN hình gì? c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC � o � o 2) Cho tam giác ABC có BAC = 90 , ABC = 20 Các điểm E F � � � o o nằm cạnh AC , AB cho ABE = 10 ACF = 30 Tính CFE Câu (3,0 điểm) 1) Cho số thực a,b,c �1 Chứng minh 1 4 + + +3� + + 2a - 2b - 2c - a +b b + c c + a 2) Cho hình vng ABCD đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có đường thẳng số qua điểm HẾT Họ tên thí sinh : Số báo danh UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: Tốn - Lớp Đáp án Câu 1.1 (2,0 điểm) Nếu a + b + c = a + b = - c,b + c = - a,c + a = - b a +b b +c c +a a +b b +c c +a = = = - 1� A = � � =- a b c a b Do đó, c a +b b +c c + a a +b +b +c +c + a = = = =2 a b c +a +b Nếu a + b + c � c a + b = c , b + c = a , c + a = b � a = b = c Do đó, , trái giả thiết Vậy A = - 2.1 (2,0 điểm) Điều kiện: x �0, x �- Điểm 1,0 1,0 0,25 3 + = � 1- + 1+ =0 2 x + (x + 1) x + (x + 1)2 x x � x2 - (x + 1)2 - 3(x + 1) + + =0 x2 (x + 1)2 � (x + 1)(x - 1) x2 + 2x + 1- 3x - + + =0 x2 (x + 1)2 � (x + 1)(x - 1) x(x - 1) x +1 x � � � + = � ( x ) + =0 2 2� � x (x + 1) x ( x + ) � � � x =1 � 3� � � � (x - 1) (x + 1) + x = � - � � � x = � � (thỏa mãn) � - 1� S =� 1; � � � � 2� � � Vậy tập nghiệm phương trình 2.2 (2,0 điểm) P (x) = x5 - 5x3 + 4x + = ( x - x1) ( x - x2 ) ( x - x3 ) ( x - x4 ) ( x - x5 ) Ta có � � � � Q(x) = 2� x (- 1- x) � � � � � � � Q ( x1) Q ( x2 ) Q ( x3 ) Q ( x4 ) Q ( x5 ) Do � � � � � � � � � � � � 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � = 25 � x x x x x � � � � � � 1� 2� 3� 4� 5� � � � � � � � � � � � � 2 2 � � � � � � � � � � � � �� ( - 1- x1) ( - 1- x2) ( - 1- x3) ( - 1- x4) ( - 1- x5) � � � 0,75 0,5 0,5 0,75 0,75 �� �1 � 1� � � � � = 32.P � � P ( ) = 32 + + (- 1+ - + 1) = 77 � � � � � � � 2� 32 �� � � 0,5 3.1 (2,0 điểm) n6 + 206 n6 + + 198 � ��� �� n +2 n2 + n2 + ước số n6 + 206 198 � n4 + 2n2 + + �� n +2 0,75 2 Điều xảy n + ước nguyên dương 198 = 2.3 11 gồm: 2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198 Từ ta tìm Chú ý : n �{1;2;3;4;8;14} 0,75 0,5 + Nếu bước thiếu giá trị n + trừ 0,5 điểm + Nếu bước thiếu giá trị n trừ 0,25 điểm 3.2 (2,0 điểm) a2 + b2 a = � (a - c) b2 - ac = � b2 = ac 2 c Ta có b + c ( ) 2 2 2 2 Mà a + b + c = a + ac + c = a + 2ac + c - b 0,75 = (a + c)2 - b2 = (a + c + b)(a + c - b) 2 2 2 Ta thấy a + b + c > a + b + c số nguyên tố xảy trường hợp sau 1) a + c - b = 1,a + c + b = a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = 2a + 2c - � (a - 1)2 + (c - 1)2 + b2 = � a = c = 1,b = �1(Loại) 0,5 2)a + c + b = 1,a + c - b = a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = 2a + 2c - � (a - 1)2 + (c - 1)2 + b2 = � a = c = 1,b = �1 (Loại) 3)a + c + b = - 1,a + c - b = - a + b + c � a + b2 + c2 = - 2a - 2c - ( 2 ) � (a + 1)2 + (c + 1)2 + b2 = � a = c = - 1,b = �1(Loại) ( ) 4)a + c - b = - 1,a + c + b = - a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = - 2a - 2c - � (a + 1)2 + (c + 1)2 + b2 = � a = c = - 1,b = �1(Loại) 2 Vậy a + b + c số nguyên tố 4.1.a) (2,0 điểm) 0,75 1,0 � + MAD � �A = 90�( 1) a) Do ABCD hình vng nên � � � A2 + MAD = 90�( 2) Mà AMHN hình vng ( 1) ,( 2) suy A�1 = A�2 Từ ) Do đó, D AND = D AMB (cgc �=D � = 90� �B BM = ND 1,0 4.1.b) (1,5 điểm) � = 90� �D Do ABCD hình vng � =D � +D � = 90� � NDC +90� = 180� � N , D,C thẳng hàng AH , MN Gọi O giao điểm hai đường chéo hình vng AMHN � O tâm đối xứng hình vng AMHN 1,0 � AH đường trung trực đoạn MN , mà E , F �AH � EN = EM FM = FN ( 3) ( ) � =M � �O � =O � D EOM = D FON OM = ON ;N � EM = NF (4) ( 3) ,( 4) � EM = NE = NF = FM � MENF hình thoi ( 5) Từ 4.1.c) (2,0 điểm) ( 5) suy FM = FN = FD + DN Từ Mà DN = MB � MF = DF + BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng a Ta có P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF (vì MF = DF + MB ) = (MC + MB ) + (CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a Do đó, chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi BC 4.2 (1,5 điểm) 0,5 1,0 1,0 0,5 � � o � o o Xét D ABC có BAC = 90 , ABC = 20 � ACB = 70 � = 90o ACF � D ACF có CAF = 30o � FC = 2.AF , Gọi D trung điểm BC G điểm AB cho GD ^ BC BD BA � = BG BC Khi đó, D ABC ∽ D DBG � = GBC � = 20o � GCF � = 20o GCB � � Do CG BE tia phân giác BCF ABC nên FC BC BA AE = ; = FG BG BC EC 1 FC BC AF BD BA AE AF AE =2 =2 = = = � = FG BG BG BC EC FG EC Do đó, FG � � o Từ suy CG / / EF (ĐL Talet đảo) � CFE = GCF = 20 5.1 (2,0 điểm) 1 � 2 ( a �-�1 ) a a 2a - a Ta có 1 VT � + + + a b c Nên 1 8 1 + 2� � ; + 2� � + +2� 2 ab (a + b) (a + b) a +b a +b b a b Ta lại có a 1 1 + + 2� ; + +2� b+c c c +a c a Tương tự b 1 4 + + + � + + a +b b + c c +a b2 c2 Suy a 1 4 + + + 3� + + a +b b + c c + a Do vậy, 2a - 2b - 2c - Dấu xảy a = b = c = 5.2 (1,0 điểm) 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 Các đường thẳng cho cắt cạnh kề hình vng, chúng chia hình vng thành tam giác ngũ giác (chứ khơng phải chia hình vng thành hai tứ giác) Do đó, đường thẳng (trong số chín đường thẳng) cắt hai cạnh đối hình vng khơng qua đỉnh hình vng Giả sử đường thẳng cắt hai cạnh đối BC AD điểm M N 0,5 AB (BM + AN ) SABMN 2 EJ 2 = � = � = SMCDN 3 JF CD.(MC + ND ) Ta có (ở E F trung điểm AB CD tương ứng) J ,J , J , J Gọi E , F , P ,Q tương ứng trung điểm AB ,CD, BC , AD Gọi J ,J J ,J điểm cho nằm EF , nằm PQ thỏa mãn: EJ FJ PJ QJ = = = = J 1F J 2F J 3Q J 4P 0,5 Khi từ lập luận ta suy đường thẳng có tính chất thỏa mãn u cầu đề J ,J , J , J phải qua điểm nói Vì có đường thẳng, nên theo J ,J , J , J nguyên lí Dirichlet phải tồn điểm cho có ba đường thẳng cho qua Vậy có đường thẳng đường thẳng cho qua điểm Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi khơng làm tròn -Ht - Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp năm học 2008 – 2009 Họ tªn : Lớp : Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( 2,0 điểm) Giải phơng trình : x(x+2)(x2+2x+5) = Câu : ( 4,0 điểm) a) Tính giá trị cđa biĨu thøc : A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 víi x = 30 b) Cho a - b = tính giá trị biểu thức B = a – 12ab - b3 C©u : ( 2,0 ®iĨm) 2a a 12a 45 Rót gän ph©n thøc : 3a 19a 33a C©u : ( 3,5 điểm) Một ngời quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , phần lại với vận tốc 30km/h Tính vận tốc trung bình ngời toàn quãng đờng AB Câu : ( 2,0 điểm) Chøng minh r»ng : a b2 � a) S với S diện tích tam giác có độ dài hai cạnh a , b Câu :( 6,5 điểm) Cho tam giác IKP cân A cã KP = cm , M lµ trung ®iĨm cđa KP lÊy D, ˆ Kˆ DME E thứ tự thuộc cạnh IK , IP cho a) Chøng minh r»ng tÝch KD PE kh«ng đổi b) Chứng minh DM tia phân gi¸c cđa gãc KDE c) TÝnh chu vi IED IKP tam giác - ( Giám thị không giải thích thêm ) hớng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008-2009 Câu (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điể m a) Ta cã A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) ( x – 18 ) + Do ®ã víi x = 18 giá trị biểu thức A = b) Víi x+y = ta cã : B = ( x + y )+ 3xy = ( x +y ) ( x - xy +y ) + 3xy = x2 +2xy +y2 = ( x+y )2 = 3 1,00 1,00 1,00 1,00 Câu (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải (2 x x ) (12 x 30 x) (18 x 45) x3 x 12 x 45 2 a) ta cã 3x 19 x 33x = (3 x x ) (18 x x) (27 x 9) = x (2 x 5) x(2 x 5) 9(2 x 5) (2 x 5)( x x 9) 2 = x (3 x 1) x(3 x 1) 9(3 x 1) = (3 x 1)( x x 9) = (2 x 5)( x 3) (3x 1)( x 3)2 2x = 3x b) Giải phơng trình : (x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1) Đặt t = x -x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt : t ( t+1 ) = 12 � t2 + t – 12 = � ( t2 - 3t ) + (4t – 12) = � t( t - 3) + 4(t – 3) = � (t - 3) (t+ 4) = � t = t = - - Víi t = => x -x+1 = � x2-x-2 = � x2-2x + x -2 = � x(x-2) + (x -2 ) = � (x-2) (x +1 ) = � x = x = - 1 19 - Víi t = - => x -x+1 = - � x -x + = � ( x- ) + = 19 phơng trình vô nghiệm ( x- ) + > víi mäi x §iÓ m 1,00 0,50 0.50 0.5 0.7 0.2 Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm : x = , x = -1 0.2 0.2 Câu : ( 4,5 điểm ) Gọi vận tốc mà ô tô dự định từ A ®Õn B lµ : x ( ®iỊu kiƯn : x(km/h ) , x > ) Ta cã : VËn tốc ô tô đầu quãng đờng : x+10 ( km/h ) Vận tốc ô tô sau quãng đờng : x (km/h ) 30 Thời gian ô tô đầu quãng đờng : x 10 (h) 30 Thời gian ô tô sau quãng đờng : x (h) 60 Thời gian ô tô quãng đờng từ A đến B : x (h) 30 30 60 Ta có phơng trình : x 10 + x = x � x( x 6) x( x 10) 2( x 10)( x 6) x( x 10)( x 6) + x( x 10)( x 6) = x( x 10)( x 6) => x2 – 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x – 120 � x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120 � 4x = 120 � x = 30 0.50 1.00 0.75 0.75 0.50 0.50 0.50 ( km/h ) 60 Vậy thời gian ô tô dự định quãng ®êng AB lµ : 30 = ( giê ) Câu (3,5 điểm) Tóm tắt lời giải Điể m 0.5 HS vẽ hình ghi GT,KL A D H I B E K M C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Bˆ Ta cã DMC DME CME , mặt khác DMC B BDM , mà DME BDM nên CME Do BDM CME đồng dạng ( gg ) a) BD BM => CM CE => BD CE = CM BM = a a = a2 0.50 0.50 VËy tÝch BD CE không đổi DM BD b) BDM CME đồng dạng suy : ME CM DM BD ME BM 0.50 => 0.50 ( v× CM = BM ) ˆ BDM hay DM tia Do DME DBM đồng dạng => MDE phân giác góc BDE c) Từ câu b suy DM tia phân giác góc BDE , EM tia phân giác góc CED Kẻ MH DE , MI AB , MK AC Ta cã DH = DI , EH = EK , ®ã chu vi AED b»ng AI + AK = 2AK 0.50 0.50 MC a , AC = 2a Ta lại có CK = nên AK = 1,5a VËy chu vi tam gi¸c ADE b»ng 3a Câu : HS vẽ hình ghi GT,KL ®óng B A a 0.50 h d b D c C a) Gọi h chiều cao tơng øng víi c¹nh a , ta cã S = ah => 4S = 2ah � 2ab � a2 + b2 VËy a2 b2 � S DÊu b»ng x¶y h = b , a = b ABC vuông cân b) Theo c©u a ta cã : SABC a b2 � ; SADC c2 d � a2 b2 c2 d a b2 c2 d � � 4 Mµ S = SABC + SADC => S => S DÊu b»ng x¶y ABC vuông cân B , ACD vuông cân D ABCD hình vuông 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 Lu ý : NÕu thÝ sinh làm theo cách khác đầy đủ xác ®ỵc ®iĨm tèi ®a ... 1 98 � ��� �� n +2 n2 + n2 + ước số n6 + 206 1 98 � n4 + 2n2 + + �� n +2 0,75 2 Điều xảy n + ước nguyên dương 1 98 = 2.3 11 gồm: 2;3;6;9;11; 18; 22;33;66;99;1 98 Từ ta tìm Chú ý : n �{1;2;3;4 ;8; 14}... tên thí sinh : Số báo danh UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20 18 - 2019 Mơn: Tốn - Lớp Đáp án Câu 1.1 (2,0 điểm) Nếu... 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x- 18) – x2( x- 18) + x(x- 18) ( x – 18 ) + Do ®ã víi x = 18 giá trị biểu thức A = b) Víi x+y = ta cã : B = ( x + y )+ 3xy = (