PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ (ĐỀ CHÍNH THỨC) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (4,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b, x4 2016x2 2015x 2016 a, x( x 2)( x2 x 2) Câu (3,5 điểm): a, Cho a +b +c a3 + b3 + c3 = 3abc Tính N = a 2016 b 2016 c 2016 a b c 2016 b, Tìm số tự nhiên n để n2 4n 2013 số phương Câu (4,5 điểm): Giải phương trình sau: a, x2 (2 x 3)( x 5) 23 b, 1 1 + + = x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 Câu (6,0 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 AB CD MN c, Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tích); SCOD= 20162 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Câu (2,0 im) Cho a, b, c số d-ơng Chứng minh bất đẳng thức: c2 a2 b2 abc + + ab bc ca -Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn : Tốn lớp (Hướng dẫn chấm gồm trang) Tóm tắt đáp án Câu Điểm 0,5 a) x( x 2)( x x 2) ( x x)( x x 2) 2 ( x2 x)2 2( x x) = ( x x 1) Câu (4,0đ) 0,5 0,5 ( x 1)4 b) x 2016x 2015x 2016 = x x 2016( x x 1) = x( x3 1) 2016( x2 x 1) = x( x 1)( x2 x 1) 2016( x2 x 1) = ( x2 x 1) x( x 1) 2016 = ( x2 x 1)( x2 x 2016 a) a3 + b3 + c3 = 3abc 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a b3 c3 3abc a b3 3ab(a b) c 3ab(a b) 3abc a b c3 3ab(a b c) (a b c)(a 2ab b ac bc c ) 3ab(a b c) 0,5 (a b c)(a b c ab ac bc) Câu (3,5đ) 2 a + b + c – ab – ac – bc = ( a +b +c 0) 2 2a + 2b + 2c – 2ab – 2ac –2bc = 2 (a – b) + (b – c) + (c – a) = Vì (a – b)2 a, b; (b – c)2 b,c; (c – a)2 a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 a = b = c Mà a +b +c a = b = c (*) Thay (*) vào N ta có: N 0,5 0,5 a 2016 a 2016 a 2016 3a 2016 a a a 3a b) Giả sử n2 4n 2013 m2 , m 2 Suy n 2 2009 m2 m2 n 2 2009 m n 2 m n 2009 2016 2016 3a 2016 2015 2016 (3a) Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau xảy ra: 0,5 0,5 0,5 m n 2009 m 1005 m n n 1002 TH1: m n 287 m 147 m n n 138 0,5 TH2: m n 49 m 45 m n 41 n TH3: Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu (4,5đ) a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0 x-5=0 x+8 =0 x=-5 hoc x=-8 b)Ph-ơng trình đ-ợc biến đổi thành: (Với §KX§: x 4; 5; 6; 7 ) 1 1 = 18 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 1 1 1 ( )+( )+( )= x4 x5 x5 x6 x6 x7 18 1 = (x + 4)(x +7) = 54 x4 x7 18 (x + 13)(x – 2) = x = -13 hc x = (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm ph-ơng trình là: S = 13; 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B A O N M C D Câu a)( 2,0 điểm) OM OD ON OC (6đ) Lập luận để có , AB BD OD OC Lập luận để có DB AC OM ON OM = ON AB AB 0,5 AB 0,75 AC 0,75 0,5 b)( 2,0 điểm) OM DM OM AM (1), xét ADC để có (2) AB AD DC AD 1 AM DM AD Từ (1) (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD Xét ABD để có 0,75 1 ) 1 AB CD 1 1 từ có (OM + ON) ( )2 AB CD AB CD MN Chứng minh tương tự ON ( 0,75 0,5 c)( 2,0 điểm) Từ ΔCBH ΔEAH ( cmt) 2 S SΔCBH BC 2 BC ΔCBH = = (gt) , mà = nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE BC = 2AE E trung điểm AB, F trung điểm AD Chứng minh S AOD S BOC S AOB S DOC (S AOD ) Thay số để có 20152.20162 = (SAOD)2 SAOD = 2015.2016 Do SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 (n v DT) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 0,5 0,5 0,5 a2 bc , không âm ta cã : bc a2 b c bc a a2 + =2 =a bc bc a2 bc abc Suy 0,5 0,5 0,5 b ac bca Câu T-¬ng tù (2đ) c2 ab cab Céng vế theo vế ba bất đẳng thức ta đ-ợc : c2 a2 b2 abc abc + + = (a+b+c)ab 2 bc ca VËy c2 a2 b2 abc + + (®pcm) ab bc ca Lưu ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ ; 14,5đ; 16,75đ) 0,5 0,5