088 đề HSG toán 8 yên mỗ 2015 2016

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ (ĐỀ CHÍNH THỨC) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (4,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b, x4  2016x2  2015x  2016 a, x( x  2)( x2  x  2)  Câu (3,5 điểm): a, Cho a +b +c  a3 + b3 + c3 = 3abc Tính N = a 2016  b 2016  c 2016 a  b  c 2016 b, Tìm số tự nhiên n để n2  4n  2013 số phương Câu (4,5 điểm): Giải phương trình sau: a, x2   (2 x  3)( x  5)  23 b, 1 1 + + = x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 Câu (6,0 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1   AB CD MN c, Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tích); SCOD= 20162 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Câu (2,0 im) Cho a, b, c số d-ơng Chứng minh bất đẳng thức: c2 a2 b2 abc + +  ab bc ca -Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn : Tốn lớp (Hướng dẫn chấm gồm trang) Tóm tắt đáp án Câu Điểm 0,5 a) x( x  2)( x  x  2)   ( x  x)( x  x  2)  2  ( x2  x)2  2( x  x)  = ( x  x  1) Câu (4,0đ) 0,5 0,5  ( x  1)4 b) x  2016x  2015x  2016 = x  x  2016( x  x  1) = x( x3 1)  2016( x2  x  1) = x( x 1)( x2  x  1)  2016( x2  x  1) = ( x2  x  1)  x( x 1)  2016 = ( x2  x  1)( x2  x  2016 a) a3 + b3 + c3 = 3abc 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5  a  b3  c3  3abc   a  b3  3ab(a  b)  c  3ab(a  b)  3abc    a  b   c3  3ab(a  b  c)   (a  b  c)(a  2ab  b  ac  bc  c )  3ab(a  b  c)  0,5  (a  b  c)(a  b  c  ab  ac  bc)  Câu (3,5đ) 2  a + b + c – ab – ac – bc = ( a +b +c  0) 2  2a + 2b + 2c – 2ab – 2ac –2bc = 2  (a – b) + (b – c) + (c – a) = Vì (a – b)2   a, b; (b – c)2   b,c; (c – a)2   a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2   a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 =  a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 a = b = c Mà a +b +c   a = b = c  (*) Thay (*) vào N ta có: N  0,5 0,5 a 2016  a 2016  a 2016  3a 2016  a  a  a  3a  b) Giả sử n2  4n  2013  m2 ,  m   2 Suy  n  2  2009  m2  m2   n  2  2009   m  n  2 m  n    2009 2016 2016 3a 2016  2015 2016 (3a) Mặt khác 2009  2009.1  287.7  49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau xảy ra: 0,5 0,5 0,5 m  n   2009 m  1005  m  n   n  1002 TH1:  m  n   287 m  147  m  n   n  138 0,5 TH2:  m  n   49 m  45  m  n   41 n  TH3:  Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu (4,5đ) a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0  x-5=0 x+8 =0  x=-5 hoc x=-8 b)Ph-ơng trình đ-ợc biến đổi thành: (Với §KX§: x  4; 5; 6; 7 ) 1 1 =   18 ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 1 1 1 ( )+( )+( )=    x4 x5 x5 x6 x6 x7 18 1 =   (x + 4)(x +7) = 54  x4 x7 18  (x + 13)(x – 2) =  x = -13 hc x = (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm ph-ơng trình là: S = 13; 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B A O N M C D Câu a)( 2,0 điểm) OM OD ON OC (6đ) Lập luận để có ,   AB BD OD OC Lập luận để có  DB AC OM ON   OM = ON  AB AB 0,5 AB 0,75 AC 0,75 0,5 b)( 2,0 điểm) OM DM OM AM (1), xét ADC để có (2)   AB AD DC AD 1 AM  DM AD Từ (1) (2)  OM.( )   1 AB CD AD AD Xét ABD để có 0,75 1  ) 1 AB CD 1 1 từ có (OM + ON) (  )2    AB CD AB CD MN Chứng minh tương tự ON ( 0,75 0,5 c)( 2,0 điểm) Từ ΔCBH ΔEAH ( cmt) 2 S SΔCBH  BC  2  BC   ΔCBH =  = (gt)    , mà  = nên BC = (2AE) SΔEAH  AE  SΔEAH  AE   BC = 2AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD Chứng minh S AOD  S BOC  S AOB S DOC  (S AOD ) Thay số để có 20152.20162 = (SAOD)2  SAOD = 2015.2016 Do SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 (n v DT) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 0,5 0,5 0,5 a2 bc , không âm ta cã : bc a2 b  c bc a a2 + =2 =a  bc bc a2 bc  abc Suy 0,5 0,5 0,5 b ac  bca Câu T-¬ng tù (2đ) c2 ab  cab Céng vế theo vế ba bất đẳng thức ta đ-ợc : c2 a2 b2 abc abc + + =  (a+b+c)ab 2 bc ca VËy c2 a2 b2 abc + + (®pcm)  ab bc ca Lưu ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ ; 14,5đ; 16,75đ) 0,5 0,5