PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) x 2x b) 1 5x x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P x x : x 1 với x 0;1;2 x 1 x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P x Câu (3,0 điểm) a) Cho hai số thực x y thỏa mãn x y xy Tính giá trị biểu thức A x 1 y x y2 1 b) Cho a, b, c ba số thực khác thỏa mãn abc a b c 1 Tính giá a b c 1 a b2 c2 Câu (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD c) Tứ giác BEDF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh trị biểu thức B 1 1 a b c 3 a b c b) Tìm nghiệm nguyên x; y phương trình x y y 1 y y 3 Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Đáp án Câu a) (2,0 điểm) Nếu x hay x x x Nếu x hay x x x * TH1: Với x , PT cho trở thành x 2x x (t/m) Câu 10 * TH2: Với x , PT cho trở thành x 2x x (loại) (4,0 điểm) Vậy PT cho có nghiệm x b) (2,0 điểm) Vì x với x nên BPT cho tương đương với 5x 1 5x 5x x Vậy nghiệm BPT ban đầu x 5 a) (2,0 điểm) x 4x x 2x Px x : : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu P x x 4x x x 2 x 2x x x 2 x (4,0 b) (2,0 điểm) điểm) Với điều kiện x 0;1;2 ta có x2 2 Px 1 1 1 1 x x x x Vậy với x P x a) (1,5 điểm) A x 1 y x y 1 x y 2x y xy x 2y Điểm 0,25 0,75 0,75 0,25 1,0 1,0 1,0 A xy x y x y x y A xy x y x y 2xy x y Câu Thay số, ta A 40 (3,0 b) (1,5 điểm) điểm) 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c ab bc ca 1 1 1 a bc B 2 2.1 a b c abc ab bc ca Vậy B = 1,0 1,0 0,5 1,0 1,0 K D C E F A B H a) (2,0 điểm) Ta có BE DF vng góc với AC Do BE // DF (1) Xét hai tam giác vuông AFD CEB có AD = BC DAF BCE nên Suy BE = DF (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BEDF hình bình hành b) (2,0 điểm) Câu Ta có CBH CBA 180o ; CDK CDA 180o mà CBA CDA nên suy CBH CDK (6,0 Xét hai tam giác vng CHB CKD có CBH CDK nên đồng dạng với điểm) CH CB Do ta có CH.CD CB.CK CK CD c) (2,0 điểm) Xét hai tam giác vng ACH ABE có góc A chung nên đồng dạng với AB AE Suy AB.AH AC.AE AC AH Xét hai tam giác vuông AKC AFD có góc A chung nên đồng dạng với AD AF Suy AD.AK AC.AF AC AK Vậy AB.AH AD.AK AC AE AF Mặt khác theo cmt AF = EC Do ta có AB.AH AD.AK AC AE EC AC.AC AC2 (đpcm) 1 1 bc ac ab a b c 3 a b c 3 abc a b c bc ac ab a b c 3 a b c 3bc ac ab abc a b c bc ac ab 2 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 2 2 Câu 2a b c 2bc ac ab 2 a b b c c a (3,0 x y y 1 y y 3 x y y 3 y 1 y điểm) x y2 3y y 3y Đặt t y2 3y ta x t 1 t 1 x t x t 1 x t x t 1 Vì x, y số nguyên nên x t x t số nguyên Do ta có hai trường hợp sau: 0.5 0,25 0,5 * TH1: x t x t 1 Suy x t 1 Với t 1 y2 3y 1 y2 3y y 1 y y 1 y 2 * TH2: x t 1 x t Suy x t Với t y2 3y y2 3y y y 3 y y 3 Vậy PT cho có nghiệm nguyên x; y 0; 3 , 0; 2 , 0; 1 , 0;0 0,25 0,25 0,5 Hết