092 đề HSG toán 8 yên mỗ 2013 2014

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) x    2x b) 1  5x   x        Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức P  x    x    :  x 1   với x 0;1;2 x 1  x 1  a) Rút gọn P b) Tìm x để P  x   Câu (3,0 điểm) a) Cho hai số thực x y thỏa mãn x  y  xy  Tính giá trị biểu thức A   x  1  y     x    y2  1 b) Cho a, b, c ba số thực khác thỏa mãn abc  a  b  c 1    Tính giá a b c 1   a b2 c2 Câu (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD c) Tứ giác BEDF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (3,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh trị biểu thức B   1 1 a  b  c  3    a b c b) Tìm nghiệm nguyên  x; y  phương trình x  y  y  1 y   y  3 Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Đáp án Câu a) (2,0 điểm) Nếu x   hay x  x   x  Nếu x   hay x  x    x * TH1: Với x  , PT cho trở thành x    2x  x  (t/m) Câu 10 * TH2: Với x  , PT cho trở thành  x   2x  x  (loại) (4,0 điểm) Vậy PT cho có nghiệm x  b) (2,0 điểm) Vì x   với x nên BPT cho tương đương với  5x  1  5x   5x   x  Vậy nghiệm BPT ban đầu x  5 a) (2,0 điểm)    x  4x  x  2x  Px   x   :  :  x 1   x 1  x 1 x 1 x 1  Câu P  x   x  4x    x    x  2 x  2x x  x  2 x (4,0 b) (2,0 điểm) điểm) Với điều kiện x  0;1;2 ta có   x2 2 Px 1  1 1 1    x  x x x Vậy với x  P  x   a) (1,5 điểm) A   x  1  y     x    y  1  x y  2x  y   xy  x  2y  Điểm 0,25 0,75 0,75 0,25 1,0 1,0 1,0 A  xy  x  y    x  y    x  y   A  xy  x  y    x  y   2xy    x  y   Câu Thay số, ta A  40 (3,0 b) (1,5 điểm) điểm) 1 1 1 1  1 1 1              2     a b c a b c a b c  ab bc ca  1 1 1 a bc   B      2        2.1  a b c abc  ab bc ca  Vậy B = 1,0 1,0 0,5 1,0 1,0 K D C E F A B H a) (2,0 điểm) Ta có BE DF vng góc với AC Do BE // DF (1) Xét hai tam giác vuông AFD CEB có AD = BC DAF  BCE nên Suy BE = DF (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BEDF hình bình hành b) (2,0 điểm) Câu Ta có CBH  CBA  180o ; CDK  CDA  180o mà CBA  CDA nên suy CBH  CDK (6,0 Xét hai tam giác vng CHB CKD có CBH  CDK nên đồng dạng với điểm) CH CB Do ta có   CH.CD  CB.CK CK CD c) (2,0 điểm) Xét hai tam giác vng ACH ABE có góc A chung nên đồng dạng với AB AE Suy   AB.AH  AC.AE AC AH Xét hai tam giác vuông AKC AFD có góc A chung nên đồng dạng với AD AF Suy   AD.AK  AC.AF AC AK Vậy AB.AH  AD.AK  AC  AE  AF Mặt khác theo cmt AF = EC Do ta có AB.AH  AD.AK  AC  AE  EC   AC.AC  AC2 (đpcm) 1 1  bc  ac  ab  a  b  c  3     a  b  c  3  abc a b c    bc  ac  ab   a  b  c  3   a  b  c   3bc  ac  ab   abc   a  b  c  bc  ac  ab 2 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 2 2 Câu  2a  b  c   2bc  ac  ab  2  a  b   b  c   c  a   (3,0 x  y  y  1 y   y  3  x  y  y  3 y  1 y   điểm)  x   y2  3y  y  3y   Đặt t  y2  3y  ta x   t  1 t  1  x  t   x  t  1   x  t  x  t   1 Vì x, y số nguyên nên x  t x  t số nguyên Do ta có hai trường hợp sau: 0.5 0,25 0,5 * TH1: x  t  x  t  1 Suy x  t  1 Với t  1 y2  3y   1  y2  3y     y  1 y     y  1 y  2 * TH2: x  t  1 x  t  Suy x  t  Với t  y2  3y    y2  3y   y  y  3   y  y  3 Vậy PT cho có nghiệm nguyên  x; y   0; 3 ,  0; 2  ,  0; 1 ,  0;0  0,25 0,25 0,5 Hết