082 đề HSG toán 8 yên dũng 2013 2014

UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x  2014 x  2013 2) x( x  2)( x  x  2)  Câu (4 điểm)  2a 3b  3a   15 23  7a 20 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x2  y  xy  x  y  2013 1) Tìm a, b biết Câu (4 điểm) 1) Cho a1, a2 , , a2013 số tự nhiên có tổng cộng 20132014 Chứng minh rằng: B  a13  a23   a2013 chia hết cho 2) Cho a b số tự nhiên thỏa mãn 2a  a  3b2  b Chứng minh rằng: a  b 3a  3b  1là số phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I , kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh ba điểm M , O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH , NK , AD vng góc với BC H , K , D Chứng minh MH  NK  AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a  b  c  d x   a  b  c  d  , y   a  c b  d  , z   a  d b  c  Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z ĐÁP ÁN Câu 1) x2  2014 x  2013  x  2013x  x  2013  x  x  2013   x  2013   x  1 x  2013 2) x( x  2)( x2  x  2)    x  x  x  x      x2  2x    x2  2x     x  x  1   x  1 Câu  2a  3a   20 1  2a   15   3a   a  15 20  2a 3b  2.1 3b Thay a  vào tỉ lệ thức ta được:   b2 15 23  7a 15 23  7.1 Vậy a  1, b  2) Ta có: A  x  y  xy  x  y  2013  x  x  y  1  y  y   y  y   2003 1) Từ   x  y  1   y  3  2003 2 Nhận thấy với x, y ta có:  x  y  1  0;  y  3   A  2003 Dấu "  " xảy x  4, y  Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x  4, y  Câu 1) Dễ thấy a3  a  a (a  1)(a  1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu B   a1  a2   a2013    a13  a23   a2013    a1  a2   a2013  2   a13  a1    a23  a2     a2013  a2013  chia hết cho Mà a1, a2 , ., a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 Do B chia hết cho 2) Từ 2a  a  3b2  b có  a  b  3a  3b  1  a Cũng có :  a  b  2a  2b  1  b2 Suy  a  b   2a  2b  13a  3b  1   ab  2 Gọi  2a  2b  1,3a  3b  1  d Chứng minh d   3a  3b  số phương  a  b số phương (đpcm) Câu A M O N B H D E I K C 1) Ta có: IM / / AC, IN / / AB  AMIN hình bình hành  MN cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI  M , O, N thẳng hàng (đpcm) 2) Kẻ OE vng góc với BC Chứng minh MHKN hình thang vng Ta có: O trung điểm MN mà OE / / MH / / NK Suy OE đường trung bình hình thang vng MNKH nên MH  NK  2OE (1) Xét ADI có O trung điểm AI OE / / AD Suy OE đường trung bình ADI nên AD  2OE (2) Từ (1) (2) ta có: MH  NK  AD (dfcm) 3) Ta có: MN / / BC  MN đường trung bình ABC (do O trung điểm AI)  I trung điểm BC (Vì MI / / AC, MA  MB) Vậy để MN song song với BC I trung điểm BC Câu Xét hiệu x  y   a  b  c  d    a  c  b  d    d  a b  c Vì b  a, b  c nên  d  a  b  c   Suy x  y 1 Xét hiệu y  z   a  c  b  d    a  d  b  c   a  b d  c Vì b  a, c  d nên  a  b  d  c   Suy y  z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z  y  x