UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x 2014 x 2013 2) x( x 2)( x x 2) Câu (4 điểm) 2a 3b 3a 15 23 7a 20 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x2 y xy x y 2013 1) Tìm a, b biết Câu (4 điểm) 1) Cho a1, a2 , , a2013 số tự nhiên có tổng cộng 20132014 Chứng minh rằng: B a13 a23 a2013 chia hết cho 2) Cho a b số tự nhiên thỏa mãn 2a a 3b2 b Chứng minh rằng: a b 3a 3b 1là số phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I , kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh ba điểm M , O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH , NK , AD vng góc với BC H , K , D Chứng minh MH NK AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a b c d x a b c d , y a c b d , z a d b c Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z ĐÁP ÁN Câu 1) x2 2014 x 2013 x 2013x x 2013 x x 2013 x 2013 x 1 x 2013 2) x( x 2)( x2 x 2) x x x x x2 2x x2 2x x x 1 x 1 Câu 2a 3a 20 1 2a 15 3a a 15 20 2a 3b 2.1 3b Thay a vào tỉ lệ thức ta được: b2 15 23 7a 15 23 7.1 Vậy a 1, b 2) Ta có: A x y xy x y 2013 x x y 1 y y y y 2003 1) Từ x y 1 y 3 2003 2 Nhận thấy với x, y ta có: x y 1 0; y 3 A 2003 Dấu " " xảy x 4, y Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x 4, y Câu 1) Dễ thấy a3 a a (a 1)(a 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Xét hiệu B a1 a2 a2013 a13 a23 a2013 a1 a2 a2013 2 a13 a1 a23 a2 a2013 a2013 chia hết cho Mà a1, a2 , ., a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 Do B chia hết cho 2) Từ 2a a 3b2 b có a b 3a 3b 1 a Cũng có : a b 2a 2b 1 b2 Suy a b 2a 2b 13a 3b 1 ab 2 Gọi 2a 2b 1,3a 3b 1 d Chứng minh d 3a 3b số phương a b số phương (đpcm) Câu A M O N B H D E I K C 1) Ta có: IM / / AC, IN / / AB AMIN hình bình hành MN cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI M , O, N thẳng hàng (đpcm) 2) Kẻ OE vng góc với BC Chứng minh MHKN hình thang vng Ta có: O trung điểm MN mà OE / / MH / / NK Suy OE đường trung bình hình thang vng MNKH nên MH NK 2OE (1) Xét ADI có O trung điểm AI OE / / AD Suy OE đường trung bình ADI nên AD 2OE (2) Từ (1) (2) ta có: MH NK AD (dfcm) 3) Ta có: MN / / BC MN đường trung bình ABC (do O trung điểm AI) I trung điểm BC (Vì MI / / AC, MA MB) Vậy để MN song song với BC I trung điểm BC Câu Xét hiệu x y a b c d a c b d d a b c Vì b a, b c nên d a b c Suy x y 1 Xét hiệu y z a c b d a d b c a b d c Vì b a, c d nên a b d c Suy y z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z y x