PHỊNG GD&ĐT N PHONG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi :14 tháng 04 năm 2014(đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC 5− x 1− 2x + − : Bài (5 điểm): Cho biểu thức: A = ÷ − x x +1 − x x −1 a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên c Tìm x để A = A Bài (4 điểm): Giải phương trình sau: a x3 – x2 – 12x = b x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 Bài (5 điểm): Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD=2AB=2AD BC = a Gọi E trung điểm CD a Tứ giác ABED hình gì? Tại sao? b.Tính diện tích hình thang ABCD theo a c.Gọi I trung điểm BC, H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC Tính góc HDI ? Bài (4 điểm): a.Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + b.Tìm giá trị lớn biểu thức sau : B = 3( x + 1) x + x2 + x +1 Bài (2 điểm): a.(Phần dành cho thí sinh trường đạị trà) Cho a, b, c cạnh tam giác,p 1 1 1 nửa chu vi CMR : p − a + p − b + p − c ≥ 2( a + b + c ) b (Phần dành cho thí sinh trường THCS Yên Phong) a −b b−c c−d a −d + + ≥ Cho a,b,c,d số dương Chứng minh : b+c c+d d +a a+b PHÒNG GĐ & ĐT YÊNPHONG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NGÀY THI 14/4/2014 MƠN THI: TỐN Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải 2 + x + 2(1 − x ) − (5 − x) x − A= ÷ − x2 1− 2x −2 x − = − x2 − 2x = 1− 2x 0.25 A nguyên, mà x nguyên nên 2M1 − 2x 0.5 Từ tìm x = x = 0.5 Bỏ giá trị x = 1( điều kiện) Vậy x = 0.5 + ĐKXĐ: x ≠ ±1; x ≠ a (2.0 điểm) b (1.5 điểm) Ta có: c ⇔ ≥ ⇔ 1− 2x > ⇔ x < 1− 2x Kết hợp với điều kiện: −1 ≠ x < b (2.0 điểm) 0.25 0.5 (4.0 điểm) (2.0 điểm) 0.75 0.5 Câu a 0.75 0.5 A = A⇔ A≥0 (1.5 điểm) (5.0 điểm) x – x – 12x = x(x-4)(x+3) = 1.0 Vậy x = x= -3 x=0 1.0 x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 0.75 1 ⇔ (x-300) + + = ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 86 84 82 0.5 0.5 VËy S = { 300} 0.25 Câu (5.0 điểm) Hình vẽ + GT +KL a (1.5 điểm) 0.5 0.5 Chỉ ABED hình bình hành (AB//DE, AB=DE) Chỉ ABED hình thoi Chỉ ABED hình vng (AB=AD) 0.25 o ( góc BAD=90 ) + Chỉ tam giác BEC vng cân 0.75 + Từ suy AB=AD=a DC=2a 0.5 b (2.0 điểm) + Diện tích hình thang ABCD S = ( AB + CD ) AD ( a + 2a ) a = 3a = 2 c (1.5 điểm) 0.25 + ∠ACH = ∠ACD (1) (cùng phụ với góc HDC ) + Xét hai tam giác ADC IBD vuông D B có 0.25 0.5 0.25 AD IB = = , hai tam giác ADC IBD đồng dạng DC BD Suy ∠ACD = ∠BDI (2) + Từ (1) (2), suy ∠ADH = ∠BDI + Mà ∠ADH + ∠BDH = 45 o ⇒ ∠BDI + ∠BDH = 45 o hay ∠HDI = 45 o Câu a (2 điểm) 0.25 0.5 (4.0 điểm) Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + = (x-y)2 + (y - 2)2 + Do (x-y)2 ≥ ; (y - 2)2 ≥ Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + ≥ 0.75 0.5 Dấu ''='' xảy ⇔ x = y y = 0.5 Vậy GTNN A ⇔ x = y =2 0.25 3( x + 1) 3( x + 1) 3( x + 1) = x ( x + 1) + x + = ( x + 1)( x + 1) = 2 x + x + x +1 x +1 Do x2 +1>0 nên B = ≤ Dấu ''='' xảy ⇔ x = x +1 B= b (2 điểm) 0.5 Vậy GTLN B ⇔ x = Câu 1.0 0.75 0.25 2.0 điểm Ta có a (2.0 điểm) (Trường đại trà) + p−a + p −b + p−c ≥ = p −b p −a + p −b c ≥ = p −c p −b+ p −c a ≥ = p−a p−c+ p−a b Cộng vế ta có điều phải chứng minh 0.5 0.5 0.5 0.5 Ta có: b 0.5 a −b b−c c −d a −d a −b b−c c −d d −a + + ≥ ⇔ + + + ≥0 b+c c+d d +a a+b b+c c+d d +a a+b a+c b+b c+a d +b ⇔ + + + ≥4 b+c c+d d +a a+b (2.0 điểm) Xét: (Trường THCS Nguyễn Cao) a +c b+d c+a d +b + + + −4 b+c c+d d +a a+b = ( a + c) + + ÷+ ( b + d ) ÷− b+c d +a c+d a+b 4 ≥ ( a + c) +(b+d) −4=0 a+b+c+d a+b+c+d 1.0 0.5 => đpcm Dấu = xảy a=b=c=d Điểm toàn (20điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 3, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm PHỊNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút Câu 1(6điểm) Giải phương trình sau: a (2 x + x − 2013) + 4( x − x − 2012) = 4(2 x + x − 2013)( x − x − 2012) b x − + x + = Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 + y2 + z2 ≥ xy + xz + yz với x , y ,z Câu (5điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x + dư 10, f(x) chia cho x − dư 24, f(x) chia cho x − thương −5x dư Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x2 – xy = 6x – 5y – Câu (2điểm) Cho a , b >0 a + b =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = (1 + ) + ( + )2 a b Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB) , đường cao AH (H∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E Chứng minh ∆ BEC đồng dạng ∆ ADC Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh ∆ BHM đồng dạng ∆ BEC Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh : GB HD = BC AH + HC …………….Hết……………… PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013 - 2014 Nội dung đáp án Điểm điểm điểm 2điểm Câu1 1) a) a = x + x − 2013 Đặt: b = x − x − 2012 0,5điểm Phương trình cho trở thành: a + 4b = 4ab ⇔ (a − 2b) = ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b 0,5điểm Khi đó, ta có: x + x − 2013 = 2( x − x − 2012) ⇔ x + x − 2013 = x − 10 x − 4024 ⇔ 11x = −2011 ⇔ x = −2011 11 0,5điểm 0,25điểm Vậy phương trình có nghiệm x = −2011 11 0,25điểm b) 2điểm Lập bảng xét dấu nhị thức : x – x + x x–1 x+3 -3 – – 0,25điểm | – 0 + | + 0, 5điểm + +) Xét x < - (1) Phương trình ⇔ – x – – x = ⇔ - 2x = ⇔ x = - Không thỏa mãn (1) +) Xét - ≤ x ≤ (2) Phương trình ⇔ – x + x +3 = ⇔ 0x = Thỏa mãn với x ∈ R cho - ≤ x ≤ + ) Xét x ≥ (3) Phương trình ⇔ x – + x+ 3= ⇔ 2x = ⇔ x=1 Thỏa mãn (3) Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm - 3< x ≤ 0,5 điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 2) Có ( x – y ) + ( y – z ) + ( z – x ) ≥ với x, y ,z ⇔ x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 ≥ ⇔ 2( x2 + y2 + z2) ≥ 2( xy + xz + yz ) ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ xy + xz +yz (đpcm) 2 Câu 1) Giả sử f(x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi đó: f ( x ) = ( x − 4).(−5 x) + ax+b Xét giá trị riêng x cho x2 – = ⇔ (x – )( x + 2) = ⇔ x = x = - Với x =2 ⇒ f(2) = 2a +b Với x = - ⇒ f(- 2) = - 2a + b Theo đề bài, ta có: f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔ f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17 Do đó: f ( x) = ( x − 4).( −5 x) + x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) = −5 x + 2) 5điểm 2,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 47 x + 17 x – xy = 6x – 5y - ⇔ x – 6x + = y (x – ) (2) 2điểm 0,5điểm 0,5 điểm 0,5điểm 0,5điểm x2 − 6x + ( x =5 khơng nghiệm phương trình (2)) x −5 ⇔ y=x–1+ Vì x , y nguyên nên x – ước x−5 ⇔ y= 0,25điểm 2,5 điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm Hay x – ∈ { - 1, 1, , - 3}hay x ∈ { 4, , , 2} 0,5điểm Khi x = y = Khi x =4 y = Khi x = y = Khi x= y =8 0,25điểm Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) , 0,25điểm (8, 8) Câu a+b a +b M= ( + ) +(1+ ) a + b =1 a b b a M = ( + )2 + ( + )2 a b 4b 4a b a2 M=4+ + +4+ + a b a b 2 a b b a M = + ( + ) + 4( + ) ≥ 8+ + = 18 b a a b a b a b2 ( a > 0, b> nên + ≥ + ≥ ) b a b a Dấu = xảy ⇔ a = b a + b = ⇔ a = b = Vậy M = 18 Khi a = b = Câu 2,0điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 7,0điểm 2,5điểm a) 0,25điểm Vẽ hình 0,5điểm 0,25điểm Chứng minh ∆ CDE : ∆ CAB (g.g) Suy CD CA = CE CB 0,25điểm Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung 0,25điểm CD CA = (Chứng minh trên) CE CB Do ∆ ADC : ∆ BEC (c.g.c) 0,25điểm Suy : góc BEC = góc ADC = 135 ( tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) 0,25điểm Nên góc AEB = 45 Do tam giác ABE vng cân A 0,25điểm 0,25điểm Suy : BE = AB = m b) 2,5điểm BM BE AD = × = × (do ∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC Mà: AD = AH ( tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH AH = × = × = Nên BC AC AC AC AH BH = Mà ∆ABH : ∆CBA (g g ) ⇒ AC AB BM BH BH = Nên : BC = ( BE = AB ) AB BE Do đó: ∆BHM : ∆BEC (c.g.c), suy ra: · · BHM = BEC = 1350 ⇒ ·AHM = 450 Ta có: 0,25điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 2,0điểm c) Tam giác ABE vuông cân A , nên tia AM phân giác góc BAC 0,5điểm GB AB = GC AC AB ED AH HD = ( ∆ABC ∼ ∆DEC ) = ( ED / / AH ) = mà AC DC HC HC 0,5điểm Suy AG phân giác góc BAC Suy ra: Do đó: GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Điểm toàn 20 điểm - Hết - 0,5điểm 0,5điểm ... − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 0.75 1 ⇔ (x-300) + + = ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 86 84 82 0.5 0.5... GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút Câu 1(6điểm) Giải phương trình sau: a (2 x + x − 2013) + 4( x − x − 2012) = 4(2 x + x − 2013) ( x − x − 2012) b x − +... nguyên ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) , 0,25điểm (8, 8) Câu a+b a +b M= ( + ) +(1+ ) a + b =1 a b b a M = ( + )2 + ( + )2 a b 4b 4a b a2 M=4+ + +4+ + a b a b 2 a b b a M = + ( + ) + 4( + ) ≥ 8+