Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.. Gọi E là trung điểm của CD.. c.Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC.. PHÒNG GĐ & ĐT YÊ
Trang 1PHÒNG GD&ĐT
YÊN PHONG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi :14 tháng 04 năm 2014(đề thi gồm 01 trang)
Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức: 2 2
:
A
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
c Tìm x để A A
Bài 2 (4 điểm): Giải các phương trình sau:
a x3 – x2 – 12x = 0
82
54 84
132 86
214
x
Bài 3 (5 điểm):
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Biết CD=2AB=2AD và BC a 2 Gọi E là trung điểm của CD
a Tứ giác ABED là hình gì? Tại sao?
b.Tính diện tích hình thang ABCD theo a
c.Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC Tính góc HDI ?
Bài 4 (4 điểm):
a.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
b.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =
1
) 1 ( 3
2 3
x x x x
Bài 5 (2 điểm):
a.(Phần dành cho thí sinh trường đạị trà) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác,p là nửa chu vi CMR : 1 1 1 2(1 1 1)
b.(Phần dành cho thí sinh trường THCS Yên Phong)
Cho a,b,c,d là các số dương Chứng minh rằng : b a c b c b d c d c d a a a d b
PHÒNG GĐ & ĐT
YÊN PHONG
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NGÀY THI 14/4/2014
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2MÔN THI: TOÁN 8
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
a
(2.0 điểm )
2
2 2
2 2
.
.
2
1 2
A
x
x
0.25 0.75
0.75 0.25
b
(1.5 điểm)
A nguyên, mà x nguyên nên 2 1 2x
Từ đó tìm được x = 1 và x = 0
Bỏ đi giá trị x = 1( do điều kiện) Vậy x = 0
0.5 0.5 0.5
c
(1.5 điểm)
Ta có:
0
x
Kết hợp với điều kiện: 1 1
2
x
0.5 0.5 0.5
a
(2.0 điểm)
x3 – x2 – 12x = 0 x(x-4)(x+3) = 0
Vậy x = 4 hoặc x= -3 hoặc x=0
1.0 1.0
b.
(2.0 điểm)
6 82
54 84
132 86
214
x
82
54 ( ) 2 84
132 (
) 1 86
214 (x x x
82
300 84
300 86
300
x
82
1 84
1 86
1
VËy S =300
0.75 0.5
0.5 0.25
Trang 3(1.5 điểm)
Hình vẽ + GT +KL
Chỉ ra ABED là hình bình hành (AB//DE, AB=DE)
Chỉ ra ABED là hình thoi (AB=AD)
Chỉ ra ABED là hình vuông ( góc BAD=90 o )
0.5
0.5 0.25 0.25
b
(2.0 điểm)
+ Chỉ ra tam giác BEC vuông cân.
+ Từ đó suy ra AB=AD=a DC=2a.
+ Diện tích của hình thang ABCD là .
2
AB CD AD
2 3 2
0.75 0.5 0.25 0.5
c
(1.5 điểm)
+ ACH ACD (1) (cùng phụ với góc HDC )
+ Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có
1
2
DC BD , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng.
Suy ra ACD BDI (2)
+ Từ (1) và (2), suy ra ADH BDI
+ Mà ADH BDH 45o BDI BDH 45o hay
o
HDI 45
0.25
0.5 0.25 0.5
a
(2 điểm) Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1
Do (x-y)2
0 ; (y - 2)2 0
0.75 0.5
H
C
D
E
I
Trang 4Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 11
Dấu ''='' xảy ra x = y và y = 2
Vậy GTNN của A là 1 x = y =2
0.5 0.25
b
(2 điểm)
B =
1
) 1 ( 3
2 3
x x x
x
= 2(3(1)1) 1
x x
x
x
=( 23(1)(1)1)
x x
x
= 23 1
x
Do x2 +1>0 nên B = 23 1
x 3 Dấu ''='' xảy ra x = 0 Vậy GTLN của B là 3 x = 0
1.0 0.75 0.25
Câu 5 2.0 điểm
a
(2.0 điểm)
(Trường
đại trà)
Ta có
Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh
0.5 0.5 0.5 0.5
b
(2.0 điểm)
(Trường
THCS
Nguyễn
Cao)
Ta có:
4
0
b a
b d a d
a c d c
b b c b
c a
b a
a d a d
d c d c
c b c b
b a b a
d a a d
d c d c
c b c b
b a
Xét:
4
4
=> đpcm.
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
0.5
1.0 0.5
Điểm toàn bài (20điểm)
Trang 5Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp
logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 3, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8
Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút
Câu 1(6điểm)
1 Giải phương trình sau:
a.(2x2 x 2013) 2 4(x2 5x 2012) 2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012)
b x 1 x 3 4
2 Chứng minh bất đẳng thức sau:
x2 + y2 + z2 xy + xz + yz với mọi x , y ,z
Câu 2 (5điểm)
1 Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x 2 4 được thương là 5x và còn dư
Trang 62 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
x2 – xy = 6x – 5y – 8
Câu 3 (2điểm) Cho a , b >0 và a + b =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M = (1 + 1
a)2 + ( 1 +1
b)2
Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH
(H BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng BEC đồng dạng ADC Tính độ dài đoạn BE theo
m = AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng BHM đồng dạng BEC Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh :GB HD
……….Hết………
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN 8
Năm học: 2013 - 2014
Nội dung đáp án Điểm
Đặt:
2 2
5 2012
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó, ta có:
2x x 2013 2( x 5x 2012) 2x x 2013 2 x 10x 4024
0,5điểm
0,5điểm
0,5điểm
Trang 711
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2011
11
0,25điểm 0,25điểm
Lập bảng xét dấu các nhị thức : x – 1 và x + 3
x - 3 1
x – 1 – | – 0 +
x + 3 – 0 + | +
+) Xét x < - 3 (1)
Phương trình 1 – x – 3 – x = 4 - 2x = 6 x = - 3 Không
thỏa mãn (1)
+) Xét - 3 x 1 (2)
Phương trình 1 – x + x +3 = 4 0x = 0 Thỏa mãn với mọi x
R sao cho - 3 x 1
+ ) Xét x 1 (3)
Phương trình x – 1 + x+ 3= 4 2x = 2 x=1 Thỏa mãn (3)
Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm - 3< x 1
0,25điểm
0, 5điểm
0,5 điểm
0,25điểm
0,25điểm 0,25điểm
Có ( x – y )2 + ( y – z )2 + ( z – x )2 0 với mọi x, y ,z
x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 0
2( x2 + y2 + z2) 2( xy + xz + yz )
x2 + y2 + z2 xy + xz +yz (đpcm)
0,5điểm 0,5 điểm 0,5điểm 0,5điểm
Giả sử f(x) chia cho x 2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b
Khi đó: 2
f ( ) (x x 4).( 5 ) ax+b x
Xét các giá trị riêng của x sao cho x 2 – 4 = 0 (x – 2 )( x + 2) = 0
x = 2 hoặc x = - 2
Với x =2 f(2) = 2a +b
Với x = - 2 f(- 2) = - 2a + b
Theo đề bài, ta có:
0,5điểm
0,5điểm
Trang 82
f ( ) ( 4).( 5 ) x+17
2
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 3 47
2
0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm
x 2 – xy = 6x – 5y - 8 x 2 – 6x + 8 = y (x – 5 ) (2)
y =
2 6 8 5
x
( vì x =5 không là nghiệm của phương trình (2))
y = x – 1 + 3
5
x Vì x , y là nguyên nên x – 5 là ước của 3
Hay x – 5 { - 1, 1, 3 , - 3}hay x { 4, 6 , 8 , 2}
Khi x = 2 thì y = 0 Khi x =4 thì y = 0
Khi x = 6 thì y = 8 Khi x= 8 thì y =8
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,
(8, 8)
0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm
0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm
M= ( 1 + a b
a
)2 + ( 1 + a b
b
)2 vì a + b =1
M = ( 2 + b
a)2 + ( 2 + a
b)2
M = 4 + 4b
a + b22
a + 4 + 4a
b + a22
b
M = 8 + ( b22 a22
a b ) + 4( a b
b a ) 8+ 2 + 4 2 = 18 ( vì a > 0, b> 0 nên a22 b22 2
b a ) Dấu = xảy ra a = b và a + b = 1 a = b = 1
2 Vậy min M = 18 Khi a = b = 1
2
0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm
0,25điểm 0,25điểm
Trang 9Câu 4 7,0điểm a)
Vẽ hình
Chứng minh CDE CAB (g.g)
Suy ra CD CA
Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
CE CB (Chứng minh trên)
Do đó ADC BEC (c.g.c)
Suy ra : góc BEC = góc ADC = 1350 ( vì tam giác AHD
vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên góc AEB = 450 Do đó tam giác ABE vuông cân tại A
Suy ra : BEAB 2 m 2
2,5điểm 0,25điểm
0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm
0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm b)
BC BC AC (do BEC ADC)
Mà ABH CBA(g g ) AH BH
Nên :
2
Do đó: BHM BEC (c.g.c), suy ra:
2,5điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm
0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm c)
Tam giác ABE vuông cân tại A ,
2,0điểm 0,5điểm
Trang 10nên tia AM còn là phân giác của góc BAC
Suy ra AG là phân giác của góc BAC Suy ra: GB AB
mà AB ED ABC DEC AHED/ /AH HD
0,5điểm
0,5điểm
0,5điểm
Điểm toàn bài 20 điểm
-