HSG toán 8 yên lạc 2016 2017

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm):  x2 −1   − x4    x + − Cho biểu thức: M =  ÷ + x2   x − x + x + 1  a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để M có giá trị số nguyên Câu (2,0 điểm): a) Cho hai số thực x, y thoả mãn x3 − xy = 10 y − 3x y = 30 Tính giá trị biểu thức P = x + y b) Giải phương trình với ẩn số x: a b = − bx − ax Câu (2,0 điểm): a) Tìm cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình: x3 + 2x2 + 3x + = y3 b) Cho số tự nhiên N = 20172016 Viết N thành tổng k (k ∈ N*) số tự nhiên n1; n2; ….;nk Đặt Sn = n13 + n23 + …+nk3 Tìm số dư phép chia Sn cho Câu (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2 b) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF c) Trên đoạn HB, HC tương ứng lấy điểm M, N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định Câu (1,0điểm): a) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu 28 2 thức : P = x + y + x + y b) Các số nguyên từ đến 10 xếp xung quanh đường tròn theo thứ tự tùy ý Chứng minh với cách xếp tồn ba số theo thứ tự liên tiếp có tổng lớn 17 -Hết ( Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Điểm a) ĐKXĐ : với x ∈R  x2 −1   −  x − x + x + 1  1− x4   x +  + x   ( x − 1)( x + 1) − x + x − ( x +1-x2) = 2 ( x − x + 1)( x + 1) 0,25 M =  1(2,0đ) x −1 − x + x −1 x − = = x +1 x +1 3 b) Biến đổi: M = - , M nguyên ⇔ nguyên x +1 x +1 Đặt = k (k∈Z) k ≠ x +1 3−k ≥ ⇔ < k ≤ 3, mà k∈Z nên k∈{1 ; Ta có kx2 + k = ⇔ x2 = k ; 3} + k = x = ± M = (thỏa mãn) + k = x = ± 0,5 0,5 0,25 0,25 M = -1(thỏa mãn) 0,25 + k = x = M = -2 (thỏa mãn) Vậy x ∈ { ± ; ± (2Đ) ; 0} a) Ta có: x3 − 3xy = 10 ⇔ ( x3 − 3xy ) = 100 ⇔ x6 − x y + x y = 100 y − 3x y = 30 ⇔ ( y − 3x y ) = 900 ⇔ y − x y + x y = 900 Suy ra: 2 4 x + x y + 3x y + y = 1000 ⇔ ( x + y ) = 1000 ⇒ x + y = 10 a b = − bx − ax 1 ĐKXĐ: x ≠ x ≠ b a b) Giải phương trình: (1) (1) ⇔ a(1 – ax) = b(1 – bx) ⇔ a – a2x = b – b2x ⇔ a2x – b2x = a – b ⇔ (a2 – b2)x = a – b + Nếu a2 – b2 ≠ phương trình(1) có nghiệm x= a−b = 2 a+b a −b + Nếu a = b phương trình có dạng: 0x = ⇔ phương http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 x ≠ b a trình (1) có vô số nghiệm x ≠ + Nếu a = -b = phương trình có dạng: 0x = phương 1 x ≠ b a trình (1) có vô số nghiệm x ≠ + Nếu a = -b ≠ phương trình có dạng: 0x = -2b ⇔ phương trình (1) vô nghiệm 3  a) Ta có y − x3 = x + 3x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y  4 (1)  15  ( x + 2)3 − y = x + x + =  x + ÷ + >0  16  (2 Đ) ⇒ y < x +2 (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x = Từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán (1 ; 2), (-1 ; 0) b)Vì a3 – a = a(a – 1)(a + 1) nên chia hết cho với số nguyên a Đặt N = n1 + n2 + … + nk, ta có: S – N = (n13 + n23 + … + nk3) – (n1 + n2 + … + nk) = = (n13 - n1) + (n23 - n2) + … + (nk3 - nk) chia hết cho ⇒ S N có số dư chia cho Mặt khác, 2017 chia cho dư 20172 chia cho dư N = 20172016 = (20172)1008 chia cho dư Vậy S chia cho dư 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A E F H M I B K N D C 4(3 Đ) O ∆ BDH : ∆ BEC ⇒ BH.BE = BD.BC ∆ CDH : ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB a) Chứng minh: ⇒ BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm) b) Chứng minh: ∆ AEF : ∆ ABC ⇒ ·AEF = ·ABC · · ∆ CDE : ∆ CAB ⇒ CED = CBA · ⇒ ·AEF = CED mà EB ⊥ AC nên EB phân giác góc DEF Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF góc DFE http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 Đ) Vậy H giao đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) c) Gọi O giao điểm đường trung trực đoạn thẳng · · MN HC, ta có ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM (1) = OCN · · Mặt khác ta có ∆ OCH cân O nên: OHC (2) = OCH · · ⇒ HO phân giác góc BHC Từ (1) (2) ta có: OHC = OHB Vậy O giao điểm đường trung trực HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O a) P = x2 + y + 0,25 0,25 0,25 0,25 28 + x y   28  1 =  + x ÷ +  + y ÷+ x + y − x − y  x  y    28  1 =  + x ÷ +  + y ÷+ ( x − x + ) + ( y − y + 1) + ( x + y ) −  x  y   2  28  1 =  + x ÷ +  + y ÷+ ( x − ) + ( y − 1) + ( x + y ) −  x  y  0,25 x, y dương Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 28 28 + 7x ≥ x = 28 x x 1 + y ≥ y = y y 0,25 Lại có : (x – 2)2 ≥ ; (y – 1)2 ≥ ; x + y ≥ suy : P ≥ 28 + + + + – = 24 Dấu ‘‘= ’’ xảy  28  x = 7x  1 = y y  x = x − = ⇔  y =  y −1 =  x + y =    Vậy Pmin = 24 x = y =1 b) Giả sử 10 số xếp theo thứ tự tùy ý a,b,c,d,e,f,g,h,i,j Khi có 10 ba số theo thứ tự liên tiếp là: (a; b; c); (b; c; d); (c; d; e); (j; a; b) Mỗi số từ đến 10 xuất lần 10 số Suy tổng số S = (a + b + c) + (b + c + d) + + (j + a + b) = 3(1 + + + + 10) = 165 Giả sử tất số có tổng nhỏ 16 thì: S ≤ 16 10 = 160 (mâu thuẫn) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 Vậy tồn có tổng lớn 17 (đpcm) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ...UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian... (nk3 - nk) chia hết cho ⇒ S N có số dư chia cho Mặt khác, 2017 chia cho dư 20172 chia cho dư N = 201 72016 = (20172 )10 08 chia cho dư Vậy S chia cho dư 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A... dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 28 28 + 7x ≥ x = 28 x x 1 + y ≥ y = y y 0,25 Lại có : (x – 2)2 ≥ ; (y – 1)2 ≥ ; x + y ≥ suy : P ≥ 28 + + + + – = 24 Dấu ‘‘= ’’ xảy  28  x = 7x  1 = y y  x =