M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC M khác B, C.Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.. Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng... Gọi O là trung điểm c
Trang 1PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP H UYỆN
NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15 tháng 4 năm 2014
Câu 1 ( 5,0 điểm) Cho biểu thức
:
P
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tìm x để 1
2
P
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Câu 2 ( 6 điểm)
a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 22, f(x) chia cho 2
4
x được thương là 5x và còn dư
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a3 5a chia hết cho 6
c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012x 2013y 2014 0
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Cho a b c 0 và abc 0, tính giá trị của biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
P
a) Cho 2 số a và b thỏa mãn a1; b1 Chứng minh :
a b ab
2 1
1 1
1
2 2
Câu 4 : (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
(M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho
BE = CM
a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân
b) Chứng minh : ME // BN.
c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng
-HẾT -Họ và tên thí sinh:………SBD:…………
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Môn thi: Toán 8 Năm học: 2013 – 2014
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
a
2
đ
ĐKXĐ :
0 1 1
x x x
Không có đk x-1 trừ 0,25đ
0,5đ
2 2
: ( 1) ( 1) ( 1) 1
P
x
2
:
( 1) 1
P
x x x
2
:
P
b
2
đ
2
P 2 1
1 2
x P x
2
2x x 1
2
2x x 1 0
2
2x 2x x 1 0
1 2
x
( TM ĐKXĐ) Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ)
(Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )
0,5đ
2
P 1
2
x
0,25đ
c
1
đ
1
Vì x > 1 nên x 1 0 và 1
1
x > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2
số dương x – 1 và 1
1
x ta có: 1 1 2 1 1 2
0,25đ
Trang 3Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 1
1
x
( x – 1)2 = 1
x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 )
x = 2 ( TM )
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
0,25đ
a
2
đ
Giả sử f(x) chia cho 2
4
x được thương là 5x và còn dư là ax b Khi đó: 2
f ( ) (x x 4).( 5 ) ax+b x
0.5đ
Theo đề bài, ta có:
0.5đ
Do đó: f ( ) (x x2 4).( 5 ) 3x+16 x 0.5đ
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 3
f ( )x 5x 23x 16.
0.5đ
b
2
đ
* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2
* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3
* 6a chia hết cho 6
c
2đ
2
2
2012 2013 2014 0
2013 2013 2013 1
( 1) 2013( 1) 1 ( 2013)( 1) 1
2013 1
1 1
2013 1
1 1
x
x y x
x y
2014 2014 2012 2014
x y x y
0,25đ
P
Trang 42bc 2ac 2ab
2
a b c abc
b
ab b
a
2 1
1 1
1
2
1 1
1 1
1 1
1
2
=(1 )(1 ) (1 2)(1 )
2 2
2
ab b
b ab ab
a
a ab
0,25đ
= ( (1)(1 2)(1) 2()(1 )(1) )
2 2
ab b
a
a b a b b a b a
= ((1 )(2)(1 2)(1 ))
2 2
ab b
a
b a b ab a a b
= (1 ( 2)(1) ( 2)(11) )
2
ab b
a
ab a b
0,5đ
Do a1; b1 nên (1 ( 2)(1) (2)(11) )
2
ab b
a
ab a b
0
ab b
a
2 1
1 1
1
2
ab b
a
2 1
1 1
1
2
2
0,25
a
3
đ
Và 0
1 1 45
OE = OM và
1 3
Lại có
2 3
O O BOC 90 0 vì tứ giác ABCD là hình vuông 0,25đ
2 1
O O EOM 900 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 0,5đ
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD 0,5đ
H' 1
1
3 2 1 E
N H
M O
D
C B A
Trang 52đ
+ AB // CD AB // CN AM BM
MN MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*) 0,5đ
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) 0,5đ
Ta có : AM AE
MN EB ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét) 0,5đ
c
1đ
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN OME OH E ' ( cặp góc so le trong)
45
OME vì ∆OEM vuông cân tại O
1 ' 45
∆OMC ∆BMH’ (g.g)
0,25đ
'
,kết hợp OMB CMH '( hai góc đối đỉnh) 0,25đ
' 45
OBM MH C
Vậy BH C BH M MH C' ' ' 90 0 CH' BN
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng
( đpcm)
0,25đ
Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI : TOÁN 8 Ngày thi: 12/4/2014
Thời gian làm bài: 120 phút .
Trang 6Cõu 1: (4 điểm).
a) Rỳt gọn biểu thức A
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A nhận giỏ trị nguyờn
Cõu 2: (4 điểm).
a) Chứng minh rằng A = n n3( 2 7)2 36n 7
với n Z b) Cho P = n4 + 4 Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố
Cõu 3: (4 điểm).
a) Giải phương trỡnh :
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giỏc Chứng minh rằng :
A = 3
c b
c a
b a
c b a
Cõu 4: (6 điểm)
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cựng vuụng gúc với AB Trờn tia Ax lấy điểm
C (C khỏc A) Từ O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OC, đường thẳng này cắt By tại
D Từ O hạ đường vuụng gúc OM xuống CD (M thuộc CD)
a) Chứng minh OA2 = AC.BD
b) Chứng minh tam giỏc AMB vuụng
c) Gọi N là giao điểm của BC và AD Chứng minh MN//AC
Cõu 5: (2 điểm)
Cho a, b, c là cỏc số thực dương thoả món a + b +c = 1 Chứng minh rằng:
2
b a
ab c a c
ca b c b
bc a
Họ và tờn thí sinh: Số bỏo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Kè THI NGÀY 12/4/2014 MễN THI : TOÁN 8
Trang 7Ghi chỳ: Đỏp ỏn chỉ là sơ lược từng bước giải và cỏch cho điểm từng phần của mỗi
bài Bài làm của học sinh yờu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hỡnh vẽ sai khụng chấm điểm Nếu HS giải cỏch khỏc đỳng thỡ chấm điểm từng phần tương ứng
Cõu 1
2 2 ( 1) 3 ( 1) 1
A
0,5đ
2 2(1 3 )
.
A
2 2.
A
b) Với x 0;x 1 Ta cú 2 2 2
x A
Suy ra x 1 1; 2
Đối chiếu điều kiện tỡm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa món và kết luận
0,5đ
Cõu 2
a) Ta cú: A = n n3( 2 7)2 36n
A n n n ( 2 7) 6 n n( 2 7) 6 n n( 3 7n 6)(n3 7n 6)
2 2
Do đú A là tích của 7 số nguyờn liờn tiếp => A 7 với n Z 0,5đ b) b) P = n 4 + 4 = n 4 + 4n 2 + 4 - 4n 2 = (n 2 + 2) 2 - (2n) 2
= (n 2 - 2n + 2)(n 2 + 2n + 2) = [(n - 1) 2 + 1][(n + 1) 2 + 1].
Vì n là số tự nhiên nên (n + 1) 2 + 1 2; Nh vậy muốn P là số nguyên tố thì phải
có (n - 1) 2 + 1 = 1 hay (n - 1) 2 = 0, suy ra n = 1
Khi đó P = 5 là số nguyên tố.
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
Cõu 3:
a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
TXĐ : x 4 ;x 5 ;x 6 ;x 7
0,5đ
Trang 8Phương trình trở thành :
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1
x
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
18
1 7
1 4
1
x
0,5đ
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
Từ đó tìm được x=-13; x=2 (thỏa mãn)
b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Ta có x, y, z >0
Từ đó suy ra a=
2
; 2
; 2
y x c z x b z
Thay vào ta được A=
1 ( ) ( ) ( )
2
Từ đó suy ra A ( 2 2 2 )
2
1
0,5đ
Câu 4 (6 điểm) Hình vẽ
O
A
B C
D
M
N
a) Xét ACO và BOD có
A B = 900 ;
Trang 9=>
BO
BD AC
AO
b) Xét CMO và OMD có
CMO = OMD = 900
OCM DOM (cùng phụ với COM )
0,5đ
=>CMO đồng dạng với OMD =>
MD
OM OD
CO
Mà ACO đồng dạng với BOD =>
BD
AO OD
CO
=> CO OB
Từ (1) và (2) ta có
BD
OB MD
OM
=> tam giác OMD và tam giác OBD đồng dạng
=> MOD BOD => OMD OBD(cạnh huyền , góc nhọn)
=> OM = OB = OA suy ra tam giác AMB vuông tại M
0,5đ
c) Ta có AC // BD (cùng vuông góc với AB)
=>
BD
AC NB
CN
mà BD = MD (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) 0,5đ
Nên
DM
CM BN
CN
Câu 5:
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b)
0,5đ
do đó:
b a
b c a c a
c
c b a b c
b
c a b a VT
0,5đ
Trang 10áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
( )( ) ( )( ) 2 (a b)
a c
c b a b c
b
c a b a
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
c b b
a
b c a c c
a
c b a b
c a b
a
b c a c c
b
c a b a
0,5đ
Vậy 2 VT 4 (abc) 4 hay VT 2 ĐPCM Đẳng thức xảy ra a = b
= c =
3