PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CẨM THỦY ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (LẦN 2) Năm học 2018 - 2019 Mơn: Tốn - Lớp ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (4,0 điểm): Hãy tính giá trị biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết: x 26 15 3 80 80 Tính tổng: 8.12 8.2 8.32 8.1009 S 2 2 2 3 5 2017 2.2019 Câu II (4,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1; ); N(3;0); K(4; ) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC cho M, N, K trung điểm AC, CB, BA Giải phương trình: 13 x x x x 16 Câu III (4,0 điểm): Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x 18 y z y z 18 x 27 Cho x, y số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 cho: x4 1 y4 1 số nguyên Chứng y 1 x 1 minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1) Câu IV (6,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) dây cung AH < R Qua H vẽ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R) Vẽ đường tròn (A; R) cắt đường thẳng d B C cho H nằm B C Vẽ HM vng góc với OB (M �OB), vẽ HN vng góc với OC (N � OC) 1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC MN qua điểm cố định 2) Chứng minh: OB.OC = 2R2 3) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi Câu V (2,0 điểm): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: 1 �1 2 a b b c c2a -Hết -Chữ ký giám thị 1: ……………………………… Chữ ký giám thị 2: ……………………………… ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP (Đáp án gồm có 04 trang) Bài Đáp án Điểm Hãy tính giá trị biểu thức Q = (3x3 – x2 - 1)2020, biết: x 26 15 3 80 80 Đặt a 80 80 � a 80 80 3 80 80 a � a 18 3 81 80.a � a 18 3a � a 3a 18 � a 3 a 3a (4đ) a3 � � �2 a 3a � 0,5đ Mặt khác: 26 15 Suy ra: x 26 15 3 80 80 2020 32 2 2020 � 1 � Vậy Q �3 1� 1 � 27 � 0,5đ 43 0,5đ 0,5đ Tính tổng: S 1 8.12 8.22 8.32 8.1009 12.32 32.52 52.7 2017 2.20192 Ta có: 1 8n 2n 1 2n 1 2 1 8n 4n 1 16n 8n 8n 4n 1 � 1 � � � �2n 2n � Với n ≥ 1, n �N Thay n từ đến 1009 ta được: � 1� �1 � �1 � S � � � � � � � 2� �3 � �2017 2019 � � � 1009 1009 � 1 � 1009 � 2019 � 2019 4n 4n 1 4n 4n 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1; ); N(3;0); K(4; ) Xác định đỉnh tam giác ABC cho M, N, K trung điểm AC, CB, BA Lời giải: Phương trình đường thẳng MN có dạng y=ax + b Vì M(1; 3 ) thuộc đường thẳng MN nên: = a + b (1) 2 Vì M(3;0) thuộc đường thẳng MN nên: = 3a + b (2) Từ (1 ) (2) suy ra: a = -3/4; b = 9/4 (4đ) Suy phương trình đường thẳng MN là: y 3 x 4 Tương tự phương trình đường thẳng MK là: y x 15 phương trình đường thẳng NK là: y x 2 Ta có MN đường trung bình tam giác ABC suy MN // AB Phương trình đường thẳng AB có dạng y 3 x c 3 11 c => c= Phương trình đường thẳng AB là: y 3 x 11 Tương tự : phương trình đường thẳng BC là: y x Phương trình đường thẳng AC là: y x 11 � 3 y x � � � �x Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình � � �y �y x � Mà K(4; ) Suy A(2;4) 0,5đ AB suy 0,5đ 0,5đ Giải phương trình: 13 x x x x 16 Lời giải: Đk: -1 ≤ x ≤ 13 x x x x 13 Ta có: � x 13 x x 0,5đ 256 Áp dụng Bđt bunhicopxki cho dãy số: 13 ; 3 13(1 x ); x 0,5đ ta được: 13 13 x 3 x � 13 27 13 13 x x 40 16 10 x Áp dụng bđt Cosi ta có: 0,5đ 4.10 x 16 10 x �(10 x 16 10 x ) 162 256 2 Dấu xảy � 10x2 = 16 - 10x2 � x � � III (4đ) 0,5đ 1) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x 18 y z y z 18 x 27 Giả thiết � x 3 18 y z y z 54 (1) +) Lập luận để z M3 �z M � z M9 z (*) (1) � 3( x 3) z y ( z 6) 54(2) (2) � 54 3( x 3) z y ( z 6) �3( x 3) 2.9 y 0,5đ ( x 3) y �12 y� y 1; y y nguyên dương Nếu y � y (1) có dạng: x � 3 � 5 z 72 5z z2 72 72 z2 z (vì có(*)) Khi x 3 27 � x 3 , x nguyên dương nên tìm x = Nếu y � y (vì y ngun dương) (1) có dạng: x � 3 � 14 z 126 14 z 126 z z z (vì z nguyên dương) Suy ( x 3) � x (vì x nguyên dương) �x �x � � Đáp số �y 2; �y �z �z � � 0,5đ 0,5đ 0,5đ x4 1 y 1 2) Cho x, y số nguyên, x ≠ -1; y ≠ -1 cho: số y 1 x 1 nguyên Chứng minh rằng: (x4y44 – 1) chia hết cho (y + 1) Lời giải: x4 1 a y4 1 m ; Đặt với (a;b)=1; (m;n)=1 b,n > y 1 b x 1 n a m an bm �Z Theo ta có: b n bn an bmMb � an Mb � �� Suy ra: � mà (a;b)=1; (m;n)=1 suy ra: an bmMn � bm Mn � 0,5đ n Mb � � �nb b Mn � 0,5đ a m x4 1 y 1 �Z ( x4 - Mx+1 y4 - My + 1) b n y 1 x 1 Suy a.m Mn mà (m;n) =1 suy a Mn mà n = b nên a Mb suy x4 - 1My + Do đó: x4y44 – 1= y44 (x4 - 1) + (y44 – 1) My + 0,5đ Vì x4 - 1My + y44 – 1My + (đpcm) 0,5đ Mặt khác: B A M D O H 1) Chứng minh: OM.OB = ON.OC MN qua Nmột điểm cố định C a) Chứng minh: OM.OB = ON.OC Vì tam giác OHB vng H có HM đường cao nên: OM.OB = OH2 Vì tam giác OHC vng H có HN đường cao nên: ON.OC = OH2 IV (6đ) Suy ra: OM.OB = ON.OC (vì OH2) 0,5đ 0,5đ b) Chứng minh MN qua điểm cố định Vì OM.OB = OH2 � OA2 = OM.OB � � Xét OMA OAB có: AOB chung OA OB OM OA OA OB (chứng minh trên) OM OA � OMA : OAB (c.g.c) � OBA � mà � � (vì OA = AB = R) � MAO AOB OBA � MOA � � MAO � MOA cân M � MA = MO � M thuộc đường trung trực AO Chứng minh tương tự ta có N thuộc đường trung trực AO � MN qua trung điểm D OA cố định 2) Chứng minh: OB.OC = 2R2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có: OM.OB = ON.OC (chứng minh câu a) � 0,5đ OM OC ON OB Chứng minh OMN : OCB (c.g.c) OM OC OM OC � � OM OC Mà OH BC ; OD MN OD OH R R Lại có: OM.OB = OH2 � OC.OB R 2 � Vậy OB.OC = 2R2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 3) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác OMN H thay đổi SOMN �OD � R 1 � � � SOMN SOCB OH BC Ta có: OMN : OCB � SOCB �OH � 4R 4 1 R � R(AB AC) R( R R) 8 Dấu xảy A, B, C thẳng hàng A H R2 Vậy diện tích lớn tam giác OMN là: SOMN điểm A trùng với điểm H.https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c Chứng minh rằng: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1 �1 2 a b b c c 2a Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, V ta có a 2b �3 a 2b 3 ab �a b b a 2b (2đ) a 2b 1 a�׳ b ׳ 1 a ab a a 2b Suy a 2b � 11 a b ab Suy 0,5đ 1 � (a 2ab) 2 a b 18 (1) 0,5đ 0,5đ 1 � (b 2bc) 2 b c 18 1 � (c 2ca) 2 c a 18 Tương tự, có: (2) (3) 0,5đ Cộng (1), (2), (3) vế đối vế, thu 1 � a b c Điều phải chứng minh 2 2 a b b c c a 18 Dấu đẳng thức xảy a b c Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm ĐÁP ÁN HSG THỊ Xà HOÀNG MAI 18-19 Câu 2: a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: x y 3xy x y Giải: x y xy x y �3 � � � x y 1� x �2 � � x y 1 x y 1 1 Xét trường hợp ta kết quả: (x; y) = (-2; 2) (x; y) = (2; -4) b) Giải phương trình: x3 16 x Điều kiện: - < x < Ta có: x3 x 16 � x3 16 x � x 16 x x 16 x x 16 x 16 x 2 0 16 x � x 16 x ( x x 16 x 16 x 0) � x 16 x � � x �2 (tm) Câu 3: a) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh a, b, c có chu vi Chứng minh a b c 2abc 0,5đ Đặt x = a + b - c; y = b + c - a; z = c + a - b xz xy yz �a ; b ; c x + y + z = a + b + c = 2 2 Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên x, y, z số dương Ta có: a b c y 2 x z 2abc z x x y y z x z x y y z 2 y z x 4 4 2 4y y 4z z 4x x 4x 4y 4z 2xy 2yz 2zx xyz 20 8(x y z) (x y z) xyz 20 8.2 22 xyz xyz xyz 2 2 4 4 Câu 4: Cho ba điểm S, C, D cố định nằm đường thẳng theo thứ tự Đường tròn (O; R) thay đổi ln qua C D Từ S kẻ tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B tiếp điểm Đường thẳng AB cắt SO CD H I Gọi E trung điểm CD Chứng minh rằng: a) SA2 = SC.SD b) AC.BD = BC.AD c) Khi (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEH nằm đường thẳng cố định B Chứng minh: a) (Sử dụng định lí Py-ta-go) E trung điểm CD nên OE CD EC ED S C Ta có: SC.SD = (SE - CE)(SE + ED) = (SE - CE)(SE + CE) = SE2 - CE2 = SO2 - CO2 = SO2 - OA2 = SA2 b) Từ SA2 = SC.SD suy ∆SCA ∽ ∆SAD (c.g.c) CA SA � (1) AD SD Do SA = SB nên SB2 = SC.SD suy ∆SCB ∽ ∆SBD (c.g.c) CB SB � (2) BD SD O H = M N I A E D CA CB � AD.CB AC.BD AD BD c) Ta chứng minh SO AB H suy ra: ∆SHI ∽ ∆SEO SH SI � � SI.SE SH.SO Mà SH.SO = SA2(Do ∆SAO vng A) SE SO SC.SD � SI có độ dài không đổi Suy SI.SE = SA2 = SC.SD � SI SE � I điểm cố định � IE có độ dài khơng đổi Gọi M trung điểm OI, N trung điểm IE � MN đường trung bình ∆IOE � MN // OE Mà đường thẳng OE cố định N cố định nên đường thẳng MN cố định, hay M nằm đường thẳng cố định (3) Ta chứng minh điểm H, O, E, I thuộc đường tròn tâm M đường kính OI � M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEH (4) Từ (3) (4) suy tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OEH nằm đường thẳng cố định Từ (1), (2) SA = SB suy ra: � �1 � Câu 5: Cho �x y �2 Tìm GTLN M = x y � � �x y � Chứng minh: �1 � x y Ta có: M x y � � �x y � y x Từ �x y �2 suy ra: * �x y �2 � + y �x + � y - x �1 (1) y y x 1 * (x - 1)(x - y) �0 � x2 - xy - x + y �0 ۣ (2) x x x y * (y - 2)(y - x) �0 � y2 - xy - 2y + 2x �0 � � (3) y 2 x y x y Cộng theo vế (2) (3) ta được: �y x y x 2 x y yx x y yx � � 2 � 2� 4 y x y x x y 9 Kết hợp với (1) ta � Hay M � y x 2 Dấu " = " xảy bất đẳng thức (1), (2) (3) đồng thời xảy dấu Ta tìm x = y = Vậy GTLN M x = y = 2 Giáo viên: Hồ Xuân Chiến-Trường THCS Quỳnh Vinh ... n ≥ 1, n �N Thay n từ đến 10 09 ta được: � 1� �1 � �1 � S � � � � � � � 2� �3 � �2017 20 19 � � � 10 09 10 09 � 1 � 10 09 � 20 19 � 20 19 4n 4n 1 4n 4n 0,5đ 0,5đ... 27 � 0,5đ 43 0,5đ 0,5đ Tính tổng: S 1 8.12 8.22 8.32 8.10 09 12.32 32.52 52.7 2017 2.20 192 Ta có: 1 8n 2n 1 2n 1 2 1 8n 4n 1 16n 8n ... y z 54 (1) +) Lập luận để z M3 �z M � z M9 z (*) (1) � 3( x 3) z y ( z 6) 54(2) (2) � 54 3( x 3) z y ( z 6) �3( x 3) 2 .9 y 0,5đ ( x 3) y �12 y� y 1; y y