HSG TOÁN 9 ý yên 2018 2019

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn O để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn nhất... Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R... Tìm giá

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu 1 (6,0 điểm)

1 Rút gọn biểu thức: 2 3  2 3.

2 Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Chứng minh rằng: 2 2 2

+ + = + +

3 Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho

x  y  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Câu 2 (5,0 điểm)

1 Giải phương trình:12x2 3x 1  3x 1.

2 Giải hệ phương trình:

2

x xy 2y 0

.

x 5y 4 0





  



Câu 3 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức:

2x  4x 19 3y  

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A bất kỳ nằm trên

đường tròn (A không trùng với B và C) Kẻ AHBC (HBC);HMAB (MAB); HN

AC (NAC)

1 Chứng minh: sin2AMN cos OAC 2  1và

 

3

.

2 Gọi D là điểm nằm giữa O và C;Kẻ DEAB (EAB);DFAC (FAC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC

3 Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn nhất Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:

1

1 x 1 y 1 z      

3

2

……….Hết …….……

Họ tên thí sinh:……… Chữ ký giám thị 1:………

Số báo danh:……… Chữ ký giám thị 2:………

HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2018 - 2019

m Câu 1 ( 6, 0điểm)

1 (1,0 đ).Rút gọn 2 3  2 3.

Ta có

0,5 0,5

2 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

+ + = + +

Ta có

2

2

           

0,5

2

1 1 1

 

       

0,5

2

1 1 1

a b c

    

  (doa b c  0)

0,5

=

1 1 1

a b c 

0,5

3.(3,0 đ) Cho biểu thức

với x, y > 0; xy ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho

x  y  Tìm giá trị lớn nhất của A

a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có:

xy 1 1 xy



xy 1 1 xy



2x y 2 xy xy



1 1 2 1 1 9

x  y  xy  xy  (do

x  y  )

Dấu bằng xảy ra 





1

9 (thỏa mãn) Vậy giá trị lớn nhất của A là 9 tại x = y =

1

Câu 2.( 5,0 điểm)

1.(2,5đ) Giải phương trình 12x2 3x 1  3x 1.

Đ:

1

3

2

2

12x 3x 1 3x 1

12x 3x 1 3x 1(ÐK:12x 3x 1 0)

0,5

144 72 15 3 0

0( )

144 72 15 3 0(1)

x ktm





 



0,5

2

(1) 4 1 36 27 3 0

1

( )

4

36 27 3 0(2)













0,5đ

Giải (2) tìm được hai nghiệm 1 2

2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình  

2

x xy 2y 0

.

x 5y 4 0 *





  



khi đó ta được x = y hoặc x = -2y

0,5 0,5

Với x = y thay vào phương trình (*) ta được pt y2 +5 y +4 = 0

Giải phương trình, tìm được y = -1; y = -4

Từ đó tìm được x

0,5

0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta được 4y2 + 5y + 4 = 0 Chứng minh

phương trình này vô nghiệm

KL nghiệm của hệ

0,5đ

0,25đ

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x24x19 3 y2

2 2

2x  4x 19 3  y <=>2x24x 2 21 3 y2  2(x 1)2  3(7  y2)(1) 0,5 Với x, y nguyên thì vế trái của (1) chia hết cho 2 nên từ (1) có:

3(7  y ) 2   7  y  2  y lẻ

0,5

Ta lại có 7 y2 0nên chỉ có thể y 2 1 Khi đó 2(x 1)2 18 0,5

Ta được: x + 1 = 3, do đó: x1  2;x2  4 0,25 Các cặp số (2 ; 1), 2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A

bất kỳ nằm trên đường tròn (A không trùng với B và C) Kẻ AHBC (H

BC);HMAB (MAB); HNAC (NAC)

1 Chứng minh: sin2AMN cos OAC 2  1và

 

3

.

2 Gọi D là điểm nằm giữa O và C; Kẻ DEAB (EAB);DFAC (F

AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC

3 Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN

đạt giá trị lớn nhất Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R

CM được AC2 = CH.BC ; AB2 = BH.BC Do đó ⇒

(1)

0,5

CM được CH2 =CN.AC ; BH2 = BM AB Kết hợp với (1) ⇒

0,5 0,25

2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( vì DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí

CM tương tự có: (3)

Nhân từng vế của (2) và (3) ta có 0,5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

0,25

3.(1,5đ) CM được AMHN là hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25

CM được AH2 = AM.AB ⇒ AM = (5)

CM tương tự có AN= (6)

0,5

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AMHN là Khi đó điểm A thuộc

đường tròn (O), sao cho ABC vuông cân tại A

0,25

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:

1

1 x 1 y 1 z      

3

2

Ta đặt

1 x a 1 y b 1 z c(ĐK: a b c , , 0)

0,5

Do đó

3 2



3

2

0,5

CM được :

1

2

b c c a a c b c

1

2

c a a b b a c a

1

2

a b b c c b a b

0,5

Do đó

Vậy BĐT(*) luôn đúng, suy ra đpcm

0,5

PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi : TOÁN 9

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (5 điểm ): Cho biểu thức: A =

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị của A khi

c, Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên

Bài 2 (4,5 điểm ):

a, Chứng minh thì

b, Giải phương trình

c, Tìm số tự nhiên có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương

Bài 3 (4 điểm ):

a, Tìm các số thực x để và đồng thời là các số nguyên

b, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 4 (6,5 điểm ):

ĐỀ CHÍNH THỨC

1, Cho ABC vuông tại A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên cùng 1 nửa mặt

phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ 2 tia Bx, Cy cùng vuông góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q Chứng minh:

a, AP = BP và AQ = CQ

b, PC đi qua trung điểm của AH

c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động sao cho góc BAC bằng 90 Tìm vị trí điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

2, Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của 1 tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích tam

giác nhỏ hơn

Họ và tên thí sinh SBD

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ

Bài 1

(5đ)

a (2đ) ĐKXĐ: ,

Rút gọn được:

0,5đ 1,5đ b

(1,5đ

)

thỏa mãn ĐK Thay vào A tính được

0,5đ 1đ

c

(1,5đ

)



Mà

 Thay A vào (1) tìm được

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 2

(4,5đ) a

(1,5đ

)



 Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

0,5đ 0,5đ 0,5đ

)

có



 Để PT có nghiệm thì

 Đối chiếu ĐK => x = 2 thỏa mãn bài toán

0,5đ 0,5đ

c

(1,5đ

)

 Gọi số chính phương cần tìm

Vì vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương

 Vì => y là số chính phương

Mà 1000 9999

 10 và y chính phương

 Tìm được y=16 => = 4096

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 3

(4đ)

a (2đ)

 Đặt

Từ (1) =>

Thay vào (2) =>

 Biến đổi đưa về

Vì => => m = n

=>

 Với m = n =4 =>

 m = n =

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

b

(2đ)

 Vì a,b,c là các số thực dương và a + b + c = 1



 Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

+ 3

( Do a + b + c = 1 )

 =>

0,5đ 1đ

0,5đ

Bài 4

(6,5đ)

1a

(2đ)

 Do ABC vuông tại A nên MA=MB=MC

 Từ đó các cặp tam giác vuông sau bằng nhau:

(cạnh huyền-cạnh

0,5đ 1đ

góc vuông)

 => PA=PB; QA=QC

0,5đ

1b

(1,5đ

)

Gọi giao điểm của PC và AH là I

 Vì IA//QC và QA=QC nên ta có:

 Mặt khác ta có:

( Vì AI//QC ); ( Vì IH//PB)

 Từ đó ta có: , suy ra IH=IA (vì PA=PB)

0,5đ 0,5đ 0,5đ

1c

(1,5đ

)

 Ta có



 Lại có vuông tại A có AH là đường cao

 ( Hệ thức trong tam giác vuông )

 =>



 Suy ra

 Giá trị lớn nhất của khi BH = 3HC hay

0,25đ 0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

2,

(1đ)

 Vẽ tam giác ABC đường cao BH

 Gọi A là góc nhỏ nhất của =>

 Ta có

 Do đó

1đ

Chú ý: Thí sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.