PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: a b c � �� � xy x xy x A � x 1 1�� : 1 x 1 � � xy 1 xy �� xy xy � � �� �với x, y > 0; xy≠ Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A 6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn biểu thức A Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: 12x 3x 3x 2 � �x xy 2y �2 x 5y � Giải hệ phương trình: Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x 4x 19 3y Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A không trùng với B C) Kẻ AH BC (H �BC);HM AB (M�AB); HN AC (N �AC) CN �AC � � � 2� 2� Chứng minh: sin AMN cos OAC BM �AB � Gọi D điểm nằm O C;Kẻ DE AB (E �AB);DF AC (F �AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1 1 x y z Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: x y z � xyz Chứng minh rằng: …………….Hết …….…… Họ tên thí sinh:……………………………… Số báo danh:………………………………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Chữ ký giám thị 1:………………… Chữ ký giám thị 2:………………… HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018 - 2019 Nội dung Điể m Câu ( 6, 0điểm) (1,0 đ).Rút gọn Ta có 2 2 42 42 ( 1) ( 1) 0,5 0,5 ( 1) � 2 2 2 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Ta có 1 1 � �1 1 � �1 � � � � a b c �a b c � �ab bc ca � 0,5 0,5 0,5 �1 1 � �a b c � � � � � �a b c � � abc � �1 1 � � � �a b c � (do a b c ) 1 =a b c 0,5 � �� xy x � xy x A � x 1 1�� : 1 x 1 � � xy 1 xy �� xy xy � � �� � 3.(3,0 đ) Cho biểu thức với x, y > 0; xy ≠ a) Rút gọn biểu thức A 6 y b) Cho x Tìm giá trị lớn A a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có: xy 1 xy 1 xy : xy 1 xy xy 1 xy xy x xy 1 x 1 xy xy 1 xy x 1 xy xy x xy 1 xy 1 xy xy 1 xy xy x xy 1 x 1 xy A x 1 xy xy x 22 x 2x y xy xy ; b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x y , ta có: https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 1,0 0,5 �1 x y xy xy 6 y (do x ) �1 � y �x � �1 x y � Dấu xảy � x = y = (thỏa mãn) Vậy giá trị lớn A x = y = Câu 2.( 5,0 điểm) 0,5 1.(2,5đ) Giải phương trình 12x 3x 3x x � Đ: 0,25 0,5 12x 3x 3x � 12x 3x x 1( ÐK :12x 3x �0) � 144 x x 72 x 24 x x 3x � 144 x 72 x 15 x 3x � x 144 x 72 x 15 x 0,5 x 0(ktm) � �� 144 x 72 x 15 x 0(1) � (1) � x 1 36 x 27 x 3 0,5đ � x (tm) � � � 36 x 27 x 0(2) � Giải (2) tìm hai nghiệm KL nghiệm pt… 27 297 27 297 (tm); x2 (ktm) 72 72 x1 0,5 0,25 � �x xy 2y �2 x 5y * � 2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình x xy y � x y x y 2 c x = y x = -2y 0,5 0,5 ta đượ Với x = y thay vào phương trình (*) ta pt y2 +5 y +4 = 0,5 Giải phương trình, tìm y = -1; y = -4 Từ tìm x 0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta 4y + 5y + = Chứng minh 0,5đ phương trình vơ nghiệm KL nghiệm hệ 0,25đ Câu (2,0 điểm) 2 Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x x 19 y https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x x 19 y x x 21 y � 2( x 1) 3(7 y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1) chia hết từ (1) có: 0,5 3(7 y )M2 � y M2 � y lẻ 2 2 Ta lại có y �0 nên y Khi 2( x 1) 18 0,5 Ta được: x + = �3 , đó: x1 2; x2 4 Các cặp số (2 ; 1), ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25 0,25 Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A không trùng với B C) Kẻ AH BC (H �BC);HM AB (M �AB); HN AC (N �AC) CN �AC � � � 2� 2� sin AMN c os OAC BM �AB � Chứng minh: Gọi D điểm nằm O C; Kẻ DE AB (E�AB);DF AC (F � AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1.(2đ) Chứng minh Do sin2 = + cos2 (= = sin2 0,5 ) + cos2 CM AC = CH.BC ; AB = BH.BC Do 0,25 =1 ⇒ 0,5 (1) CM CH2 =CN.AC ; BH2 = BM AB Kết hợp với (1) ⇒ 0,5 0,25 ⇒ (đpcm) 2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí Talet ta có https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ( CM DF = AE)(2) 0,5 CM tương tự có: Nhân vế (3) (2) (3) ta 0,5 có Áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 0,25 Từ CM DB.DC = EA.EB + FA.FC.(đpcm) 0,25 3.(1,5đ) CM AMHN hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25 CM AH2 = AM.AB ⇒ AM = CM tương tự có AN= Từ (4),(5),(6) có 0,5 (5) (6) SAMHN 0,5 = Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác AMHN đường tròn (O), cho ABC vng cân A Khi điểm A thuộc 0,25 1 1 x y z Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: Chứng minh rằng: x y z � xyz 1 a, b, c 1 y 1 z Ta đặt x (ĐK: a, b, c ) 1 a b c 1 b a c 1 c a b �x ,y ,z a a b b c c a b b c c a 3 � x y z � xyz ca ab a b b c (*) � bc ca Do CM : a b 1� a b � � � � b c c a �a c b c � b c 1�b c � � � � c a a b �b a c a � c a 1� c a � � � � a b b c �c b a b � https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 0,5 Do 0,5 a b b c c a 1�a b b c c a � � � � bc ca ca ab a b b c �a c b c b a c a c b a b � Vậy BĐT(*) đúng, suy đpcm PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài (5 điểm ): Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị A c, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Bài (4,5 điểm ): a, Chứng minh b, Giải phương trình c, Tìm số tự nhiên có chữ số vừa số phương vừa lập phương Bài (4 điểm ): a, Tìm số thực x để đồng thời số nguyên b, Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (6,5 điểm ): https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ +3 1, Cho ABC vng A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Bx, Cy vng góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt Bx Cy P Q Chứng minh: a, AP = BP AQ = CQ b, PC qua trung điểm AH c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động cho góc BAC 90 Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn 2, Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ TỰ Ý ĐIỂM , 0,5đ Rút gọn được: 1,5đ b thỏa mãn ĐK (1,5đ ) Thay vào A tính 0,5đ a (2đ) Bài (5đ) NỘI DUNG ĐKXĐ: 1đ 0,5đ (1) c (1,5đ ) 0,5đ 0,5đ Mà Thay A vào (1) tìm Bài (4,5đ) a (1,5đ ) Lập luận Mà hai số nguyên tố Vậy https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ĐK b (1,5đ ) Chuyển vế, vế không âm bình phương ta có Để PT có nghiệm Đối chiếu ĐK => x = thỏa mãn tốn Gọi số phương cần tìm c (1,5đ ) Vì => Vì vừa số phương vừa lập phương với => y số phương Mà 1000 10 9999 y phương Tìm y=16 => 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ = 4096 0,5đ Đặt Từ (1) => a (2đ) Thay vào (2) => Biến đổi đưa Vì => => Với m = n =4 => 0,5đ => m = n m=n= Vì a,b,c số thực dương a + b + c = Bài (4đ) Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ +3 b (2đ) ( Do a + b + c = ) Bài (6,5đ) 0,5đ 1a (2đ) => Vẽ hình Do ABC vuông A nên MA=MB=MC https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Từ cặp tam giác vng sau nhau: (cạnh huyền-cạnh góc vng) => PA=PB; QA=QC Gọi giao điểm PC AH I Vì IA//QC QA=QC nên ta có: 1b (1,5đ ) 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Mặt khác ta có: ( Vì AI//QC ); Từ ta có: ( Vì IH//PB) 0,5đ , suy IH=IA (vì PA=PB) 0,25đ Ta có 0,25đ Lại có vng A có AH đường cao ( Hệ thức tam giác vuông ) 0,5đ => 1c (1,5đ ) 0,25đ 0,25đ Suy Giá trị lớn BH = 3HC hay Vẽ tam giác ABC đường cao BH 2, (1đ) Gọi A góc nhỏ => Ta có Do Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1đ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ... tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018- 20 19 THỨ TỰ Ý ĐIỂM , 0,5đ Rút gọn được: 1,5đ b thỏa mãn ĐK (1,5đ ) Thay vào A tính 0,5đ a (2đ)... Vì vừa số phương vừa lập phương với => y số phương Mà 1000 10 99 99 y phương Tìm y=16 => 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ = 4 096 0,5đ Đặt Từ (1) => a (2đ) Thay vào (2) => Biến đổi đưa Vì... giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x x 19 y https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ x x 19 y x x 21 y � 2( x 1) 3(7 y ) (1) 0,5 Với x, y nguyên vế trái (1)