HGS TOÁN 9 NAM đàn 2018 2019

PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Bài (5 điểm ): Cho biểu thức: A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị A c, Tìm giá trị x để A có giá trị nguyên Bài (4,5 điểm ): a, Chứng minh b, Giải phương trình c, Tìm số tự nhiên có chữ số vừa số phương vừa lập phương Bài (4 điểm ): a, Tìm số thực x để đồng thời số nguyên b, Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức +3 Bài (6,5 điểm ): 1, Cho ABC vuông A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Bx, Cy vng góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt Bx Cy P Q Chứng minh: a, AP = BP AQ = CQ b, PC qua trung điểm AH c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động cho góc BAC 90 Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn 2, Chứng minh rằng: Nếu tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Họ tên thí sinh SBD https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ TỰ Ý NỘI DUNG ĐKXĐ: 0,5đ , a (2đ) Rút gọn được: Bài (5đ) 1,5đ 0,5đ thỏa mãn ĐK b (1,5đ) Thay vào A tính • c (1,5đ) 1đ (1) • Bài (4,5đ) b (1,5đ) c (1,5đ) 0,5đ 0,5đ Mà 0,5đ • Thay A vào (1) tìm a (1,5đ) ĐIỂM • • Lập luận • Mà hai số nguyên tố  Vậy • ĐK Chuyển vế, vế khơng âm bình phương ta có  • Để PT có nghiệm • Đối chiếu ĐK => x = thỏa mãn tốn • Gọi số phương cần tìm Vì vừa số phương vừa lập phương => với • Vì => y số phương Mà 1000 9999  10 y phương • Tìm y=16 => = 4096 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ • Đặt Từ (1) => Bài (4đ) Thay vào (2) => a (2đ) • Biến đổi đưa Vì => => • Với m = n =4 => • m=n= https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ => m = n 0,5đ 0,5đ 0,5đ • Vì a,b,c số thực dương a + b + c =  • Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: 0,5đ 1đ +3 b (2đ) ( Do a + b + c = ) • => Vẽ hình 0,5đ 1a (2đ) Bài (6,5đ) 1b (1,5đ) 0,5đ 0,5đ • Do ABC vng A nên MA=MB=MC • Từ cặp tam giác vng sau nhau: (cạnh huyền-cạnh góc vng) • => PA=PB; QA=QC Gọi giao điểm PC AH I • Vì IA//QC QA=QC nên ta có: 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ • Mặt khác ta có: ( Vì AI//QC ); • Từ ta có: 1c (1,5đ) 0,5đ ( Vì IH//PB) 0,5đ , suy IH=IA (vì PA=PB) 0,25đ • Ta có  • Lại có  vng A có AH đường cao ( Hệ thức tam giác vuông ) 0,25đ • => 0,5đ • 0,25đ • Suy https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25đ  Giá trị lớn BH = 3HC hay 2, (1đ) • Vẽ tam giác ABC đường cao BH • Gọi A góc nhỏ => • Ta có 1đ • Do Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HUYỆN Ý YÊN NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức: + + − Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c  xy + x   x +1 + + ÷:  − Cho biểu thức A =  ÷   xy + 1 − xy   a) Rút gọn biểu thức A b) Cho xy + x xy − x +1  ÷ với x, y > 0; xy≠ xy + ÷ − + =6 Tìm giá trị lớn biểu thức A x y Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: 12x − 3x − = 3x +  x + xy − 2y = Giải hệ phương trình:   x + 5y + = Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x + 4x = 19 − 3y Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A không trùng với B C) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC);HM ⊥ AB (M∈ AB); HN ⊥ AC (N∈ AC) CN  AC  · · = Chứng minh: sin AMN + cos2OAC = ÷ BM  AB  2 Gọi D điểm nằm O C;Kẻ DE ⊥ AB (E∈ AB);DF ⊥ AC (F ∈ AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1 Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: + x + + y + + z = Chứng minhrằng: x + y + z ≤ xyz …………….Hết …….…… Họ tên thí sinh:……………………………… ………………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:………………………………… ………………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018 - 2019 Nội dung Điểm Câu ( 6, 0điểm) (1,0 đ).Rút gọn + + − Ta có 2+ + 2− = 4+2 + −2 = ( +1) + ( −1) 2 ( +1 + −1) = = ⇒ 2+ + 2− = 2 = 0,5 0,5 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 0,5 1 1  1 1  + + =  + + ÷ − 2 + + ÷ a b c a b c  ab bc ca  Ta có 0,5 0,5 1 1  a+b+c  =  + + ÷ − 2 ÷ a b c  abc  1 1 =  + + ÷ (do a + b + c = ) a b c 0,5 1 + + a b c =  x +1    xy + x xy + x + + 1÷: 1 − − x +1 ÷ 3.(3,0 đ) Cho biểu thức A =  ÷ xy − xy + ÷  xy + 1 − xy    với x, y > 0; xy ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Cho + =6 Tìm giá trị lớn A x y a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có: A= ( x + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) ( ( = ( ( xy + 1) ( − xy ) : xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) ( xy + 1) ( − xy ) x + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( − xy ) xy + 1) ( − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( − xy ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ = 0,5 = 0,5 = 2+2 x = 2x y + xy xy 1,0 b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ; x y , ta có: + =6 ⇒ ≤9 (do ) x y xy xy + ≥2 x y   Dấu xảy ⇔   = x y + =6 x y ⇔x = y = Vậy giá trị lớn A x = y = 0,5 (thỏa mãn) 0,5 Câu 2.( 5,0 điểm) 1.(2,5đ) Giải phương trình 12x − 3x − = 3x + Đ: x ≥ − 0,25 0,5 12x − 3x − = 3x + ( ) ⇔ 12x − 3x − = x + 1( ÐK :12x − 3x − ≥ 0) ⇔ 144 x + x + − 72 x − 24 x + x = x + ⇔ 144 x − 72 x − 15 x + x = ( ) 0,5 ⇔ x 144 x − 72 x − 15 x + =  x = 0(ktm) ⇔ 144 x − 72 x − 15 x + = 0(1) ( ) (1) ⇔ ( x + 1) 36 x − 27 x + = 0,5đ  x = − (tm)  ⇔  36 x − 27 x + = 0(2) Giải (2) tìm hai nghiệm x1 = 27 + 297 27 − 297 (tm); x2 = ( ktm) 72 72 KL nghiệm pt… 0,5 0,25  x + xy − 2y = 2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình   x + 5y + = ( *) x + xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = ta x = y x = -2y Với x = y thay vào phương trình (*) ta pt y2 +5 y +4 = Giải phương trình, tìm y = -1; y = -4 Từ tìm x https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 0,5 0,25 Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta 4y + 5y + = Chứng minh 0,5đ phương trình vơ nghiệm KL nghiệm hệ 0,25đ Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: x + x = 19 − y 0,5 x + x = 19 − y x + x + = 21 − y ⇔ 2( x + 1) = 3(7 − y ) (1) Với x, y nguyên vế trái (1) chia hết từ (1) có: 3(7 − y )M2 ⇒ − y M2 ⇒ y lẻ 0,5 Ta lại có − y ≥ nên y = Khi 2( x + 1)2 = 18 0,5 Ta được: x + = ±3 , đó: x1 = 2; x2 = −4 Các cặp số (2 ; 1), ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25 0,25 Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A nằm đường tròn (A khơng trùng với B C) Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC);HM ⊥ AB (M ∈ AB); HN ⊥ AC (N ∈ AC) CN  AC  · · Chứng minh: sin AMN = + cos2OAC = BM  AB ÷  2 Gọi D điểm nằm O C; Kẻ DE ⊥ AB (E ∈ AB);DF ⊥ AC (F ∈ AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC Xác định vị trí điểm A đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn Khi tính diện tích tứ giác AMHN theo R 1.(2đ) Chứng minh Do sin2 + cos2 = = sin2 (= 0,5 ) + cos2 CM AC2 = CH.BC ; AB2 = BH.BC Do 0,25 =1 ⇒ CM CH =CN.AC ; BH = BM AB Kết hợp với (1) ⇒ 2 (1) 0,5 0,5 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ⇒ (đpcm) 2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí Talet ta có 0,5 ( CM DF = AE)(2) CM tương tự có: (3) 0,5 Nhân vế (2) (3) ta có Áp dụng tính chất dãy tỉ số có: 0,25 Từ CM DB.DC = EA.EB + FA.FC.(đpcm) 0,25 3.(1,5đ) CM AMHN hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25 CM AH = AM.AB ⇒ AM = CM tương tự có AN= 0,5 (5) (6) 0,5 Từ (4),(5),(6) có SAMHN = Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác AMHN đường tròn (O), cho ABC vng cân A Khi điểm A thuộc Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: 0,25 1 + + =1 1+ x 1+ y 1+ z Chứng minhrằng: x + y + z ≤ Ta đặt ⇒x= xyz 1 = a, = b, = c (ĐK: a, b, c > ) 1+ x 1+ y 1+ z 0,5 1− a b + c 1−b a + c 1− c a + b = ,y= = ,z = = a a b b c c Do x + y + z ≤ CM : xyz ⇔ a b b c c a + + ≤ (*) b+c c+a c+a a +b a+b b+c a b 1 a b  ≤  + ÷ b+c c+a 2 a+c b+c b c 1 b c  ≤  + ÷ c+a a+b 2b+a c+a  https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 c a 1 c a  ≤  + ÷ a+b b+c 2c+b a +b  Do a b b c c a 1 a b b c c a  + + ≤  + + + + + ÷= b+c c+a c+a a +b a +b b+c 2 a +c b+c b +a c +a c +b a +b  Vậy BĐT(*) đúng, suy đpcm https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 ... phương cần tìm Vì vừa số phương vừa lập phương => với • Vì => y số phương Mà 1000 99 99  10 y phương • Tìm y=16 => = 4 096 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ • Đặt Từ (1) => Bài (4đ)...HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN NĂM HỌC: 2018- 20 19 THỨ TỰ Ý NỘI DUNG ĐKXĐ: 0,5đ , a (2đ) Rút gọn được: Bài (5đ) 1,5đ 0,5đ thỏa mãn ĐK... SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HUYỆN Ý YÊN NĂM HỌC 2018 - 20 19 MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu (6,0 điểm) Rút gọn biểu thức: