DE THI HSG TOAN 9 NAM HOC 2018 2019

PHỊNG GD &ĐT HUYỆN TAM NƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào làm Câu Cho A= (x − x − 1) : (x + 1 ) + 2(x + ) − (Với x ≠ ) Để A đạt giá trị nhỏ x x x bằng: A − Câu Cho P = ( B ± C −1 D 1+ a 1− a 1 + ).( − − ) a a 1+ a − 1− a 1− a −1+ a Giá trị P x = 0,201920192019… là: A - B C D -2 Câu Cho điểm A(1;2); B(-3;-4): C(3;4) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: ) 3 A ( − ; ) 3 B ( ; C ( ; − ) D Một kết khác 11 ), B( − ; ), C( − ; − ), D thuộc mặt phẳng 5 5 5 Câu Cho bốn điểm A( ; tọa độ Oxy Tìm tọa độ điểm D, để tứ giác ABDC hình chữ nhật A (-2;1) B (-1;-2) C (-2;-1) D (2;1) Câu Giá trị m, để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng y = (1-m)x + lớn nhất: A m = B m = C m = -1 D m = Câu Biết phương trình x +ax+b=0 có hai nghiệm nguyên dương 5a + b =22 Hai nghiệm nguyên dương là: A S = { 3;5} B S = { 12;17} C S = { 18; 40} Câu Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình x − mx − D S = { 6;52} = Giá trị nhỏ m2 A = x14 + x24 là: A + 2 B − 2 C + 2 D − 2 Câu Cho phương trình (x + 1) − (m − 1)(x + 1) − m + m − = (1) Tìm m để phương (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = : A 1− 1+ ≤m≤ 2 B − 5 ≤m≤ 2 C ≤m≤ 2 D 1− 1+ ≤m≤ 4 Câu Cho x, y cạnh tam giác vng có cạnh huyền Giá trị lớn biểu thức P = x y là: A B C D Câu 10 Cho tam giác ABC có góc A tù Các đường trung tuyến AM, đường cao AH : A C Tan∠HAM = (Cot ∠A − Cot ∠C ) Tan∠HAM = (Cot ∠B − Cot ∠C ) B D (Cot ∠C − Cot ∠B ) Tan∠HAM = (Cos∠A − Cos∠C ) Tan∠HAM = Câu 11 Cho tam giác nhọn ABC đường cao AH , BK, CL Khi đó: A S ABC = S HBL Cos B B S ABC = S HKL Cos 2C C S HKC = S ABC Cos 2C D S ALK = S ABC Cos A Câu 12 Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM, BE, CF có độ dài tương ứng cm, 4cm, 3cm độ dài cạnh BC là: 10 C cm D cm A cm B cm 3 Câu 13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có AB=8cm, AC=15cm, đường cao AH =5cm ( H ∈ BC ) Bán kính đường tròn là: A R = cm B R = 12 cm C R = 13 cm D R = 11 cm Câu 14 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), cung nhỏ BC lấy điểm M Giá trị lớn MA + MB + MC là: A 4R B 2R C 3R D 2,5R Câu 15 Cho hình vng ABCD, O thuộc đoạn AC Đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng AB, AD cắt cạnh BC, CD thành hai đoạn có độ dài cm 23 cm bán kính đường tròn là: A 37 cm B 35 cm C 17 cm D 20 cm Câu 16 Ơng An có mảnh vườn hình chữ nhật ABCD, AB=80m, AD=30m Ơng dự tính chia mảnh vườn làm ba gồm mảnh hình tam giác ADE, ABE, BEC với E cạnh DC cho mảnh hình tam giác ABE có chu vi nhỏ Khi chu vi hai mảnh ADE BCE A 140m B 240m C 180m D 160m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm x, y số tự nhiên cho: x = y + y + 11y + y b) Cho x, y, z số thực cho ( x + y )( y + x)( z + x) ≠ ( x + y + z )( 1 1 + + ) = tính giá trị biểu thức: x+ y y+z z+x P = ( x + y + z )3 + x3   ( x + y + z )3 + y   ( x + y + z )3 + z  Câu 2: (3,5 điểm) a) Giải phương trình: 3( + x − ) = 2x+ x +  x + xy − x + y = b) Giải hệ phương trình:  2  x + 3x y − x + y = Câu 3:( 4,5 điểm) Cho tam giác ABC , đường cao AH , M điểm cạnh BC Gọi P Q hình chiếu M hai cạnh AB AC; I trung điểm AM a) Tìm vị trí M BC để đoạn thẳng PQ có độ dài lớn nhất, nhỏ b) Gọi O giao điểm IH PQ Chứng minh M thay đổi cạnh BC MO ln qua điểm cố định Câu 4: (1 điểm) Với số thực x,y,z dương thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 +3 + ≥3 yz zx xy HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN LẦN Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,50 điểm Câu Đáp án C A B C B D A A D 10 11 12 13 14 15 B,C C,D B B A C 16 B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Tìm x, y số tự nhiên cho: x = y + y + 11y + y b) Cho x, y, z số thực cho ( x + y )( y + x)( z + x) ≠ ( x + y + z )( 1 1 + + ) = tính giá trị biểu thức: x+ y y+z z+x P = ( x + y + z )3 + x3   ( x + y + z )3 + y   ( x + y + z )3 + z  Nội dung cần đạt a) x = y + y + 11y + y ⇔ x = y ( y + 2)( y + 1)( y + 3) ⇔ x = ( y + y )( y + y + 2) ⇔ x = a + 2a ( a ∈ N , a = y + y ) + a = ⇒ x = ⇒ x = 0, y = + a > ⇒ a < x < (a + 1) nên x số phương Vậy: ( x; y ) = (0;0) Điểm 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 B, Đặt x+y=a, y+z=b, z+x=c a,b,c khác khơng và: 1 1 1 + + ) = ⇔ ( x + y + y + z + z + x )( + + ) =1 x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x 1 (a + b + c)( + + ) = a b c ( x + y + z )( 0,25 0,25 1 1 1 1 + + = ⇔ + + − = ⇔ (a + b)(b + c)(c + a ) = a b c a +b+c a b c a +b +c 0,5 ⇔ ( x + y + z )( x + y + z )(2 x + y + z ) = 0,25 x + y + z = x + y + z = − y  ⇔  x + y + z = ⇔  x + y + z = − z ⇒ P =  x + y + z =  x + y + z = − x 0,25 Câu 2(3,5 điểm) a) Giải phương trình: 3( + x − ) = 2x+ x +  x + xy − x + y = b) Giải phương trình:  2  x + 3x y − x + y = Nội dung a) ĐKXĐ: x ≥ Đặt t = x − ( t ≥ ) ⇒ x = t + Phương trình (1) ⇔ 3(2 + t) = 2(t + 2) + t + ⇔ −2t + 3t + = t +  −  2t + 3t + ≥ − ≤ t ≤ ⇔ ⇔  2 2 ( −2t + 3t + 2) = t + t − 3t + 3t − =   − ≤ t ≤ t =  − ≤ t ≤  t = ±1 ⇔ ⇔  ⇒  3− t = (t − 1)(t + 1)(t − t + 1) =  ±    t =   Với t = ⇒ x − = ⇔ x = (T/m ĐKXĐ); Với t= 3− 3− 11 − ⇒ x−2 = ⇔x= 2  11 −      Vậy tập nghiệm S = 3;  x + xy − x + y = b) Ta có :  2  x + 3x y − x + y = Nếu x = ⇒ y = Do (x:y)=(0;0) nghiệm hpt 0,25 y  x + + y −3=  x Nếu x ≠ Hpt ⇔   x2 + y + y − =  x2 0,25 Đặt u= x + u + v = v = −u u = −1 y ⇔ ⇔ ; v = y − Hpt ⇔  x v = u + v − = u − u − = u =   v = −2 0,5 y  u = −1 x + =  y = ⇔ ⇔ x TH 1:  HPT vô nghiệm v = x − x + =  y − = 0,25 y  y =1 u = x = x + = ⇔ ⇔ ⇔ x TH 2:   v = −2 y =1 x − 2x + =  y − = −2 0,25 x = x =  y =1 y = Vậy hpt có nghiệm (x;y) là:  0,25 Câu 3(4,5 điểm) Câu Đáp án Hình vẽ A K J T P I Q O E F B 3a Thang điểm 0,25 H C M AM AM + = AM 2 ⇒ PQ ≤ AM ≤ AC PQ ≤ PI + IQ =  PQ lớn AC M trùng B trùng C PQ = AM ⇒ PQ = AM.sin 600 ≥ AH.sin 600 sin A  PQ nhỏ AH M trùng với H Các điểm A, P, H, M, Q nằm đường tròn đường kính AM · · Tứ giác: APHQ nội tiếp mà PAH = HAQ ⇒ PH = HQ Ta có: HP=HQ, IP=IQ => IH qua O Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E, F giao điểm BK PM, CJ MQ Dễ thấy tứ giác METF hình bình hành ME MF = = ⇒ EF//PQ MP MQ Gọi N trung điểm EF Theo bổ đề hình thang ta có T, O, N, M thẳng hàng Vậy MO ln qua điểm T cố định M di động BC Câu 4: (1 điểm) Với số thực x,y,z dương thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: 0,5 0,5 0,5 0,5 3b x2 y2 z2 +3 + ≥3 yz zx xy 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Nội dung cần đạt Điểm Áp dụng BĐT cô si cho số dương: x2 y2 z2 +3 + = yz zx xy x2 y2 z2 3x 3y 3z + + ≥ + + y.z.1 z.x.1 x y.1 + y + z + z + x + x + y x2 y2 z2 ( x + y + z )2 = 3( + + )≥3 =3 1+ y + z 1+ z + x 1+ x + y + 2( x + y + z ) 0,25 0,25 0,5 ... + y + z = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 +3 + ≥3 yz zx xy HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN LẦN Năm học: 2018 - 20 19 Mơn: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,50 điểm Câu... tính chia mảnh vườn làm ba gồm mảnh hình tam giác ADE, ABE, BEC với E cạnh DC cho mảnh hình tam giác ABE có chu vi nhỏ Khi chu vi hai mảnh ADE BCE A 140m B 240m C 180m D 160m II PHẦN TỰ LUẬN