Lấy điểm D trên đoạn OB.. Đường trung trực của đoạn AD cắt O tại C và cắt AD tại H.. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng: a AC song song với DE b HE là tiếp tuyến của đ
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KRÔNG NĂNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CẤP THCS
Năm học: 2018 – 2019 Môn: Toán lớp 9.
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức
P =
b a2 ab
b a a a b b
:
a b
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa?
b) Rút gọn P
c) Chứng tỏ P 0
Câu 2 (3 điểm): Gi¶i ph¬ng tr×nh:
2 2018 2018
Câu 3 (6 điểm):
a) Chứng minh phân số sau tối giản với nZ
12n 1 26n 2
b) Chứng minh abcabc 7 là hợp số
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=2x2-2xy+5y2+5
Câu 4 (5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D trên đoạn
OB Đường trung trực của đoạn AD cắt (O) tại C và cắt AD tại H Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Chứng minh rằng:
a) AC song song với DE b) HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
Câu 5 (2 điểm): Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Các cạnh BC,
BA, AC tiếp xúc với đường tròn lần lượt tại D, F, E Chứng minh rằng, nếu tam giác ABC vuông tại A thì SABC = BD.DC
……….HẾT………
Krông Năng, ngày 21 tháng 1 năm 2019 Duyệt của chuyên môn nhà trường Giáo viên ra đề
Trang 2Nguyễn Văn Châu
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KRÔNG NĂNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
4đ
a) Điều kiện
a 0
b 0
a b
b)
a ab b b ab a
a b b ab a ab
b ab a
1
0.5
0.5
c) Ta có
a 0
b 0
a b
, áp dụng BĐT Cô - si cho hai số a và b:
a b 2 ab ab
b ab a 0
Do đó
ab
b ab a
0,25
0,5 0.25 0,25
Câu 2
3đ
Giải phương trình : x2 x 2018 2018 (1)
ĐKXĐ: x - 2018
Biến đổi phương trình:
(1) x2 x x 2018 2018 x
Đặt a = x 2018 (a 0), ta có: x2 + x + a = a2 (x2 – a2) + (x + a) = 0
(x + a)(x – a + 1) = 0
x1 = - a; x2 = a – 1
+) Với x = - a, ta có: x = - x 2018(ĐK: x 0)
x2 = x + 2018 x2 – x – 2018 = 0 x1 =
1 3 897
0 2
( loại)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 32 1 1
1
K
E C
D
x2 =
1 3 897
0 2
(chọn) +) Với x = a – 1, ta có: x = x 2018 1 x 2018=x + 1 (ĐK: x - 1)
x + 2018 = (x + 1)2 x2 + x – 2017 = 0
x1 =
1 2
(loại)
x2 =
2
(chọn) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: 1 2
;
x x
0,25 0,25 0,25
0,25 0,5
Câu 3
6đ
a) Giả sử d=(12n+1, 26n+2) Khi đó,
12n 1 d 156n 13 d 26n 2 d 156n 12 d (156n 13) (156n 12) 1 d
d 1
Vậy
12n 1 26n 2
là phân số tối giản
0.25 0,5 0,5 0.25 0.25
0.25
b) abcabc 7=a.105b.104c.103a.102b.10 c 7
100100 10010 1001 7
1001 100 10 7
vì 10017 và 77 nên 1001 100 10 a b c chia hết cho 77
0.5 0.5
0.5 0.5
c) C=2x2-2xy+5y2+5=(x2-4xy+4y2)+(x2+2xy+y2)+5
=(x-2y)2+(x+y)2+5
vì (x-2y)2 0 và (x+y)2 0 nên (x-2y)2+(x+y)2+55 với mọi x,y
GTNN của C là 5
và C có GTNN là 5 khi
0
x y
x y
0 0
x y
0.5 0.5 0.5 0.25 0.25
Câu 4
5đ
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng theo
yêu cầu chung của đề bài
0,5
Trang 4a) Tam giác ACB vuông tại C
Tam giác DEB vuông tại E
Suy ra ACB = DEB =90 0
Do đó AC// DE
b) Gọi K là trung điểm của CE, I là trung điểm của BD
Có HK là đường trung bình của hình thang ACED
=> HK vuông góc với CE
=> CHE cân tại H
=> E =C1 1 Có E =B 2 1 và B 1 C1 900
=> E +E1 2 900=> HEI 90 0
Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 0,5 0,25 0.5 0.25 0,25 0.25 Câu 5
2đ
B
C A
D
F
E
Đặt AB=c, AC=b, BC=a
Đường tròn (O) tiếp xúc với AC,AB theo thứ tự tại E và F Ta có:
2DB=BD+BF=(BC-DC)+(AB-FA)
=(BC+AB)-(DC+FA)
=BC+AB-(CE+EA)
=BC+AB-AC
0.25
0,25
0.25
Trang 5=a+c-b=a-(b-c)
Tương tự, 2DC=a+(b-c)
Suy ra
4DB.DC a (b c)
a (b c ) 2bc (1)
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì a2 b2 c2
và ABC
Từ (1) và (2) suy ra BD.DC=
1 bc
2 =SABC
0,25
0,25 0.25 0.25 0.25
Hướng dẫn chấm
- Giáo viên chấm có thể chia điểm thành phần đến 0,25 điểm cho từng câu để chấm
- Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần
- Học sinh có thể giải theo cách khác với đáp án nhưng đúng và chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa tương ứng
Hết
Krông Năng, ngày 21 tháng 1 năm 2019 Duyệt của chuyên môn nhà trường Giáo viên ra đề
Nguyễn Văn Châu