Đề thi HSG lớp 9 năm học 2018 2019 (1)

UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD &ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2018 - 2019 Mơn: Tốn Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 02 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào làm Câu Cho a > b > thỏa mãn 2a2 + 2b2 = 5ab Giá trị biểu thức P = A.1 B C  a − a  Câu Cho biểu thức P =  − ÷1 + a − ÷   a+b bằng: a−b D a + a +1 ÷+ a Giá trị lớn P là: a + ÷ A B C D 10 Câu Cho x = + + − Giá trị biểu thức A = x3 − x + 2009 bằng: A 2019 B 2020 C 2018 D 2017 Câu Giá trị nhỏ biểu thức A = x − x + bằng: B – C −3 D − A −4 Câu Giá trị x = + + − nghiệm phương trình: A x3 + 3x + = B x3 + 3x − = C x3 − 3x − = D x − x = Câu Biết ( x + x + 2018)( y + y + 2018) = 2018 giá trị x 2019 + y 2019 bằng: A 2018 B C 4036 D Câu Cặp sớ (x; y) thỏa mãn phương trình 3x – 6x + y – = để y đạt giá trị lớn là: A (1; 5) B (-1; 5) C (1; -5) D (5; 1) Câu Giá trị x thỏa mãn x − − < là: 1 A x < 25 B ≤ x < C x ≥ D ≤ x < 25 2 Câu Cho a, b, c dương thỏa mãn a a + b b + c c = abc Giá trị biểu thức  P =  +  A a   + b  b   + c  c  bằng: a  B C D 27 Câu 10 Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH, có AH = 12 cm tanB = Khi độ dài đoạn HB bằng: 24 A 16 cm cm B C cm D cm Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH Gọi D E hình chiếu vng góc H cạnh AB, AC Biết BH = cm , CH = cm Khi độ dài đoạn thẳng DE là: A 36 cm B cm C 13 cm D cm Câu 12 Cho hình thang ABCD vng tại A D , biết AB = cm , AD = cm , hai đường chéo AC BD vng góc với Khi diện tích hình thang ABCD là: A 24 cm B 30 cm C 39 cm D 40 cm Câu 13 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, AB = 4cm, AC = 6cm Điểm O chia đoạn AD theo tỉ số 2:1 Gọi K giao điểm BO AC Tỉ số A B C AK bằng: KC D Câu 14 Cho tam giác vng có chu vi 72cm, hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền 7cm Diện tích tam giác vng là: A 72 cm B 112 cm C 144 cm D 162 cm Câu 15 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm Biết hai đường trung tuyến từ đỉnh B C vng góc với Khi độ dài cạnh BC là: A 10 cm D 12 cm B cm C cm Câu 16 Một cột đèn cao 7m có bóng mặt đất dài 4m Gần cột đèn có tòa nhà cao tầng có bóng mặt đất 80m Biết tầng cao 2m sớ tầng tòa nhà là: A 80 B 70 C 32 D 28 7m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) 80m 4m Câu 17 (3,0 điểm) a) Tìm sớ tự nhiên n để ( n − ) + 36 có giá trị sớ nguyên tố b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguyên tố Chứng minh ( n − 1) M40 Câu 18 (3,0 điểm) Cho biểu thức A = x2 − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm x để biểu thức B = x nhận giá trị số nguyên A Câu 19 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH = 12cm, BC = 25cm.Vẽ trung tuyến AM a) Tính ·AMH (làm tròn kết đến phút); b) Tính diện tích tam giác AHM Câu 20 (3,0 điểm) Cho tam ABC cân tại A, AH đường cao, gọi D trung điểm đoạn thẳng AH Vẽ HE vng góc với CD tại E Chứng minh ·AEB = 900 Câu 21 (1,0 điểm) Cho a, b, c dương, thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn S = a +b + b+c + c +a -HẾT -Họ tên thí sinh: Sớ báo danh: Cán coi thi không giải thích thêm./ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2018 - 2019 Môn: Toán Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống cho điểm Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai khơng tính điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,50 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án C C A D B D A D C A B B C D C B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 17 (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để ( n − ) + 36 có giá trị sớ ngun tớ b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguên tố Chứng minh ( n − 1) M40 Nội dung cần đạt Điểm a) Phân tích được: ( n2 − 8) + 36 = ( n − 6n + 10 ) ( n + 6n + 10 ) 0,50 Vì n sớ tự nhiên nên n + 6n +A 10 > n − 6n + 10 Khi đó, để ( n − ) + 36 F 2 có giá trị sớ ngun tớ n − 6n + 10 = ⇔ ( n − 3) = ⇔ n = Thử lại: với n = ( n2 − 8) + 36 = 37 số nguyên tố Vậy n = thỏa 0,50 mãn b) Vì n 10 hai sớ ngun tớ nên n không chia hết cho ⇒ n chia dư hoặc K ⇒ n − chia hết cho (1) Mặt khác, n không chiaDhết 0,50 0,50 E n = 2k + ⇒ n − = ( n − 1) ( n + 1) ( n + 1) = 4k ( k + 1) ( n + 1) M (2) 0,50 Từ (1) (2) (5;8) = nên n − 1M40 0,50 Câu 18 (3,0 điểm) Cho biểu thức A = B a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm x để biểu thức B = H x2 − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 C x nhận giá trị số nguyên A Nội dung cần đạt Điểm a) Với điều kiện x > 0, x ≠ , 0,25 1,25 rút gọn A = x − x + b) Khi 0≤B= x = x − x +1 nguyên nên B ∈ { 0;1; 2} ≤ x+ − x x × −1 x =2 Vì B sớ 0,50 + Nếu B = x = ⇔ x = (loại) x − x +1 0,25 + Nếu B = x = ⇔ x = ± (thỏa mãn) x − x +1 0,50 + Nếu B = x = ⇔ x = (khơng thỏa mãn) x − x +1 0,25 Vậy: x = ± B có giá trị số nguyên Câu 19 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH = 12cm, BC = 25cm.Vẽ trung tuyến AM a) Tính ·AMH (làm tròn kết đến phút); b) Tính diện tích tam giác AHM Nội dung cần đạt Vẽ hình: Điểm B H M C A a) Trong tam giác vng ABC, ta có : AM = BC 25 = = 12,5 (cm) 2 Trong tam giác vuông AMH, ta có: SinM = AH 12 = AM 12,5 0,25 0,50 Suy ·AMH ; 74o 44 ' 0,25 b) Trong tam giác vng AMH, ta có: MH = 12,52 − 122 = 3,5 (cm) A 1 S ∆AHM = AH HMF = 12.3,5 = 21 (cm2) 0,50 0,50 2 Câu 20 (3,0 điểm) Cho tam ABC cân tại A, AH đường cao, gọi D trung điểm đoạn thẳng AH Vẽ HE vng góc với CD tại E Chứng minh ·AEB = 900 Nội dung cần đạt K • Vẽ hình: D Điểm E B H C Dựng hình bình hành ACHF, suy AF = CH; AF//CH 0,50 Ta có, BH = CH ⇒ AF = BH; AF//BH, mà ·AHB = 900 nên AHBF hình chữ nhật 0,50 Gọi K giao điểm AB HK ⇒ AK = KB = KH = KF (1) 0,50 Vì ACHF hình bình hành, D trung điểm AH nên C, D, F thẳng hàng Tam giác HEF vuông tại E, có EK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên KE = 1 FH = AB (Tính chất hình chữ nhật) 2 Suy tam giác AEB vuông tại E Hay ·AEB = 900 0,50 0,50 0,50 Câu 21 (1,0 điểm) Cho a, b, c dương, thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn S = a +b + b+c + c +a Nội dung cần đạt Viết lại S =    ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) Điểm 2 ÷ 3÷  2 2  a+b+ b+c+ c+a+ ÷  3+ 3+ = Áp dụng BĐT Cosi, ta có S ≤  ÷  2 ÷   (do a + b + c = ) dấu "=" xảy a = b = c = Vậy, MaxS = ⇔ a = b = c = 0,25 0,25 0,25 0,25 HẾT ... khơng giải thích thêm./ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2018 - 20 19 Mơn: Tốn Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống cho điểm Học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai... minh ·AEB = 90 0 Câu 21 (1,0 điểm) Cho a, b, c dương, thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn S = a +b + b+c + c +a -HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi khơng... chia dư hoặc K ⇒ n − chia hết cho (1) Mặt khác, n không chiaDhết 0,50 0,50 E n = 2k + ⇒ n − = ( n − 1) ( n + 1) ( n + 1) = 4k ( k + 1) ( n + 1) M (2) 0,50 Từ (1) (2) (5;8) = nên n − 1M40 0,50