Cho O;R, hai đường kính AH và DE.. Gọi M, N là trung điểm của BH và HC.. a Chứng minh: DM, EN là tiếp tuyến của O b Chứng minh: Trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH c Hai đườ
Trang 1Hướng dẫn
Trang 2Câu 1 ĐKXĐ: x 0; x 1
a) Rút gọn P được: P x 16
x 3
x 3
x 16 10 x x 10 x 25 9 0 x 5 9 0
x 5 3 x 5 3 0
x 4(t.m)
x 2
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số không âm ta có
Dấu = khi x= 4 (t/m)
Vậy MinA = 4 khi x = 4
Câu 2
P 2x 4x 2x x 2x 1 1 2x x 2x 1 x 2x 1 1
=> P = 1
b) ta có tổng quát với n là số tự nhiên khác 0
ta có
=>
1 1 12 1 12
3 1 2
; 5 21 3 12 12 13
; 7 31 4 12 13 14
Bài 3 b) ta có điểm cắt trục tung có tọa độ là A(0; - 1) => OA = 1
Điểm cắt trục hoành B có tọa độ là B 1 ; 0
2m 3
=>OB =
1 2m 3
Tam giác OAB vuông tại O => SAOB= 1.1. 1 3 1 6 1 6
2 2m 3 2m 3 2m 3
=> tính được giá trị của m
Trang 3Bài 4
b) ĐKXĐ: x 3
pt tương đương:
x 11x 24 1 x 8 x 3
x 11x 24 1 2 x 11x 24 x 8 x 3 2 x 11x 24
2
(t.m) hoặc x = - 7 (không t.m)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 2
Bài 5 Cho (O;R), hai đường kính AH và DE Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AD và
AE kéo dài tại B và C Gọi M, N là trung điểm của BH và HC
a) Chứng minh: DM, EN là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh: Trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c) Hai đường kính AH và DE của (O) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất
Trang 4a) Chứng minh: DM, EN là tiếp tuyến của (O)
ta có tam giác ADH nội tiếp (O) có AH là đường kính => tam giác ADH vuông tại D
=> tam giác BDH vuông tại D => DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền =>
DM = MH => tam giác DOM = tam giác HOM (c.c.c) => góc ODM = góc OHM =
900 => DM là tiếp tuyến (O)
chứng minh tương tự ta có EN là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh: Trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
ta có tam giác ADE nội tiếp (O), có DE là đường kính => tam giác ADE vuông tại E
=> góc DAE = 900 => tam giác HAB đồng dạng với tam giác HCA (g.g)
=> HA/HC = AB/AC; mà AH = 2AO; HC = 2CN => AB/AC = AO/CN => tam giác AOB đồng dạng với tam giác CAN (c.g.c) => góc ABO = góc CAN
Mà góc CAN + góc BAN = 900 => góc ABO + góc BAN = 900 => BO vuông góc với
AN Lại có I là trực tâm tam giác AMN => MI vuông góc với AN => BO //MI
Do M là trung điểm của BH => I là trung điểm của OI
c) Hai đường kính AH và DE của (O) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất
Ta có SAMN 1MN.AH
2
Do AH = 2R không đổi nên SAMN nhỏ nhất MN nhỏ nhất
Mà MN = MH + HN = 1BH 1CH 1BC
2 2 2
=> MN nhỏ nhất BC nhỏ nhất
2 BH.HC 2 AH 2AH
= BH.HC) Dấu = xảy ra BH = HC tam giác ABC vuông cân tại A AH là phân giác của góc BAC => tam giác ADE vuông cân tại A AO vuông góc với DE hay AH
vuông góc với AD
Vậy AH vuông góc với DE thì diện tích tam giác AMN nhỏ nhất
Bài 6
Ta có
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số không âm ta có
2
3
2
Do đó S 6 13 19 Dấu = xảy ra khi x = 3
2 (t.m) Vậy MinS = 19 khi x = 3
2
-Hết -