Tính quãng đường AB.. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB.. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N..
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 8
(Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: A = : 1 2
1
1 1
1
2
2 2 3
3
x
x x x x
x x x
x
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn A
c) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị là số nguyên
d) Tìm điều kiện của x để A > - 1
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: x 3 x 2 7
b) Chứng minh bất đẳng thức: (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 36 0 với mọi x c) Cho x, y, z 0 và x + 5y = 21; 2x + 3z = 51 Tìm giá trị lớn nhất của tổng:
B = x + y + z
Bài 3 (1,0 điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được
15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB
Bài 4 (2,0 điểm)
a) Cho 2012a 2013b 2014c Chứng minh rằng: 4(a – b)(b – c) = (a – c)2
2 2 2
c a c
b c b
c a c
b c b
a
Tính
a + b + c
c) Chứng minh rằng, với a, b là hai số dương khác nhau thì a3 – 3ab2 + 2b3 cũng là
số dương
Bài 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N
a) Chứng minh: CAI CBN
b) Chứng minh: ABC INC
c) Chứng minh: M I N
= 900 d) Tìm vị trí điểm I sao cho SIMN = 2SABC
-Hết -Họ và tên thí sinh:……….…Số báo danh:……… Chữ ký của giám thị số 1:……….………
Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 8
Bài 1
a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 2 (*) 0,5 điểm
2,0 điểm
b) A = (x2 + 2x + 1)(x2 – 2x + 1)
22
2
1
2
x x
x
= (x + 1)2.(x – 1)2
22
2
1
2
x x
x
= (1 – x2)2
22
2
1
2
x x
x
=
x
x2 2
0,5 điểm
c) A = x – 2x
Với x nguyên, để A nguyên thì x2 nguyên
x Ư(2) x 1; - 1; 2; - 2
Kết hợp điều kiện (*), ta được: x = 2
0,5 điểm
d) A > - 1
x
x2 2
> - 1
x
x2 2
2
x
x x
1 2 0
x
x x
-2 <x < 0 hoặc x > 1 x <x < 0 hoặc x > 1 0 hoặc x > 1 0,5 điểm
Bài 2
a) – Với x <x < 0 hoặc x > 1 - 2 thì x + 2 <x < 0 hoặc x > 1 0 và x – 3 <x < 0 hoặc x > 1 0, ta có pt:
3 – x – x – 2 = 7 2x = - 6 x = - 3 (thỏa mãn
nên chọn)
- Với – 2 <x < 0 hoặc x > 1 x <x < 0 hoặc x > 1 3 thì x + 2 > 0 và x – 3 <x < 0 hoặc x > 1 0, ta có pt:
3 – x + x + 2 = 7 0x = 2 (không có giá trị nào
của x thỏa mãn)
- Với x > 3 thì x + 2 > 0 và x – 3 > 0, ta có pt:
x – 3 + x + 2 = 7 2x = 8 x = 4 (thỏa mãn
nên chọn)
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = -3 và x = 4
0,75 điểm
2,0 điểm
b) (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 36 =
= (x2 – 9x + 8)(x2 – 9x + 20) + 36
Đặt x2 – 9x + 14 = a thì:
(x2 – 9x + 8)(x2 – 9x + 20) + 36 = (a + 6)(a – 6) + 36 =
= a2 – 36 + 36 = a2 0 a
0,75 điểm
c) Từ giả thiết suy ra: (x + 5y) + (2x + 3z) = 21 + 51
3(x + y + z) + 2y = 72
Vì y 0 nên 3(x + y + z) + 2y 3(x + y + z)
Hay 3(x + y + z) 72 x + y + z 24
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = 0; x = 21; z = 3
Vậy B lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0; z = 3
0,5 điểm
Bài 3 Gọi quãng đường AB là x(km) x > 0
Sau 15 phút tức sau 41 giờ xe máy đi được 40 14
Trang 3Khi xe máy và ô tô gặp nhau lần thứ hai thì xe máy đã
đi thêm được quãng đường là x – 30 (km) với thời gian
đi là: x40 30
Thời gian ô tô đã đi để gặp xe máy lần thứ hai là:
50
20 4
1 50
Thời gian này đúng bằng thời gian xe máy đã đi thêm
quãng đường để gặp ô tô Ta có pt:
50
20 4
1 50
= x40 30 Giải pt và tìm được x = 160
Vậy quãng đường AB dài 160km
Bài 4
a) 2012a 2013b 2014c =
= 2012 2013 2013 2014 2012 2014
a
b – a = c – b = c 2a 2(b – a) = 2(c – b) = c – a
4(b – a)(c – b) = (a – c)2 9đpcm)
0,5 điểm
2,0 điểm
c a c
b c b
a
=
b a
c a c
b c b
a
2 2 2
+
c a
cb c b
ca b a
bc c b
ab b a
ac a
c
ab
=
b a
c a c
b c b
a
2 2 2
+ (a + b + c)
2015(a + b + c) = 2014 + (a + b + c)
a + b + c = 1
0,75 điểm
c) a3 – 3ab2 + 2b3 = (a + 2b)(a – b)2
Vì a, b > 0 và a b thì (a + 2b)(a – b)2 > 0 đpcm 0,75 điểm
Bài 5 a) CAI và CBN có:
N C B I C
A (cùng phụ với B C I
N B C I A
C (cùng phụ với C B A
CAI CBN (gg)
0,75 điểm
3,0 điểm
b) ABC và INC có:
) 90
N C I B C
A
NC
BC IC
AC
ABC INC (cgc)
0,75 điểm
c) Tương tự câu a, ta chứng minh được CAM CBI
(gg) CB CA CM CI ABC MIC (cgc)
C I M C B A
Mà C I N C B N (do CAI CBN)
Suy ra C I M
+ C I N
= C B A
+ C B N
= 900
Vậy, M I N
= 900
0,75 điểm
K
H
M
N
C
A I
B
Trang 4d) Dễ chứng minh được ABC MNI
Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng,
nên:
2
2 2
1
2 2
MN
AB MN
AB MN
AB S
S
MNI
ABC
2
2
MN KN
Tam giác MNK vuông cân tại K
Tam giác CIH vuông cân tại H
Vậy, I ở vị trí cách chân đường cao H hạ từ C của tam
giác ABC một khoảng đúng bằng đường cao CH
0,75 điểm