PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 8 (Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) Cho biểu thức: A = ( ) 2 1 : 1 1 1 1 2 2 233 − − − + + + − − x xx x x x x x x a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A. b) Rút gọn A. c) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị là số nguyên. d) Tìm điều kiện của x để A > - 1. Bài 2. (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 723 =++− xx b) Chứng minh bất đẳng thức: (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 36 ≥ 0 với mọi x. c) Cho x, y, z ≥ 0 và x + 5y = 21; 2x + 3z = 51. Tìm giá trị lớn nhất của tổng: B = x + y + z. Bài 3. (1,0 điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4. (2,0 điểm) a) Cho 201420132012 cba == . Chứng minh rằng: 4(a – b)(b – c) = (a – c) 2 b) Cho a, b, c thỏa mãn: 2014 222 = + + + + + ba c ac b cb a và 2015= + + + + + ba c ac b cb a . Tính a + b + c. c) Chứng minh rằng, với a, b là hai số dương khác nhau thì a 3 – 3ab 2 + 2b 3 cũng là số dương. Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: ∆CAI ∆CBN. b) Chứng minh: ∆ABC ∆INC. c) Chứng minh: NIM ∧ = 90 0 . d) Tìm vị trí điểm I sao cho S IMN = 2S ABC . Hết Họ và tên thí sinh:……………………………………….…Số báo danh:……………… Chữ ký của giám thị số 1:………………………………………….…………………… Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 8 Bài Nội dung Điểm Tổng điểm Bài 1 a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±1; x ≠ ± 2 (*) 0,5 điểm 2,0 điểm b) A = (x 2 + 2x + 1)(x 2 – 2x + 1) . ( ) 2 2 2 1 2 xx x − − = (x + 1) 2 .(x – 1) 2 . ( ) 2 2 2 1 2 xx x − − = (1 – x 2 ) 2 . ( ) 2 2 2 1 2 xx x − − = x x 2 2 − 0,5 điểm c) A = x – x 2 Với x nguyên, để A nguyên thì x 2 nguyên ⇒ x ∈ Ư(2) ⇒ x ∈ {1; - 1; 2; - 2} Kết hợp điều kiện (*), ta được: x = ±2 0,5 điểm d) A > - 1 ⇔ x x 2 2 − > - 1 ⇔ x x 2 2 − + 1 > 0 0 2 2 > −+ x xx ⇔ ( )( ) 0 21 > +− x xx ⇔ -2 <x < 0 hoặc x > 1 0,5 điểm Bài 2 a) – Với x < - 2 thì x + 2 < 0 và x – 3 < 0, ta có pt: 3 – x – x – 2 = 7 ⇔ 2x = - 6 ⇔ x = - 3 (thỏa mãn nên chọn) - Với – 2 < x < 3 thì x + 2 > 0 và x – 3 < 0, ta có pt: 3 – x + x + 2 = 7 ⇔ 0x = 2 (không có giá trị nào của x thỏa mãn) - Với x > 3 thì x + 2 > 0 và x – 3 > 0, ta có pt: x – 3 + x + 2 = 7 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 (thỏa mãn nên chọn) Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = -3 và x = 4 0,75 điểm 2,0 điểm b) (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 36 = = (x 2 – 9x + 8)(x 2 – 9x + 20) + 36 Đặt x 2 – 9x + 14 = a thì: (x 2 – 9x + 8)(x 2 – 9x + 20) + 36 = (a + 6)(a – 6) + 36 = = a 2 – 36 + 36 = a 2 ≥ 0 ∀ a 0,75 điểm c) Từ giả thiết suy ra: (x + 5y) + (2x + 3z) = 21 + 51 ⇔ 3(x + y + z) + 2y = 72 Vì y ≥ 0 nên ⇔ 3(x + y + z) + 2y ≥ 3(x + y + z) Hay 3(x + y + z) ≤ 72 ⇔ x + y + z ≤ 24 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = 0; x = 21; z = 3 0,5 điểm Vậy B lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0; z = 3 Bài 3 Gọi quãng đường AB là x(km) x > 0 Sau 15 phút tức sau 4 1 giờ xe máy đi được 40. 4 1 =10km Khi xe máy và ô tô gặp nhau lần thứ hai thì xe máy đã đi thêm được quãng đường là x – 30 (km) với thời gian đi là: 40 30−x Thời gian ô tô đã đi để gặp xe máy lần thứ hai là: 50 20 4 1 50 10 − ++ x Thời gian này đúng bằng thời gian xe máy đã đi thêm quãng đường để gặp ô tô. Ta có pt: 50 20 4 1 50 10 − ++ x = 40 30−x Giải pt và tìm được x = 160 Vậy quãng đường AB dài 160km 1,0 điểm 1,0 điểm Bài 4 a) 201420132012 cba == = = 201420122014201320132012 − − = − − = − − cacbba ⇒ b – a = c – b = 2 ac − ⇒ 2(b – a) = 2(c – b) = c – a ⇒ 4(b – a)(c – b) = (a – c) 2 9đpcm) 0,5 điểm 2,0 điểm b) (a + b + c) + + + + + ba c ac b cb a = ba c ac b cb a + + + + + 222 + ca cb cb ca ba bc cb ab ba ac ac ab + + + + + + + + + + + = ba c ac b cb a + + + + + 222 + (a + b + c) ⇔ 2015(a + b + c) = 2014 + (a + b + c) ⇒ a + b + c = 1 0,75 điểm c) a 3 – 3ab 2 + 2b 3 = (a + 2b)(a – b) 2 Vì a, b > 0 và a ≠ b thì (a + 2b)(a – b) 2 > 0 ⇒ đpcm 0,75 điểm Bài 5 a) ∆CAI và ∆ CBN có: NCBICA ∧∧ = (cùng phụ với ICB ∧ NBCIAC ∧∧ = (cùng phụ với ABC ∧ ⇒ ∆CAI ∆CBN (gg) 0,75 điểm 3,0 điểm b) ∆ABC và ∆INC có: )90( 0 == ∧∧ NCIBCA NC BC IC AC = (vì ∆CAI ∆CBN) ⇒ ∆ABC ∆INC (cgc) 0,75 điểm c) Tương tự câu a, ta chứng minh được ∆CAM ∆CBI 0,75 điểm K H M N C A I B (gg) ⇒ CI CM CB CA = ⇒ ∆ABC ∆MIC (cgc) ⇒ ABCMIC ∧∧ = 0,75 điểm Mà NBCNIC ∧∧ = (do ∆CAI ∆CBN) Suy ra MIC ∧ + NIC ∧ = ABC ∧ + NBC ∧ = 90 0 Vậy, NIM ∧ = 90 0 . d) Dễ chứng minh được ∆ABC ∆MNI Vì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng, nên: 2 2 2 1 22 =⇒= ⇒ = MN AB MN AB MN AB S S MNI ABC 2 2 =⇒ MN KN ⇔ Tam giác MNK vuông cân tại K. ⇔ Tam giác CIH vuông cân tại H. Vậy, I ở vị trí cách chân đường cao H hạ từ C của tam giác ABC một khoảng đúng bằng đường cao CH. 0,75 điểm . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 8 (Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề) Bài 1. (2,0 điểm). bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 8 Bài Nội dung Điểm Tổng điểm Bài 1 a) ĐKXĐ: x ≠ 0;. tên thí sinh: ……………………………………….…Số báo danh:……………… Chữ ký của giám thị số 1:………………………………………….…………………… Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐỀ CHÍNH