Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O.. b Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp.. c Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A.. Cho các số thực dương
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2014 - 2015
Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm)
1 Tính giá trị của biểu thức A = (x3 + 12x – 31)2015 tại x =
2 Cho biểu thức B =
a) Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức B xác định
b) Rút gọn biểu thức B
Bài 2 (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – (m - 2)x – m2 + 3m – 4 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm m để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2
Bài 3 (1,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình:
2kx + (k-1)y = 2 (k là tham số)
a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với trục Ox b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất Bài 4 (1,5 điểm) a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình: Bài 5 (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng (d) thay đổi nhưng luôn đi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N Giả sử (d) cắt lại đường tròn (O) tại E (E A) MC cắt BN tại F Chứng minh rằng: a) ACN MBA và MBC BCN b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi (d) thay đổi nhưng luôn đi qua A Bài 6 (1,0 điểm) Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng:
-HẾT -Họ và tên thí sinh:
Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh: Phòng thi số:
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Mụn: TOÁN 9
I Hớng dẫn chung
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết
quả Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải
đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội
đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn
II Đáp án và thang điểm
Bài 1
(1,5 đ)
Nờn A = (23 + 12.2 – 31)2015 = 12015 = 1
0,5đ
0,25đ
ĐK:
b) Rỳt gọn biểu thức B
+ Với và a < 0 thỡ b 0 ta cú:
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Bài 2
(1,5 đ) a) Phương trỡnh bậc hai này cú a = 1, c = – m2 + 3m – 4 =
với mọi m Nờn a.c < 0
Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt trỏi dấu với mọi giỏ trị của m
0,25đ 0,25đ 0,25 đ
b) Tỡm m để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trỡnh cú giỏ trị tuyệt đối bằng 2
PT cú hai nghiệm trỏi dấu nờn hoặc x1 = -2x2 hoặc x2 = -2x1 hay (x1 + 2x2)(x2 + 2x1) = 0
x1x2 + 2(x1 + x2)2 = 0 (*) Theo hệ thức Vi-ột thỡ x1 + x2 = m – 2, x1x2 = – m2 + 3m – 4 Thay vào (*) ta được: m2 – 5m + 4 = 0
Vậy thỡ tỉ số giữa hai nghiệm của phương trỡnh cú giỏ trị tuyệt đối bằng 2
0,25đ
0,25đ
Trang 3Bài 3
(1,0 đ)
a) Với k = 1 thì pt (d) là x = 1, (d) không song song với đường thẳng y = x
- Với k 1 đưa pt (d) về dạng Khi đó (d) song song với đường thẳng y = x = k
= Khi đó góc tạo bởi (d) và trục Ox có tan = => = 600
0,25đ 0,25đ
b) Với k = 1 thì pt (d) là x = 1 => khoảng cách từ O đến (d) là 1 + Với k = 0 thì pt (d) là y = -2 => khoảng cách từ O đến (d) là 2 + Với k 0 và k 1 Gọi giao điểm của (d) với Ox, Oy là A, B tương ứng
Thay y = 0 vào ptdt (d) được xA = => OA = Thay x = 0 vào ptdt (d) được yB = => OB =
Vì (d) không đi qua gốc tọa độ O với mọi k 0 và k 1 Nên trong tam giác vuông AOB có: (OH AB)
Từ đó OH =
Do đó OH và OH = khi k = Vậy khi k = thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất
0,25đ
0,25đ
Bài 4
Đặt t = (t>0) => t2 = 2 + 2 Khi đó pt (1) trở thành t2 + 2t – 8 = 0 t = 2 hoặc t = -4 (loại) Với t = 2 ta có =1 x = 0 (tm)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
0,25đ
0,25 0,25đ
b) Giải hệ phương trình:
Trang 4ĐK: x, y 0
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = , thế vào phương
trình thứ hai của hệ được:
3x3 + 4x2 – 4x = 0
x(3x2 + 4x – 4) = 0 (3x2 + 4x – 4) = 0 (do x 0)
x = -2 hoặc x = Vậy hpt có hai nghiệm (x; y) là (-2; 1); ( )
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 5
(3,5 đ)
O I
E
F
N
M
C B
a) Từ GT có
Suy ra AC // MB và CN // BA
Nên (đồng vị) Do đó
Suy ra mà AC = BA = BC nên
Hơn nữa
Suy ra MBC BCN (c.g.c)
1,25đ
b) Theo câu a ta có:
Do đó
Vậy BMEF là tứ giác nội tiếp
1,0đ
c) Gọi I là giao điểm của BC và EF, ta có:
IBF IEB
Do đó:
Chứng minh tương tự CNEF là tứ giác nội tiếp
và ICE IFC
Nên
Do đó IB =IC
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua một điểm I cố định là trung
điểm của BC
1,0đ
(3) 0,5đ
Trang 5Bài 6
2
Từ (3), (4) suy ra đpcm Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
0,5đ