1,5 điểm Tìm một phân số có mẫu dương, biết rằng: tích của tử và mẫu của phân số bằng 63 và khi cùng cộng 2 lần mẫu vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị của phân số tăng lên 5 lần..
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 6
(Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm) Tính giá trị của mỗi biểu thức sau một cách hợp lí:
a) 35.73 – 135.27 + 35.27 – 73.135
b) 96.72 – 37.72 + 15.72 – 49.174
c) 29 16 29( )4 5
17 9 3 15 2 30
3 2 4 3 2 21
21 3 8 2 3 6 2
.
5
−
−
Bài 2 (2,0 điểm) Tìm x ∈ Z, biết:
a) x.(x + 1) = 12
b) 20142x – 3 – 2010.20142010 = 4.20142010
c)
6
7 3
1 2
1
= +
−
x
Bài 3 (1,5 điểm) Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 22013 + 22014
a) Tính A
b) Chứng minh rằng A chia hết cho 31
Bài 4 (2,0 điểm) Cho B =
2
3
+
−
n n
a) Tìm điều kiện với n để B là một phân số
b) Tìm số nguyên n sao cho
2
3
=
B
c) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị là một số nguyên
Bài 5 (1,5 điểm) Tìm một phân số có mẫu dương, biết rằng: tích của tử và mẫu của
phân số bằng 63 và khi cùng cộng 2 lần mẫu vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị của phân số tăng lên 5 lần
Bài 6 (1,5 điểm) Cho góc xOz và góc zOy là hai góc kề bù Biết: x Oz∧ = z O∧ y
3 1 a) Tính số đo mỗi góc
b) Gọi Ot là tia nằm trong góc zOy sao cho t O∧ y = 450 Tính z O∧ t ? Cho biết góc zOt là góc gì ?
c) Gọi Ok là tia đối của tia Ot Chứng minh rằng Ox là tia phân giác của góc zOk
-Hết -Họ và tên thí sinh:……….…Số báo danh:……… Chữ ký của giám thị số 1:……….………
Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 6
Bài 1
a) = 35(73 + 27) – 135(27 + 73) = 100(35 – 135)
= 100.(– 100) = –10000 0,5 điểm
1,5 điểm
b) = 49.(96 – 37 + 15 – 174) = 49.(–100) = – 4900 0,5 điểm
c) = ( )
27 28
21 20 2 3 4 7 3 2
7 3 4 5 3 2
3 17
29
17 30
−
=
−
−
=
−
−
0,5 điểm
Bài 2
a) x(x + 1) = 3.4 = (–4).(–3)
x = 3 hoặc x = –4
(Nếu tìm được một giá trị của x chỉ cho 0,5 điểm tối
đa)
0,75 điểm
2,0 điểm
b) 20142x – 3 = 20142010(4 + 2010) = 20142011
⇒ 2x – 3 = 2011 ⇒ 2x = 2014 ⇒ x = 1007 0,5 điểm
c)
6
7 3
1 2
1 + =
−
x
Hoặc
6
7 3
1 2
1+ = −
−
x
+
6
7 3
1 2
1
= +
−
x
⇔ 3x – 3 + 2 = 7 ⇔ 3x = 8 không tìm được số nguyên nào của x thỏa mãn
+
6
7 3
1 2
1+ = −
−
x
⇔ 3x – 3 + 2 = –7 ⇔ 3x = –6 ⇔
x = –2
Vậy, x = –2
(Nếu chỉ tìm x qua 1 trường hợp chỉ cho 0,5 điểm
tối đa)
0,75 điểm
Bài 3
a) 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + + 22014 + 22015
⇒ 2A – A = 22015 – 1 Hay A = 22015 – 1 0,75 điểm
1,5 điểm
b) A = (1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 25(1 + 2 + 22 + 23 +
24) + + 22010(1 + 2 + 22 + 23 + 24) =
= (1 + 2 + 22 + 23 + 24)(1 + 25 + 210 + + 22010) =
= 31.(1 + 25 + 210 + + 22010) 31
Vậy, A 31
0,75 điểm
b) B =
2
3 Hoặc B = –
2 3
+ B =
2
3
⇔ n n+−23 =
2
3
⇔ n = –12 + B = –
2
3
⇔ n n+−23 =
2
3
−
⇔ n = 0 Vậy, n = 0 hoặc n = –12
0,75 điểm
c) B =
2
5 1 2
5 2
+
−
= +
− +
n n
n
⇒ n + 2 ∈{–5; –1; 1; 5}
0,75 điểm
Trang 3⇒ n ∈{–7; –3; –1; 3}
Bài 5
Gọi phân số cần tìm là
b
a
(a, b ∈ Z; b ≠ 0) Phân số mới:
b
a b
b a b b
b
3
2 2
+
+
3
2 = +
⇒ a + 2b = 15a ⇔ 2b = 14a ⇔ b a =
7
1 14
2 =
Phân số cần tìm
b
a
có dạng
k
k
7 Tích của tử và mẫu của phân số bằng 63, ta có:
7k2 = 63 ⇔ k2 = 9 ⇔ k = ±3
Vì phân số có mẫu dương nên phân số cần tìm là
21 3
1,5 điểm
Bài 6
a) Ta có: x O∧ z+z O∧ y=180và x Oz∧ = z O∧ y
3 1
⇒ z O∧ y= 3 x O∧ z⇒ 4x O∧ z= 180 0 ⇒ x O∧ z= 45 0
⇒ z O∧ y= 3 45 0 = 135 0
0,5 điểm
1,5 điểm
b)
0 0
0 45 90
135 − =
=
−
=
⇒
= +
∧
∧
∧
∧
∧
∧
y O t y O z t O z
y O z y O t t O z
Vậy góc zOt là góc vuông
0,5 điểm
c) Vì x O∧ t và t O∧ y là hai góc kề bù, nên:
t
O
x ∧ + t O∧ y = 1800⇒ x O∧t = 1350
Vì x O∧t và x O∧ k là hai góc kề bù, nên:
t
O
x ∧ + x O∧ k = 1800⇒ x O∧ k = 450
Vì z O∧ t và z O∧ k là hai góc kề bù, nên:
t
O
z ∧ + z O∧ k = 1800⇒ z O∧ k
= 900
Ta thấy x O∧ z = x O∧ k =
2
1
k O
z ∧
Vậy, Ox là tia phân giác của z O∧ k
0,5 điểm
45 ° 45 °
O
k
t z
y x